3.1.1 点在空间直角坐标系中的坐标&3.1.2 空间两点间的距离公式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 空间直角坐标系 1 1.1 点在空间直角坐标系中的坐标 1.2 空间两点间的距离公式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 点在空间直角坐标系中的坐标 探究点二 空间两点间的距离公式 探究点三 空间两点间的距离公式的应用 3 【学习目标】 1.会表示空间中点的坐标. 2.能利用空间中两点间的距离公式表示空间中的距离. 4 知识点一 空间直角坐标系 1.如图，过空间任意一点，作三条两两垂直的直线，并以点 为原点，在三条直线上分别建立数轴：轴、轴和 轴，这样 就建立了一个空间直角坐标系.点叫作__________， 坐标原点 坐标轴 坐标平面 轴（横轴）、轴（纵轴）、 轴（竖轴）叫作________，通过每两条坐标轴的平 面叫作__________，分别称为平面、平面、 平面. 课 前 预 习 5 2.一般是将轴和轴放置在水平面上，那么 轴就垂直于水平面.它们的方向通 常符合______________，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向 轴正方向，此时大拇指的指向 即为 轴正方向.我们也称这样的坐标系为________（如图）. 右手螺旋法则 右手系 课 前 预 习 6 【诊断分析】 1.是否任意三条直线均可建立空间直角坐标系？ 解：不是.必须是两两垂直的三条直线才可建立空间直角坐标系. 2.一个确定的空间直角坐标系，可以组成几个坐标平面？ 解：三个.分别是平面、平面、 平面. 课 前 预 习 7 知识点二 点在空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对于空间任意一点 ，都可以用唯一 的一个三元有序实数组________来表示；反之，对于任意给 定的一个三元有序实数组 ,都可以确定空间中的一个 点（如图）.这样，在空间直角坐标系中，任意一点 与三 坐标 横坐标 纵坐标 竖坐标 元有序实数组之间，就建立了一一对应的关系： .三元有序实数 组叫作点在此空间直角坐标系中的______，记作,其中叫作点 的 ________，叫作点的________，叫作点 的________. 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）在空间直角坐标系中轴上点的横坐标，竖坐标 .( ) × （2）在空间直角坐标系中平面上点的坐标满足 .( ) × （3）关于坐标平面 对称的点的纵、竖坐标不变，横坐标相反.( ) √ 课 前 预 习 9 知识点三 空间两点间的距离公式 已知空间中,两点，则, 两点间的距离为_____________ ________________________________.这就是空间两点间的距离公式. 课 前 预 习 10 【诊断分析】 1.空间两点间的距离公式与平面两点间的距离公式有何异同？ 解：空间两点间的距离公式和平面两点间的距离公式都是对应坐标的差值平方 和的平方根，只不过空间两点间的距离公式多了竖坐标之差的平方. 2.方程 表示什么图形？ 解：方程 可以写成 ， 即表示点到点 的距离为定值3，故点的轨迹为球面， 即方程 表示球面. 课 前 预 习 11 探究点一 点在空间直角坐标系中的坐标 例1（1） 在正四棱柱 中， ，点在上，且 .建立如 图所示的空间直角坐标系，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 12 （2）如图,在正方体中,, 分别是 , 的中点,正方体的棱长为1.建立如图所示的空 间直角坐标系,写出点, 的坐标. 解：易知点在平面上的投影为点, 点 的坐标为, 又点的竖坐标为,所以. 连接 ，取的中点，易知点在平面上的投影为点, 点 的坐标为, 又点的竖坐标为1,所以 . 课 中 探 究 13 变式（1） （多选题）下列关于空间直角坐标系中的一点 的说 法正确的有( ) AD A.线段的中点的坐标为 B.点关于轴对称的点的坐标为 C.点关于坐标原点对称的点的坐标为 D.点关于平面对称的点的坐标为 [解析] 由题意可知线段的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点 关于轴对称的点的坐标为，所以B中说法错误； 点 关于坐标原点对称的点的坐标为，所以C中说法错误； 点关于 平面对称的点的坐标为，所以D中说法正确. 故选 . 课 中 探 究 14 （2）讨论满足下列条件的点的坐标 的特征： ①点 在坐标平面上； 解：若点在坐标平面上，则,,中至少有一个为0，可得 . ②点 在坐标轴上. 解：若点在坐标轴上，则,, 中至少有两个为0. 课 中 探 究 15 ［素养小结］ 1.已知空间中,两点，则线段 的中点坐标为 . 2.点关于坐标原点对称的点的坐标为;点关于 轴 对称的点的坐标为;点关于轴对称的点的坐标为 ; 点关于轴对称的点的坐标为;点关于 平面对称 的点的坐标为;点关于平面对称的点的坐标为 ;点 关于平面对称的点的坐标为 . 课 中 探 究 16 探究点二 空间两点间的距离公式 例2（1） 在空间直角坐标系中,已知点,则___，点 到 平面的距离是___. 3 1 [解析] 根据空间两点间的距离公式得 点, 点到 平面的距离为1. 课 中 探 究 17 （2）（多选题）已知点,若在轴上有一点,使,则点 的坐标可 能为( ) AC A. B. C. D. [解析] 设点B的坐标为 , 由空间两点间的距离公式可得, 解得或 , 所以点B的坐标为或.故选 . 课 中 探 究 18 变式（1） 满足的所有点 构成的几 何图形是( ) B A.以点 为球心，以3为半径的球面 B.以点为球心，以 为半径的球面 C.以点 为球心，以3为半径的球面 D.以点为球心，以 为半径的球面 [解析] 由题意得 ， 该方程的几何意义是动点到定点的距离为， 则动点 构成的几何图形是以点为球心，以 为半径的球面. 故选B. 课 中 探 究 19 （2）[2024·武汉高二期中]一束光线自点发出，被 平面反射后到达 点 被吸收，则光线所走的路程是( ) C A. B.6 C. D. [解析] 点关于平面的对称点为 ， 则光线所走的路程是 . 故选C. 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 1.空间中点到平面的距离为 ; 空间中点到平面的距离为 ; 空间中点到平面的距离为 . 2.在求满足条件的点时，可以根据点所在的位置，通过设点的坐标，建立方程 （组），解出未知数，即可得到所要求的点的坐标. 课 中 探 究 21 探究点三 空间两点间的距离公式的应用 例3 已知,,,则 是______三角形.（填“等腰”“等边” 或“等腰直角”） 等腰 [解析] 由空间两点间的距离公式可得,, ， 又，所以 为等腰三角形. 课 中 探 究 22 变式（1） 与,两点距离相等的点 的坐标满足的条 件是( ) A A. B. C. D. [解析] 由 , 得 , 化简得 ,故选A. 课 中 探 究 23 （2）已知空间直角坐标系中有一点，点是 平面内的直 线上的动点，则, 两点间的距离的最小值是( ) B A. B. C.3 D. [解析] 设点，因为点 ， 所以 ， 当且仅当，即点,时取等号， 所以A,B两点间的距离的最小值是 . 故选B. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 空间两点间的距离公式可以解决与距离有关的问题.解题的一般步骤是将题干中 与距离有关的条件利用距离公式表示出来，通过化简、转化等步骤得到所需的 结论，也体现了数学中转化与化归的思想. 课 中 探 究 25 $