3.2.1&3.3.2 第2课时 空间向量的数量积(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积，从物理“功”的概念导入，衔接平面向量数量积，通过情境问题引导学生探究空间向量数量积的定义，搭建从平面到空间的学习支架，涵盖向量夹角、性质、运算律及投影向量等基础内容。 其亮点是以数学抽象和数学运算为核心，通过正四面体、正方体等几何模型设计典例，结合“通性通法”总结解题步骤，培养逻辑推理能力。分层练习帮助学生巩固，教师可利用资料提升教学效率，促进学生从数学角度解决立体几何问题。

2.1　从平面向量到空间向量 2.2　空间向量的运算 第二课时　空间向量的数量积 第三章　空间向量与立体几何 1 课标 要求 1.掌握空间向量的数量积（数学抽象）. 2.能运用向量的数量积判断两向量的垂直及平行（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F·S＝｜ F｜｜S｜cos θ，为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了 “数量积”的概念. 【问题】　在空间中向量的数量积又是如何定义的呢？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　两个向量的夹角 1. 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝ b，则 叫作向量a，b的夹角，记作 ⁠. ∠AOB　 ＜a，b＞　 2. 向量a，b的夹角＜a，b＞的范围是 ， 当＜a，b＞＝时，称向量a，b互相 ，记作 ⁠. 规定：零向量与任意向量 ⁠. [0，π]　 垂直　 a⊥b　 垂直　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 当＜a，b＞＝0和＜a，b＞＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示：当＜a，b＞＝0时，a与b同向；当＜a，b＞＝π时，a与b反向. 2. ＜a，b＞，＜－a，b＞，＜a，－b＞，＜－a，－b＞，它们有什么 关系？ 提示：＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞，＜－a，－b＞＝＜a，b ＞. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　两个向量的数量积 1. 数量积的定义 已知两个空间向量a，b，把 叫作a与b的数量 积，记作a·b.即a·b＝ ⁠. 2. 数量积的性质 （1）cos＜a，b＞＝（a≠0，b≠0）； （2）｜a｜＝； （3）a⊥b⇔ ⁠. ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　 ｜a｜｜b｜cos＜a，b＞　 a·b＝0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 数量积的运算律 （1）交换律：a·b＝ ⁠； （2）分配律：a·（b＋c）＝ ⁠； （3）（λa）·b＝ （λ∈R）. 提醒：向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或ab. b·a　 a·b＋a·c　 λ（a·b）　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 向量的数量积运算是否满足结合律？ 提示：不满足. 2. 两个向量a与b的数量积a·b还是向量吗？ 提示：不是.任意两向量的数量积都是数量. 3. 对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝（或b＝）？ 提示：不能.向量没有除法运算. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点三　投影向量与投影数量 1. 投影向量 （1）定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，过点B作直线OA的垂线，垂足为点B1，称向量为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于｜｜b｜cos＜a，b＞｜. （2）代数式表示：用a0表示与向量a（a≠0）同方向的单位向量，则向量b 在向量a方向上的投影向量为 ⁠. ｜b｜cos＜a，b＞·a0　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 投影数量 向量b在向量a方向上的投影数量为 ＝ ⁠ ＝ （其中a0为与a同方向的单位向量）. ｜b｜cos＜a，b＞　 　 a0·b　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 1. 向量a在向量b方向上的投影数量与向量b在向量a方向上的投影数量 一样吗？ 提示：不一样. 2. 和向量（b＋c）在向量a方向上的投影数量等于b，c在向量a方向上的投 影数量之和吗？ 提示：等于. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）零向量与任意向量的数量积为0. （　√　） （2）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）. （　×　） （3）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c. （　×　） （4）向量a在向量b上的投影向量c＝｜a｜cos＜a，b＞·. （　√　） √ × × √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－， 则a在b上的投影向量为（　　） A. －b B. b C. b D. －b √ 解析： 　a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝ －b. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知空间向量a，b，｜a｜＝2，｜b｜＝，a·b＝－2，则＜a，b＞ ＝ ⁠. 解析：cos＜a，b＞＝＝－，∴＜a，b＞＝. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 17 题型一　空间向量数量积的运算 如图所示，在棱长为1的正四面体A-BCD中，E，F分别是AB，AD的中 点，求： （1）·； 解：·＝·＝｜｜｜｜·cos＜， ＞＝cos 60°＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）·； 解： ·＝·＝｜｜2＝. （3）·； 解： ·＝· ＝｜｜·｜｜cos＜，＞ ＝cos 120°＝－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （4）·. 解： ·＝·（－） ＝·－· ＝｜｜｜｜cos＜，＞－｜｜｜｜cos＜ ，＞ ＝cos 60°－cos 60°＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的 乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. （2026·扬州月考）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　） A. 2 B. 1 C. 2 D. √ 解析： 　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，所以 AB⊥AD1，所以·＝（＋）·＝（＋）·＝ ·＋·＝0＋×2×cos 45°＝2.故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－ c，则·＝ ⁠. 解析：由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos＝，则·＝2（a－b）·（b －c）＝2（a·b－a·c－b2＋b·c）＝2×（－－1＋）＝－1. －1　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　投影数量与投影向量 已知四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD是边长为1的菱形，且∠C'CB ＝∠C'CD＝∠BCD＝，DD'＝2. （1）求向量在方向上的投影向量； 解： ∵CC'∥DD'，CB∥DA， ∴∠D'DA＝∠C'CB＝， ∴向量在方向上的投影数量为 ｜｜·cos∠D'DA＝2×cos ＝1，又为单位向量， ∴向量在方向上的投影向量为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求在－方向上的投影数量. 解： ∵·（－）＝·－· ＝｜｜·｜｜·cos －｜｜·｜｜·cos ＝2×1×－2×1×＝0. ∴向量与向量－的夹角为90°， ∴向量在－方向上的投影数量为｜｜·cos 90°＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求向量a在向量b方向上的投影数量（向量）的步骤 （1）先求向量a与b的夹角＜a，b＞； （2）再求向量a的模｜a｜； （3）则a在b方向上的投影数量为｜a｜·cos＜a，b＞； （4）若b0为b方向上的单位向量，则a在b方向上的投影向量为｜a｜cos＜ a，b＞·b0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 棱长为1的正四面体ABCD中， （1）求向量在方向上的投影向量； 解： ∵四面体ABCD是棱长为1的正四面体， ∴∠ABC＝，∴＜，＞＝π－∠ABC＝， ∴在方向上的投影向量为｜｜cos＜，＞·＝ 1×cos·＝－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求在方向上的投影数量. 解： ∵·＝·（－）＝·－·＝｜ ｜·｜｜cos（π－∠ABD）－｜｜·｜｜·cos（π－ ∠ABC）＝1×1×cos －1×1×cos ＝0， ∴＜，＞＝， ∴在方向上的投影数量为｜｜cos＜，＞＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　空间向量数量积的应用 角度1　利用数量积证明垂直问题 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，M，N 分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 证明：由题意可知，｜｜＝｜｜＝｜｜＝a，且向量，， 两两的夹角均为60°，连接AN（图略）， 则＝－＝（＋）－， 所以·＝（·＋·－）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°－ a2）＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 （1）要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两 个向量的数量积为0即可； （2）证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量 积证明线线垂直即可. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 角度2　用数量积求解夹角和模 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点. （1）求的模； 解：由已知得｜｜＝｜｜＝1，｜｜＝｜｜＝2，＝ ＝. ＜，＞＝＜，＞＝＜，＞＝90°， 所以·＝·＝·＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）因为＝－＝＋－＝＋－， 所以｜｜2＝＝ ＝＋＋＝12＋×22＋12＝3， 所以｜｜＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求cos＜，＞的值. 解：因为＝－＝＋－，＝＋， 所以｜｜2＝＝（＋－）2＝＋＋ ＝12＋22＋12＝6，｜｜＝， ｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋22＝5， ｜｜＝， ·＝（＋－）·（＋）＝－＝22 －12＝3， 所以cos＜，＞＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 1. （变设问）本例中条件不变，求与夹角的余弦值. 解：由例题知，｜｜＝，｜｜＝， ·＝·（＋） ＝－＝×22 －12＝1. 所以cos＜，＞＝＝＝. 所以与夹角的余弦值为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. （变条件、变设问）本例中，若CA＝CB＝AA1＝1，其他条件不变，求 异面直线CA1与AB夹角的大小. 解：由已知得｜｜＝｜｜＝｜｜＝1，·＝·＝· ＝0， 因为｜｜2＝＝（＋）2＝＋＝12＋12＝2， 所以｜｜＝， 因为｜｜2＝＝（－）2＝＋＝12＋12＝2， 所以｜｜＝， 又因为·＝（＋）·（－）＝－＝－1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以cos＜，＞＝＝＝－. 所以＜，＞＝120°， 所以异面直线CA1与AB夹角的大小为60°. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求向量的夹角和模 （1）求两个向量的夹角：利用公式cos＜a，b＞＝求cos＜a，b ＞，进而确定＜a，b＞（注意向量的夹角与两向量所在直线夹角的区 别）； （2）求线段长度（距离）：①取此线段对应的向量；②用已知夹角和模 的向量表示该向量；③利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求长度 （距离）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＜，＞＝（　　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° √ 解析： 不妨设正方体的棱长为1，则·＝（＋） ·（＋）＝（＋）·（＋）＝·＋ ＋·＋·＝0＋＋0＋0＝＝1，又∵｜｜＝，｜｜＝，∴cos＜，＞＝＝＝，∴＜，＞＝60°. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝ 60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. 求证：PA⊥BD. 证明：在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得，BD＝AD，所以AD2＋BD2＝AB2， 所以DA⊥BD，则·＝0. 由PD⊥底面ABCD，知PD⊥BD，则·＝0. 又＝＋， 所以·＝（＋）·＝·＋·＝0，即PA⊥BD. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为 端点的三条棱长都是1，且它们彼此间的夹角都是60°， M为A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c. （1）求对角线AC1的长； 解：连接A1B，AC，如图. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）因为以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此 间的夹角都是60°， 所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝， a·c＝｜a｜｜c｜cos 60°＝， b·c＝｜b｜｜c｜cos 60°＝， 可知＝a＋b，所以在平行四边形AA1C1C中 ＝＋ ＝a＋b＋c， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ｜｜2＝＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c ＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6， 所以｜｜＝，即对角线AC1的长为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求cos＜，＞. 解：因为＝a＋b＋c，＝a， 所以cos＜，＞＝＝＝ ＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 〔多选〕已知空间四边形ABCD的四条边和两条对角线的长都为a，且 E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列选项中运算结果为－a2的是 （　　） A. 2· B. 2· C. 2· D. 2· √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　作出图形，如图所示.对于A，2·＝2｜ ｜｜｜cos 120°＝2a·acos 120°＝－a2；对于B， 2·＝2｜｜｜｜cos 60°＝2a·acos 60°＝a2；对 于C，2·＝2｜｜｜｜cos 180°＝2··acos 180°＝－a2；对于D，2·＝2｜｜｜｜cos 120°＝2··acos 120°＝－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1， 则·＝（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 √ 解析： 　＝＋＝＋（＋）＝＋（＋ ），＝＋，则·＝（｜｜2＋｜｜2）＝1，故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱 彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为（　　） A. 6 B. C. 3 D. √ 解析： 　设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，且＜ a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°，因此a·b＝b·c＝c·a＝.由＝a＋b ＋c，得｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以｜｜ ＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知空间中四点A，B，E，C，若·＝·，则 . （填“⊥”“∥”或“＝”）. 解析：∵·＝·，∴·（－）＝·＝0.∴⊥. ⊥　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. （2026·温州月考）已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝ 120°，则a在b上的投影向量为 　－b　，b在a上的投影向量为 　－a　. 解析：由题可得与向量a，b同方向的单位向量分别为，，由｜ a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，根据投影向量的定义，则a在b上 的投影向量为｜a｜cos＜a，b＞＝＝－b，b在a上的投影向量 为｜b｜cos＜a，b＞＝＝－a. －b　 －a　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 51 1. 已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－ ，则两直线的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝－，所以θ＝ 120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向 量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为（　　） A. －6 B. 6 C. 3 D. －3 √ 解析： 　由m⊥n，得m·n＝0，∴（2e1＋3e2）·（ke1－4e2）＝0.∴2k－ 12＝0.∴k＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知向量a，b满足｜a｜＝2，｜b｜＝，且a与2b－a互相垂直，则a 在b方向上的投影数量为（　　） A. B. － C. D. － √ 解析： 　根据a与2b－a互相垂直，得a·（2b－a）＝0，即2a·b＝｜a｜2＝ 4，解得a·b＝2，∴cos＜a，b＞＝＝＝，∴＜a，b＞＝， ∴a在b方向上投影数量为｜a｜cos＜a，b＞＝2×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 设正四面体A-BCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则·＝ （　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意，作出正四面体A-BCD，如图所示.因为 E，F分别是BC，AD的中点，所以＝（＋）， ＝.又因为正四面体A-BCD的棱长都为a，所以＜， ＞＝＜，＞＝60°，故·＝（＋）·＝（·＋·）＝（a2cos 60°＋a2cos 60°）＝a2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下 列命题，其中正确的是（　　） A. （a·b）·c－（c·a）·b＝0 B. ｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜ C. （b·a）·c－（c·a）·b一定不与c垂直 D. （3a＋2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　A项，∵（a·b）·c是表示与向量c共线的向量，而（c·a）·b是 表示与向量b共线的向量，∴A错误；B项，∵a，b是两个不共线的向量， 根据三角形任意两边之差小于第三边可得｜a｜－｜b｜＜｜a－b｜，∴B 正确；C项，∵[（b·a）·c－（c·a）·b]·c＝（b·a）·c·c－（c·a）·b·c＝0可 能成立，∴C错误；D项，∵向量的运算满足平方差公式，∴（3a＋ 2b）·（3a－2b）＝9｜a｜2－4｜b｜2，∴D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和 BD1相交于点O，则有（　　） A. ·＝a2 B. ·＝a2 C. ·＝a2 D. ·＝a2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　连接A1D（图略），则·＝·＝｜｜｜｜ cos＜，＞＝a×a×cos 60°＝a2，A正确.·＝·（ ＋＋）＝＋·＋·＝a2，故B错误.·＝· ＝·（＋＋）＝（＋·＋·）＝＝｜ ｜2＝a2，C正确.·＝·（－）＝·－·＝－ a2，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别是对角线AC，A1C1的 中点，则＜，＞＝ ，＜，＞＝ ⁠. 解析：由题意得，方向相同，是在同一条直线AC上，故＜， ＞＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD-A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面 A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故＜，＞＝90°. 0°　 90°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 已知｜a｜＝13，｜b｜＝19，｜a＋b｜＝24，则｜a－b｜＝ ⁠. 解析：∵｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝ 46，｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故｜a－b｜＝22. 22　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6， OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝ ⁠. 解析：如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性 质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋ ＝＋＝＋（＋）＝＋［（－）＋（－）］＝（＋＋），所以｜｜2＝（＋＋＋2·＋2·＋2·）＝（9＋36＋81＋0＋0＋0）＝14，所以 ｜｜＝，即OG＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝ ，AB＝AD＝1，A1A＝3，点M满足 3＝. （1）求BD1的长度； 解： 如图，＝－＋＝－＋， 又∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝， 所以＝＋＋＋2·－2·－ 2· ＝1＋1＋9＋3－3－1＝10，故｜｜＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求·. 解：如图，＝＋＝＋＝＋＋ ， 所以·＝（＋＋）·（－＋） ＝－＋＋·＋·＝1－1＋3＋ ×3＋×3＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0， ·＝0，则△BCD是（　　） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 √ 解析： 　∵＝－，＝－，∴·＝（－ ）·（－）＝·－·－·＋｜｜2＝｜｜2＞0， ∴cos ∠CBD＝cos＜，＞＝＝＞0，∴∠CBD为 锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列说法，其中正确的有 （　　） A. （＋＋）2＝3 B. ·（－）＝0 C. 与的夹角为60° D. 正方体的体积为｜··｜ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　如图，（＋＋）2＝（＋＋ ）2＝＝3，故A正确；·（－）＝ ·＝（－＋＋）·＝0，故B正确； 与的夹角是与夹角的补角，而△ACD1为正三角 形，所以与的夹角为60°，故与的夹角为120°，故C错误；正方体的体积为｜｜·｜｜·｜｜，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i ＝1，2，…，10）是正方体其余的10个顶点，则·（i＝1，2，…， 10）的不同值的个数为 ⁠. 2　 解析：当i＝1，2，3，4，5时，⊥，故·＝0，当i＝6，7，8， 9，10时，＝＋，∴·＝·（＋）＝＋·， ∵⊥，∴·＝0，∴·＝1，∴·（i＝1，2，…， 10）的不同值的个数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点 的三条棱长都是1，且它们彼此间的夹角都是60°，M为 A1C1与B1D1的交点.若＝a，＝b，＝c. （1）用a，b，c表示； 解： 连接A1B，AC，AC1，如图所示， 因为＝a，＝b，＝c. 在△A1AB中，根据向量减法法则可得＝－＝c－ a， 因为底面ABCD是平行四边形， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以＝＋＝a＋b，因为AC∥A1C1且AC＝A1C1， 所以＝＝a＋b， 又因为M为线段A1C1的中点， 所以＝＝（a＋b）， 在△A1MB中，＝＋＝c－a＋（a＋b）＝－a ＋b＋c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）求异面直线CC1与BM夹角的余弦值. 解： 因为＝－a＋b＋c，＝＝c， ｜｜＝ ＝ ＝＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以cos＜，＞＝＝＝ ＝ ＝＝. 所以异面直线CC1与BM夹角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $