2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

4 直线与圆锥曲线的位置关系 1 4.2 直线与圆锥曲线的综合问题 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 弦长公式 探究点二 已知弦长求参数 探究点三 与弦长有关的最值、范围问题 探究点四 中点弦问题 3 【学习目标】 会求直线与圆锥曲线相交所得的弦长. 4 知识点 圆锥曲线的弦长公式 （1）圆锥曲线的弦长 当直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段 叫作圆锥曲线的弦（就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段），线段的长就 是弦长. （2）圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为的直线与圆锥曲线相交于，两点， ， ，则_______________________________________ _ ________________.抛物线的过焦点的弦长， 为弦 所在直线的倾斜角. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若直线的斜率不变,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( ) √ （2）过抛物线的焦点的弦长 .( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 弦长公式 例1（1） [2024·浙江温州高二期中] 过双曲线的右焦点 作倾斜 角为 的直线，交双曲线于，两点，则弦长 ___. 8 课 中 探 究 7 [解析] 由双曲线，得， ，则， 设直线的倾斜角为 ,则 . 方法一：直线的斜率，则直线的方程为 ， 由消去得，设， ， 由根与系数的关系知 又 ， 所以 . 方法二（利用双曲线的二级结论） . 课 中 探 究 8 （2）[2024·四川德阳高二期中] 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于， 两点. ①求 的长； 解：椭圆中，，，，即 ， 所以直线的方程为 . 由得，得， ， 所以 . 课 中 探 究 9 ②求 的面积. 解：由，得，由，得， 不妨设 ，， 则 的面积 . 课 中 探 究 10 变式（1） 已知抛物线的准线经过双曲线 的一个焦点，且被双 曲线所截得的弦长为6，则双曲线 的渐近线方程是___________. [解析] 由题知抛物线的焦点为，准线方程为 ， 因为直线经过双曲线的一个焦点，所以双曲线的左焦点为. 设双曲线 的标准方程为， 因为双曲线的半焦距 ，抛物线的准线被双曲线所截得的弦长为6， 所以将代入 ，结合得， 即，结合 得， 解得或（舍去），所以， 所以双曲线 的渐近线方程为 . 课 中 探 究 11 （2）[2024·厦门一中高二月考] 已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于， 两点，设 右焦点为 . ①求椭圆的方程； 解： 椭圆的一个顶点为， ， 又离心率， ， 椭圆的方程为 . 课 中 探 究 12 ②求 的面积. 解：，， 直线的方程为. 由 消去，得，， 直线与椭圆有两个交点. 设， ，则 ， 又点到直线的距离 ，故 . 课 中 探 究 13 ［素养小结］ 求弦长的两种方法 ①距离公式法：当弦的两个端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用 两点间的距离公式求弦长. ②弦长公式法：当直线（斜率为）与圆锥曲线交于点， 时， ，而 ，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后 得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式， 然后再进行整体代入求解. 课 中 探 究 14 探究点二 已知弦长求参数 例2 直线与椭圆交于，两点，若 ，则实数 的值为( ) B A. B. C. D. [解析] 设，由 整理得，由，得 ， 因为,， 所以 ，解得，满足 .故选B. 课 中 探 究 15 变式 已知斜率为的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物 线交于，两点，若线段的长为9，则 ( ) C A.1 B.2 C.4 D.8 [解析] 由题意可知直线的方程为 ， 由消去，整理得， 设, ，则，所以， 解得 .故选C. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 关于已知弦长求参数问题，常常利用弦长公式，构建方程来求解.在求解过程中 体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及 一元二次方程根与系数的关系进行求解. 课 中 探 究 17 拓展 经过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点， ， 若（其中为坐标原点），则直线 的斜率为____. [解析] 由已知得，设直线的斜率为，则直线的方程为 ， 设,，由得 ， 所以， ， 所以. 又点 到直线的距离， 所以 ，解得 . 课 中 探 究 18 探究点三 与弦长有关的最值、范围问题 例3 [2024·吉林白山高二期末] 已知过点的直线与椭圆交于 , 两点，求弦长 的取值范围. 解：由，得点在椭圆内，若直线的斜率存在， 设直线 的方程为，与椭圆方程联立， 整理得 ，所以, ， 则 . 若直线的斜率不存在，则即为长轴长，即为. 综上， 的取值范围为 . 课 中 探 究 19 变式 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线 与双曲线交于，两点，当取得最小值时，求四边形 的面积. 解：设,，由得 ， 则,， 所以 . 当时，取得最小值，此时直线的方程为. 设 ,到直线的距离分别为,,则, , 所以四边形 的面积为 . 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 有关弦长的最值问题，常有两种解法：一是几何方法，常结合圆锥曲线的定义 来求解；二是代数方法，构建函数，利用函数的性质或不等式来求解. 课 中 探 究 21 拓展 已知椭圆，过点且斜率为的直线 与椭圆交于不同的 两点，，为坐标原点，则的面积 的最大值为_ __. 课 中 探 究 22 [解析] 显然直线不垂直于轴，故设其方程为， 由 消去并整理得， 由得，设 ，，则 所以 . ，当且仅当，即时取“ ”， 所以的面积的最大值为 . 课 中 探 究 探究点四 中点弦问题 例4（1） [2024·安徽芜湖高二期中]已知，是椭圆 上的两点， 点是线段的中点，则直线 的方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 设，，则线段的中点坐标为, ， 所以，，即， . 将A，B的坐标代入椭圆的方程，得两式作差可得 ， 所以， 所以直线的方程为 ，即 .故选A. 课 中 探 究 24 （2）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线 与 双曲线相交于，两点，线段的中点的横坐标为 ，求此双曲线的方程. 解：设双曲线的方程为，由题意可得 ， 设，，由直线与双曲线相交于，两点， 线段 的中点的横坐标为，得线段的中点为,，则 , . 由且 ，两式相减得， 则，即 ，所以，与联立， 解得， ，故双曲线的方程为 . 课 中 探 究 25 变式 直线被椭圆截得的弦的中点与椭圆中心 的连 线 的斜率为___． [解析] 设直线与椭圆的交点坐标为, ， 则，可得,. 因为, 在椭圆上，所以两式相减得 ， 整理得，即，所以 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 已知弦中点求弦所在直线方程或求曲线方程，利用点差法得到弦所在直线斜率 与弦中点坐标之间的关系式，从而减小计算量降低难度. 课 中 探 究 27 拓展 直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于,两点，线段 的中 点的纵坐标为1，为坐标原点，则到直线 的距离为( ) A A. B. C. D. [解析] 由抛物线得其焦点，设，，则 两式相减得，即， 因为线段 的中点的纵坐标为1，即，所以，即， 所以直线 的方程为，即， 所以到直线的距离 ，故选A. 课 中 探 究 28 $