2.1.2 第2课时 椭圆的几何性质的综合问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 椭圆 1 1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆的几何性质的综合问题 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 两个椭圆的关系问题 探究点二 椭圆中的最值问题 探究点三 与椭圆有关的轨迹问题 探究点四 椭圆简单几何性质的实际应用 3 【学习目标】 1.了解椭圆系方程的设法. 2.结合椭圆的定义，会用代数法、几何法求椭圆中的最值问题. 4 知识点 两个椭圆的关系问题 1.共焦点的椭圆系方程 ①与椭圆 有公共焦点的椭圆系方程为 ； ②与椭圆 有公共焦点的椭圆系方程为 . 课 前 预 习 5 2.同离心率的椭圆系方程 ①与椭圆 有相同离心率的椭圆系方程为 或 ； ②与椭圆 有相同离心率的椭圆系方程为 或 ． 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与焦点所在的坐标轴有关. ( ) × （2）椭圆方程中的参数不能刻画椭圆的扁平程度，而 能刻画椭圆的扁平程度.( ) × （3）离心率相同的椭圆是同一个椭圆.( ) × 课 前 预 习 7 探究点一 两个椭圆的关系问题 例1 过点且与椭圆 有相同焦点的椭圆的标准方程是( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意知所求椭圆的焦点为 ，设其方程为， 将点的坐标代入方程可得 ，得， 故所求椭圆的标准方程为 ，故选A. 课 中 探 究 8 变式 椭圆与椭圆且 的( ) D A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 [解析] 易知所以;所以 ， 则两椭圆的焦距相等，D正确. 因为 所以两椭圆的长轴长不相等，短轴长不相等，A，B错误. 根据 知，两椭圆的离心率不相等，C错误.故选D. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 在求两个椭圆的关系问题时，常有两种思路：（1）由椭圆的几何性质来进行判 断求解；（2）由椭圆系方程来判断求解. 课 中 探 究 10 探究点二 椭圆中的最值问题 例2（1） 已知焦点在轴上的椭圆，且，, 分别是椭圆 的左焦点和右顶点，是椭圆上任意一点，则 的最大值为( ) C A.8 B.10 C.12 D.16 课 中 探 究 11 [解析] 因为椭圆的焦点在轴上，所以. 由 解得所以椭圆方程为， 则左焦点，右顶点 . 设，则，所以， 则,， 可知当时， 取得最大值12．故选C. 课 中 探 究 12 （2）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点到椭圆中心 的距离 的取值范围为( ) C A. B. C. D. [解析] 方法一：设点,则,且 , 点在椭圆上，，则 ，. , ,即 . 方法二：设点，其中 ， ， ， 则， ， .故选C. 课 中 探 究 13 变式 设是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点 的坐标为 ，则 的最大值为____. [解析] 设该椭圆的右焦点为，连接.因为，所以点 在椭圆外. 由题意可得,，，所以, , 因为，所以 ， 当且仅当，，三点共线，且在线段 上时，等号成立. 因为，所以 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 最值问题常涉及一些不等式.例如：在椭圆 中， ，, 以及三角形两边之和大于第三边等等.在求 椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系.构建函数是确定最值的 一个最重要的途径，但一定要注意自变量的取值范围. 课 中 探 究 15 探究点三 与椭圆有关的轨迹问题 例3 已知面积为16的正方形的顶点，分别在轴和轴上滑动， 为 坐标原点，，则动点 的轨迹方程是( ) B A. B. C. D. [解析] 设，，，因为正方形 的面积为16， 所以，所以. 由，可得即 则，整理得 .故选B. 课 中 探 究 16 变式（1） 将圆 上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半， 所得曲线的方程是___________. [解析] 设圆上一点的坐标为 ,经变换后所对应点的坐标为， 因为圆 上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的一半， 所以即所以，即 ， 所以所得曲线的方程为 . 课 中 探 究 17 （2）已知圆上的动点在轴上的射影为， 为坐标原点，动 点满足，则动点 的轨迹方程为____________. [解析] 设,,则.由 ， 得，则,可得 因为点 在圆上，所以,即, 所以动点 的轨迹方程为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法： （1）直接法：直接法即根据所满足的几何条件，将几何条件 直接翻 译成，的形式，即，然后进行等价变换，化简为 ． （2）定义法：看所求动点的轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则 用待定系数法求解即可． （3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一个动点按照某种规律运动而形 成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去， 即可解决问题，这种方法称为相关点法. 课 中 探 究 19 拓展 在平面直角坐标系中，已知点与，动点 满足直线 ，的斜率之积为，则点 的轨迹方程为__________________. [解析] ，，化简得. 当位于 轴上时，直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去. 故点 的轨迹方程为 . 课 中 探 究 20 探究点四 椭圆简单几何性质的实际应用 例4 如图①，韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深、塔高、 梁重、跨大的特点，它跨越了曲江区、浈江区、武江区，成为连接曲江区与芙 蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命.韶州大桥 的桥塔外形近似椭圆，示意图如图②.若桥塔所在面截桥面所得线段记为 ，且 过椭圆的下焦点，，桥塔最高点 到桥面的距离为110，则此椭圆 的离心率为( ) 课 中 探 究 21 A. B. C. D. √ 课 中 探 究 22 [解析] 取椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. 设椭圆方程为， 令，则 ，解得， 依题意可得 所以所以，所以 .故选D. 课 中 探 究 23 变式 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面 （椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝 位于椭圆的一个焦点上，由 发出的光线，经过旋转椭 圆面反射后集中到另一个焦点 ．已知此椭圆的离心率为 ，且 ，则灯丝发出的光线经反射镜面反射 后到达另一个焦点时所经过的路程为( ) A A. B. C. D. 课 中 探 究 24 [解析] 以所在直线为轴， 的中点为原点，建立平面直角坐标系. 设椭圆的方程为， 因为椭圆的离心率为，且 ，所以,， 可得, ，所以由椭圆的定义得所求路程为 .故选A. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 求解椭圆的实际应用问题的思路： （1）通过数学抽象找出实际问题中的椭圆； （2）建立适当的坐标系，通过椭圆的方程或几何性质解决实际问题. 课 中 探 究 26 $