2.2.2 第2课时 双曲线的几何性质的综合问题(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 双曲线 1 2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线的几何性质的综合问题 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 双曲线的离心率 探究点二 双曲线的渐近线 探究点三 与双曲线有关的轨迹问题 3 【学习目标】 理解双曲线的离心率、渐近线. 4 知识点一 双曲线的离心率 我们把叫作双曲线的离心率，用表示.因为 ， 所以.决定双曲线的开口大小， 越大，双曲线的开口就越大.因为 ，所以______，也______，从而离心率 可 以用来表示双曲线开口的程度. 越大 越大 课 前 预 习 5 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 双曲线的离心率越大,双曲线的开口越大.( ) √ 2.椭圆的离心率与双曲线的离心率的取值范围是否相同？ 解：不相同.双曲线的离心率的取值范围是 ；椭圆的离心率的取值范围是 . 课 前 预 习 6 知识点二 双曲线的渐近线 一般地，直线和称为双曲线 的渐近线. 直线和称为双曲线 的渐近线. 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） 双曲线与 的渐近线相同.( ) × 2.当双曲线的渐近线确定时,其标准方程能确定吗? 解：不能.每条双曲线对应唯一一组渐近线,但当渐近线确定时,它对应无数条双 曲线,且其焦点可能在轴上,也可能在 轴上. 课 前 预 习 7 探究点一 双曲线的离心率 例1（1） 已知双曲线 的实轴长是虚轴长的3倍，则 的离心率为( ) B A. B. C. D. [解析] 由题可知，所以，所以 ．故选B. 课 中 探 究 8 （2）已知,分别为焦点在轴上的双曲线的左、右顶点,点在上, 为 等腰三角形,且的顶角为 ,则 的离心率为( ) D A. B.2 C. D. [解析] 由题意可设双曲线的方程为, 不妨设 在双曲线的左支上,则 , . 过点 作轴,垂足为,在中,,, 点 的坐标为,代入双曲线方程得,则 , 即, ,故选D. 课 中 探 究 9 变式（1） 已知双曲线的左、右焦点分别为 ， ，若在双曲线上存在点（不是顶点），使得，则 的离 心率的取值范围为( ) A A. B. C. D. 课 中 探 究 10 [解析] 设与轴交于点，连接，则 ,所以 因为，所以点 在双曲线的右支上， 且易知，所以 ， 可得. 在中（其中 为坐标原点），，即，故. 由 ，且三角形内角和为 ，得 ， 则 ，即，即， 所以C的离心率的取值范围为 .故选A. 课 中 探 究 11 （2）已知双曲线的左、右焦点分别为， ，且双曲 线上存在点，使 ，求双曲线离心率的取值范围. 解：设为双曲线的右顶点，为坐标原点， 在双曲线上存在一点 ，使得， ， 即在双曲线右支上存在点，使得，可得 ， ，. 又，， ，即， 双曲线离心率的取值范围为 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 求双曲线离心率的值或取值范围的方法： （1）求，，的值，由或直接求 . （2）列出含有，，的齐次方程（或不等式），借助消去 ，然 后转化成关于 的方程（或不等式）求解. 课 中 探 究 13 拓展 设,分别是双曲线的左、右焦点，过点 且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点，若点满足 ，则双 曲线的离心率 的取值范围是( ) B A. B. C. D. [解析] ，， 为钝角， ，，， 又 ，，，， 或 （舍去）.故选B. 课 中 探 究 14 探究点二 双曲线的渐近线 例2（1） 双曲线 的渐近线方程是( ) C A. B. C. D. [解析] 方程可化为，则, ， 所以双曲线的渐近线方程为 .故选C. 课 中 探 究 15 （2）已知双曲线的离心率为，则 的一条渐近线 的方程为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为C的离心率，所以 ， 所以渐近线的方程为 .故选B. 课 中 探 究 16 变式（1） 已知双曲线的离心率为 ，则其两 条渐近线的夹角为__. [解析] 因为双曲线的离心率为 ， 所以，所以，即， 所以双曲线的渐近线方程为 ， 所以两条渐近线的夹角为 . 课 中 探 究 17 （2）已知双曲线的渐近线方程为 ，其焦点到渐近线的距离为2，则 此双曲线的标准方程为________________________. 或 [解析] 因为渐近线方程为 ,所以可设双曲线的方程为. 当时，方程可化为 ，此时双曲线焦点为， 则焦点到渐近线的距离为，得 ， 则双曲线的标准方程为. 当时，方程可化为 ，此时双曲线焦点为， 则焦点到渐近线的距离为，解得 ， 则双曲线的标准方程为. 所以此双曲线的标准方程为或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式： （1）已知双曲线的方程求其渐近线方程; （2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，由渐近线方程可确定, 的关 系，结合已知条件可解. 课 中 探 究 19 拓展 过双曲线的左焦点作 的一条渐近线的垂线 ，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则 的渐近线 方程为( ) B A. B. C. D. [解析] 设双曲线的右焦点为,为坐标原点,则， 为双曲线的两条渐近线. 由题意知，，因为，所以为线段 的中点， 则为等腰三角形，则， 又 ，所以，所以双曲线的渐近线方程为 . 故选B. 课 中 探 究 20 探究点三 与双曲线有关的轨迹问题 例3（1） 已知是圆上的一个动点，点 ，线段 的垂直平分线交直线于点，则点 的轨迹方程为( ) C A. B. C. D. [解析] 由题可知圆的圆心为，，， 线段 的垂直平分线交直线于点， ， ，又， 点 的轨迹为以，为焦点且实轴长为4的双曲线， 则，，， 点 的轨迹方程为 .故选C. 课 中 探 究 21 （2）已知，圆，动圆经过点且与圆 相切，则 动圆圆心 的轨迹方程是( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 22 [解析] 由,得,则圆C的圆心为 ,半径， 设动圆的半径为. 若动圆与圆C相内切，则圆C在圆 内，所以，， 所以， 所以动点 是以,为焦点的双曲线的右支，且, ， 所以，所以动圆圆心的轨迹方程是. 若动圆 与圆C相外切，则，， 所以 ， 所以动点是以，为焦点的双曲线的左支，且， ， 所以，所以动圆圆心的轨迹方程是 . 综上可得，动圆圆心的轨迹方程是 .故选C. 课 中 探 究 23 变式 动圆截直线和 所得的弦长分别为8，4，则动圆圆 心 的轨迹是( ) C A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 [解析] 设动圆的圆心为,半径为,则点到直线 的距离， 点到直线的距离 ，则， 即，整理可得 ， 即，故动圆圆心 的轨迹是双曲线.故选C. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 求与双曲线有关的轨迹方程常用下列方法：1.待定系数法；2.直译法；3.定义法； 4.相关点法. 课 中 探 究 25 $