2.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质（二）(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

3 抛物线 1 3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线的简单几何性质（二） 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 与抛物线有关的轨迹问题 探究点二 抛物线中的最值问题 探究点三 抛物线的实际应用 3 【学习目标】 1.理解抛物线的简单几何特征. 2.能求与抛物线相关的轨迹问题. 4 知识点一 与抛物线有关的轨迹问题 求解与抛物线有关的轨迹的方程的常见方法： （1）定义法：若动点 的运动规律符合抛物线的定义，则可先设出轨迹方 程，再根据已知条件解方程中的参数，即可求得轨迹方程. （2）直接法：若动点的运动规律满足的等量关系容易建立，则可用点 的坐标 表示该等量关系，即可求得轨迹方程. 课 前 预 习 5 （3）相关点法：若动点的运动是由另外一点的运动引发的，而点 的运动 规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点的坐标表示出点 的 坐标，然后将点的坐标代入已知曲线方程，即可得到点 的轨迹方程. （4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两个动曲线交点的轨迹问 题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得到 所求的轨迹方程. 课 前 预 习 6 知识点二 抛物线中的最值问题 抛物线中的最值问题的求法大体归结为“回归定义法”“构造目标函数法”和 “数形结合法”三类. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）抛物线 上任意一点的横坐标的最小值是0. ( ) √ （2）抛物线上任意一点到焦点的距离的最小值为 .( ) × 课 前 预 习 7 知识点三 抛物线的实际应用 与抛物线有关的实际问题，通过建立坐标系，利用坐标法，把实际问题转化为 几何问题.而建立坐标系的方法为：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条 坐标轴建立平面直角坐标系.这样可使得抛物线不仅具有对称性，而且曲线过原 点，方程不含常数项，形式更为简单. 【诊断分析】 一元二次函数的图象与抛物线之间的关系是什么？ 解：一元二次函数与抛物线是高中数学中的重要概念，它们在数学建模、物理 学和实际应用中有着广泛的应用，一元二次函数的图象是一条开口向上或向下 的抛物线，其对称轴不一定是坐标轴，其顶点不一定在原点. 课 前 预 习 8 探究点一 与抛物线有关的轨迹问题 例1 已知动圆与直线相切，且与定圆 外切，那 么动圆圆心 的轨迹方程为__________. [解析] 方法一：设，由题意知， ， 易知，所以，整理得 . 方法二：由题意知，动点到点的距离比到直线 的距离多1， 则动点到点的距离与到直线 的距离相等， 根据抛物线的定义可知,点的轨迹是以直线为准线,点 为焦点的抛物线， 设抛物线方程为，则，得 故动圆圆心的轨迹方程为 . 课 中 探 究 9 变式（1） 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线平行于轴，且 与轴的交点为，点在直线上，动点的纵坐标与 的纵坐标相同，且 ，求动点 的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 解：由条件可知，直线的方程为，因此点的横坐标为4. 设点 的坐标为，则点的坐标为，因此,. 因为 的充要条件是，所以， 即动点的轨迹方程为 . 从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线. 课 中 探 究 10 （2）已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至 ，使得 ，求动点 的轨迹方程. 解： 设动点的坐标为，点的坐标为，则 ， ， . 因为，所以， ， 可得，，代入得 ， 整理得 ， 所以动点的轨迹方程为 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 解决与抛物线有关的轨迹问题的关键点： ①要深入理解求动点的轨迹方程的各种方法及其适用的基本题型.②求轨迹方程 时要注意检验，多余的点要除去，而遗漏的点要补上.③要明确抛物线的简单几 何性质，选相应的解题策略和拟定具体的解题方法. 课 中 探 究 12 探究点二 抛物线中的最值问题 例2（1） 已知定点，是抛物线上的动点，则 的最小值 为___. 1 [解析] 点是抛物线上的动点， 根据抛物线的对称性可设点 的坐标为，， 点的坐标为 ， ， 又， 当，即时， 取得最小值1. 课 中 探 究 13 （2）已知点是抛物线上的一点，过点作直线 的垂线，垂 足为，若，则 的最小值为( ) A A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 由抛物线可知其焦点坐标为，准线方程为 , 记抛物线C的焦点为，连接， ，如图， 所以， 当且仅当点 在线段上时等号成立，所以 的最小值为3.故选A. 课 中 探 究 14 变式（1） 已知，点为抛物线的焦点，直线 为抛物线的准线， 点在抛物线上移动，当取得最小值时，点 的坐标为( ) B A. B. C. D. [解析] 在中，当时， ，所以点A在抛物线的内部. 作，垂足为B，设点到抛物线的准线 的距离为，准线的方程为 ， 所以， 当且仅当点 为线段与抛物线的交点时，取得最小值， 此时点的坐标为 .故选B. 课 中 探 究 15 （2）已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线 的准线上 一动点，点在抛物线上，且，则 的最小值为______. [解析] 由题知抛物线的准线方程为，因为，所以 ， 所以，所以，不妨取，如图， 作关于准线的对称点 ，则，连接，， 所以 ，当且仅当,,三点共线时取等号， 所以的最小值为 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 解决与抛物线有关的最值问题，常结合抛物线的定义、几何性质进行转化构建函 数.其中构建函数是确定最值的一个重要的途径，但一定要注意自变量的取值范围. 课 中 探 究 17 拓展 设抛物线上一点到轴的距离为，点 为圆 上任意一点，则 的最小值为( ) C A. B.2 C.3 D.4 [解析] 设抛物线的焦点为，则，准线方程为，连接 ， 则，即，所以. 连接， , 因为圆的圆心为，半径 ，所以 ， 当且仅当点，均在线段上时取等号，即 的最小值为3.故选C. 课 中 探 究 18 探究点三 抛物线的实际应用 例3 如图所示，某桥是抛物线形拱桥，此时水面宽为 ，经过一次暴雨后，水位上升了 ，水面宽为 ，则暴雨后的水面离拱顶的距离为( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 19 [解析] 在一个铅垂平面内，以拱顶为坐标原点， 水平向右为轴正方向，竖直向上为 轴正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系. 设桥孔所在抛物线的方程为， ,， ，由题可得 解得，所以暴雨后的水面离拱顶的距离为 .故选C. 课 中 探 究 20 变式 已知某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，示意图如图所示.上部呈抛 物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一艘货船欲过此 桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米， 且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线 就要上升0.04米.若不考虑水下深度，问：该货船在现有状况下能否直接或设法 通过该桥孔？为什么？ 课 中 探 究 21 解：如图所示，在一个铅垂平面内，以拱顶为坐标原点， 过拱顶的水平直线为轴,过拱顶且垂直于水平直线的直线为轴， 建立平面直角坐标系. 因为拱顶距离水面6米，桥墩高出水面4米，所以. 设桥孔上部所在抛物线的方程是 ,则,所以， 所以抛物线的方程为，即 . 当时， ，所以若货船沿正中央航行， 则当船体吃水线上部货物的高度不超过 （米）时可正常通行. 又目前吃水线上部中央船体高5米，所以无法通行. 因为，， ， 所以若该货船通过增加货物通过桥孔，则至少要增加1050吨货物， 而货船最多还能装1000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过该桥孔. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 求解抛物线的实际应用问题的步骤 课 中 探 究 23 $