2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 椭圆 1 1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 椭圆的简单几何性质 探究点二 椭圆的简单几何性质的应用 探究点三 椭圆的离心率 3 【学习目标】 1.掌握椭圆的简单几何性质. 2.了解椭圆标准方程中,,, 的几何意义. 4 知识点 椭圆的简单几何性质 1.椭圆的几何性质 标准方程 图形 _______________________________________________________ ______________________________________ 课 前 预 习 5 标准方程 性 质 焦点 ________________ ________________ 焦距 范围 ________________________ ________________________ 对称性 关于________________对称 长轴 ,其中 为长半轴长 短轴 ,其中 为短半轴长 顶点 ______________ ______________ 离心率 ______ , , ， ， 轴、轴和原点 , , 续表 课 前 预 习 6 2.离心率对椭圆扁圆程度的影响 （1）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率,用 表示，即______,显然 . （2）离心率对椭圆扁圆程度的影响 如图所示,在中,,记 ,则 ,易知越大,越小,椭圆越____; 越小, 越大,椭圆越____. 扁 圆 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的顶点一定在坐标轴上.( ) × （2）椭圆的长轴长是 .( ) × （3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程 为 .( ) × （4）椭圆比椭圆 更扁一些.( ) √ 课 前 预 习 8 探究点一 椭圆的简单几何性质 例1 求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率： （1） ； 解：由椭圆方程可知其焦点在轴上，,，则 ， 所以该椭圆的长轴长为6，短轴长为，焦距为 ； 上、下顶点坐标分别为,，左、右顶点坐标分别为, ； 上、下焦点坐标分别为,，离心率 . 课 中 探 究 9 （2） ； 解：由椭圆方程可知其焦点在轴上，可得, ， 则， 所以该椭圆的长轴长为26，短轴长为24，焦距为10； 上、下顶点坐标分别为,，左、右顶点坐标分别为, ； 左、右焦点坐标分别为,，离心率 . 课 中 探 究 10 （3） . 解：将椭圆方程整理变形成标准方程可得 ， 易知其焦点在轴上，可得,，则， 所以该椭圆的长轴长为1，短轴长为 ，焦距为； 上、下顶点坐标分别为,,,，左、右顶点坐标分别为, ,,； 左、右焦点坐标分别为,,,，离心率 . 课 中 探 究 11 变式 [2024·兰州一中高二期中] 已知椭圆 的离心率 ，求 的值及椭圆的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标. 解：由整理得.因为， 所以该椭圆的焦点在 轴上且, . 又因为，所以，解得 ， 所以椭圆的方程为，可得,，则 . 所以椭圆的长轴长为，焦距为，焦点坐标为 ， 上、下顶点坐标分别为，， 左、右顶点坐标分别为， . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 解决椭圆几何性质问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判 断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用，， 之间的关系和定义，求椭圆的 基本量. 课 中 探 究 13 探究点二 椭圆的简单几何性质的应用 例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆过点，离心率 ； 解：若椭圆的焦点在轴上，则，， ， ， 椭圆的标准方程为. 若椭圆的焦点在 轴上，则，由， 解得， 椭圆的标准方程为. 综上，所求椭圆的标准方程为 或 . 课 中 探 究 14 （2）椭圆在 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且其焦距为8； 解：由题意知椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的方程为 . 设该椭圆的一个焦点为，为坐标原点，短轴的两个端点分别为， ， 则为等腰直角三角形，易知为斜边的中线（高）， 则在 中， ， ， ，且椭圆的焦距为8，, ， 故所求椭圆的标准方程为 . 课 中 探 究 15 （3）椭圆经过点，且与椭圆 有相同的离心率. 解：方法一：设的离心率为，所求椭圆的长半轴长为 ,短半轴长为， 由题意知 . 所求椭圆与椭圆 的离心率相同，，即， 可设所求椭圆的标准方程为或 ， 将点的坐标代入椭圆的标准方程中，得或 ， 解得或 . 故所求椭圆的标准方程为或 . 课 中 探 究 16 方法二：由题意设所求椭圆的方程为 或， 将点的坐标代入可得， ，解得，， 故或 ，即所求椭圆的标准方程为或 . 课 中 探 究 变式 已知椭圆的对称轴是坐标轴，为坐标原点，是一个焦点， 是一个 顶点，若椭圆的长轴长是26， ，则椭圆的方程是( ) D A. B. C.或 D.或 [解析] 由知A是短轴的端点, 长轴长是26, ,即, 由，得，， 椭圆的方程为或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 利用椭圆的几何性质求其标准方程的思路 （1）当利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是: ①确定焦点的位置; ②设出相应椭圆的标准方程； ③根据已知条件列方程（组）,常用的关系式有, 等. （2）不能确定椭圆的焦点位置时,满足题意的椭圆的标准方程可能有两个. 提醒:与椭圆有相同离心率的椭圆的方程为 （,焦点在轴上）或（,焦点在 轴上）. 课 中 探 究 19 探究点三 椭圆的离心率 例3（1） 若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距满足 , 则该椭圆的离心率是( ) C A. B. C. D. [解析] 由,得，则 , 所以,等号两边同时除以, 整理得,解得 或 （舍去）,故选C. 课 中 探 究 20 （2）如图，，，分别为椭圆 的左顶点、上顶点与右焦点，若 ，求该椭 圆的离心率. 解：设该椭圆的焦距为，由题意可得 ， ， ， 则, ， 因为 ，所以 ， 则，整理可得 ， 解得 ， 又，所以 . 课 中 探 究 21 变式（1） [2024·黄山高二期中]已知矩形 的四个顶点都在椭圆 上，边和 分别经过椭圆的左、右焦点，且 ，则该椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. [解析] 由椭圆方程知，当时，，所以, . 因为，所以，即，所以 ， 可得 ，故选A. 课 中 探 究 22 （2）已知椭圆，其上顶点为，左、右焦点分别为 , ，且为等边三角形，则椭圆 的离心率为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题可知，椭圆C的离心率 .故选A. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 求椭圆离心率的值或范围的两种方法 （1）直接法：若已知，，可直接利用求解.若已知，或， ，可借助 求出或，再代入公式 求解. （2）方程法：若，的值不可求，则可根据条件建立，， 的齐次关系式， 借助，转化为关于， 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两 边同时除以的最高次幂，得到关于的方程或不等式，即可求得 的值或范围. 课 中 探 究 24 拓展 已知椭圆的左、右顶点分别为, ,若椭圆上 存在点,使得 ,则椭圆 的离心率的取值范围为_ ______. [解析] 易知当点为椭圆与轴的交点时, 最大, 由题可知此时 ,即（ 为坐标原点）, 则,即,即,即 , 得,不等号两边同时除以得， 又，所以 . 课 中 探 究 25 $