2.3.2 抛物线的简单几何性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质，通过生活中信号接收塔、太阳灶等实例导入，联系椭圆、双曲线学习经验提出问题，搭建从具体到抽象的知识支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，一题多解与通性通法总结发展数学思维，大桥通行计算等实际应用强化数学语言表达。自我诊断与跟踪训练助学生巩固，教师可借系统资源提升教学效率。

§3　抛物线 3.2　抛物线的简单几何性质 第二章　圆锥曲线 1 课标 要求 1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质（直观想象）. 2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 　　生活中不乏以抛物线为原型的例子，信号接收塔、太阳灶、石拱桥、 抛物线型灯具等.除了美观外，主要也是借用了抛物线的一些性质.比如信 号接收塔、太阳灶的设计利用了抛物线的聚集性，抛物线型石拱桥利用了 其跨距大的特点等等. 【问题】　就如前面学习椭圆、双曲线一样，抛物线有哪些几何性质呢？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点　抛物线的简单几何性质 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 图形 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 性 质 焦点 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 准线 ⁠⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 范围 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 对称 轴 ⁠ ⁠ 顶点 ⁠ F F F F x＝－ x＝ y＝－ y＝ x≥0， y∈R x≤0， y∈R x∈R， y≥0 x∈R， y≤0 x轴 y轴 O（0，0） 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 类型 y2＝2px （p＞0） y2＝－2px （p＞0） x2＝2py （p＞0） x2＝－2py （p＞0） 性 质 离心率 ⁠ 开口方向 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ e＝1　 向 右　 向左　 向上　 向下　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 　在同一平面直角坐标系下试画出抛物线y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的图象， 你能分析影响抛物线开口大小的量是什么吗？ 提示：影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大， 反之，开口越小. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）抛物线x2＝2py（p＞0）有一条对称轴为y轴. （　√　） （2）抛物线y＝－x2的准线方程是x＝. （　×　） （3）抛物线是中心对称图形. （　×　） （4）只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方 程. （　√　） （5）有的抛物线的离心率不为1. （　×　） √ × × √ × 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若点M（a，b）在抛物线x2＝8y上，则下列点中一定在该抛物线上的是 （　　） A. （－a，－b） B. （a，－b） C. （－a，b） D. （－b，－a） √ 解析： 　由抛物线关于y轴对称可知，点（－a，b）一定在抛物线上，故 选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 设抛物线的焦点到顶点的距离为6，则抛物线上的点到准线的距离的取 值范围是（　　） A. （6，＋∞） B. [6，＋∞） C. （3，＋∞） D. [3，＋∞） √ 解析： 　∵抛物线的焦点到顶点的距离为6，∴＝6，即p＝12.又抛物线 上的点到准线距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线距离的取值范围 为[6，＋∞）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，｜AF｜＝ 2，则｜BF｜＝ ⁠. 解析：F（1，0），由抛物线定义得A点横坐标为1.∴AF⊥x轴，∴｜BF｜ ＝｜AF｜＝2. 2　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 14 题型一　由性质求抛物线的标准方程 〔一题多解〕（1）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线 上一点M（m，－3）到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方 程； 解： 因为顶点在原点，焦点在y轴上，点M（m，－3）位于第三或第 四象限，故可确定所求抛物线的开口向下. 法一　设所求抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－）. 因为M（m，－3）在抛物线上且｜MF｜＝5， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 故解得 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0），则焦点为F（0，－ ）， 准线l：y＝，过点M作MN⊥l，垂足为N，则｜MN｜＝｜MF｜＝5，而｜ MN｜＝3＋，所以3＋＝5，解得p＝4.又点M在抛物线上，所以m2＝24， 解得m＝±2. 故m＝±2，抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），则焦点为F（， 0），直线l：x＝，所以直线l与抛物线的交点的坐标分别为（，p）， （，－p），所以｜AB｜＝2｜p｜. 因为△OAB的面积为4， 所以··2｜p｜＝4，所以p＝±2. 故所求抛物线的标准方程为y2＝4x或y2＝－4x. （2）已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线 交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的 标准方程. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 由抛物线的几何性质求标准方程的方法 （1）代数法：将几何性质转化为坐标表达式，解方程（组）求出未知 数； （2）几何法：将几何性质与抛物线定义相结合，采用几何法求出焦准 距，从而得到抛物线的标准方程. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过 A，B的抛物线方程是（　　） A. y2＝x B. y2＝－x C. y2＝±x D. y2＝±x √ 解析： 　设抛物线方程为y2＝ax（a≠0）.又A（取点A在x轴上 方），则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和 6，则抛物线的标准方程为 ⁠. 解析：∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为（x，6）.又∵点M到 准线的距离为10，∴解得或故当点M的横 坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x；当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2 ＝36x. y2＝4x或y2＝36x　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　由抛物线的方程研究其几何性质 已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶 点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积为 　3　. 解析：∵△AOB是等边三角形，A，B在抛物线y2＝x上，∴顶点A，B关于 抛物线的对称轴（x轴）对称，不妨设A（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则B （x0，－y0）.由｜AF｜＝x0＋＝，解得x0＝3，∴y0＝，∴△AOB的 边长｜AB｜＝2y0＝2，∴△AOB的面积为×（2）2×＝3. 3　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 确定抛物线的简单几何性质的三个要点 （1）开口方向：由抛物线标准方程看其开口方向，关键是看准二次项是x 还是y，一次项的系数是正还是负； （2）位置关系：顶点位于焦点和准线与坐标轴的交点中间，准线垂直于 对称轴； （3）定值：焦点到准线的距离为p，过焦点垂直于对称轴的弦（又称为通 径）长为2p（p＞0）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于 A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝ ⁠. 解析：如图，在等边△ABF中，DF＝p，BD＝p，则B点坐 标为.又点B在双曲线上，故－＝1.解得p＝ 6. 6　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），若倾斜角为锐角的直线l过抛物 线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且｜AF｜＝3｜BF｜，则直线l的倾 斜角为 ⁠. 解析：如图，直线m为抛物线的准线，过点A，B分别作 AM，BN垂直于m，垂足为M，N，作BE⊥AM于点E，因 为｜AF｜＝｜AM｜，｜BF｜＝｜BN｜，且｜AF｜＝3｜ BF｜，所以｜AM｜＝3｜BN｜，｜AB｜＝4｜BF｜，｜ AE｜＝｜AM｜－｜ME｜＝2｜BF｜，所以cos∠BAE＝， 则∠BAE＝60°，即直线l的倾斜角为60°. 60°　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　抛物线的实际应用问题 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度 为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔，该货 船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该 货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水 线就要上升0.04米.若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直 接或设法通过该桥孔？为什么？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系. 因为拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，所以A（10， －2）. 设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py（p＞0）， 则102＝－2p×（－2）， 所以p＝25， 所以抛物线方程为x2＝－50y， 即y＝－x2. 若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 y＝－×82＝－1.28， 即船体在x＝±8之间通过点B（8，－1.28），此时B点 距水面6＋（－1.28）＝4.72（米）. 而船体高为5米，所以无法通行. 又因为5－4.72＝0.28（米），0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050（吨）， 所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而 船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能 通过桥孔. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求抛物线实际应用问题的五个步骤 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡 远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形 状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25 cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 cm（碗体 和碗盖的厚度忽略不计）. 7　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2 ＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝2p×6.25， 解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗 底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 下列关于抛物线C：x2＝－y的说法正确的是（　　） A. 开口向下，准线方程为y＝－ B. 开口向左，准线方程为x＝－ C. 开口向下，准线方程为y＝ D. 开口向左，准线方程为x＝ √ 解析： 　抛物线C：x2＝－y的开口向下，准线方程为y＝.故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l交抛物线于P1（x1，y1），P2（x2，y2） 两点，若y1＋y2＝6，则｜P1P2｜＝（　　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 √ 解析： 　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，因为P1（x1，y1），P2（x2，y2） 两点是过抛物线焦点的直线l与抛物线的交点，所以P1（x1，y1），P2 （x2，y2）两点到准线的距离分别是y1＋1，y2＋1，所以｜P1P2｜＝y1＋y2 ＋2＝8. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 〔多选〕以y轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与对称轴垂直的 弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（　　） A. y2＝8x B. y2＝－8x C. x2＝8y D. x2＝－8y √ √ 解析： 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py（p＞0），依题 意得y＝，代入x2＝2py或x2＝－2py得｜x｜＝p，∴2｜x｜＝2p＝8，p＝ 4.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反 射后与对称轴平行.如图所示，沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝2px （p＞0）反射后，与x轴相交于点A（2，0），则该抛物线的焦点到准线的 距离为 ⁠. 4　 解析：依题意，A（2，0）为该抛物线的焦点，则＝2，得p＝4.∴该抛物线的焦点到准线的距离为4. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 已知点A（－2，3）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线上，记C的焦点 为F，则直线AF的斜率等于 ⁠. 解析：因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线 上，所以＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为（2， 0），故直线AF的斜率k＝＝－. －　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 拓视野　活用抛物线的焦点弦 　设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2， y2），则 （1）x1·x2＝，y1·y2＝－p2； （2）｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，S△OAB＝（α是直线AB的倾斜角）； （3）＋＝为定值（F是抛物线的焦点）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 一、活用x1·x2＝，y1·y2＝－p2 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直 线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为 （　　） A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x √ 解析： 　设A（x1，y1），B（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝ －p2＝－12，得p＝4（舍负），即抛物线C的方程为y2＝8x，故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　该种类型题目通过抛物线的特殊性质，脱离于传统的联立方程组 求解，较为迅速的得到结果，体现了模式化的认识特征，将特征的概 念结论广泛地、抽象地应用于数学题目，体现了数学抽象、数学运算 的核心素养. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 二、活用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的 直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程. 解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则｜AB｜＝，∴＝8，∴p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px（p＞0）时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　利用｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α是直线AB的倾斜角，α≠0°）可 较为迅速的求解焦点弦的长度问题. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 三、活用＋＝为定值 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若｜AF｜＝ 2｜BF｜，则｜AB｜＝（　　） A. 4 B. C. 5 D. 6 √ 解析： 　因为｜AF｜＝2｜BF｜，＋＝＋＝ ＝＝1，解得｜BF｜＝，｜AF｜＝3，故｜AB｜＝｜AF｜＋｜ BF｜＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　该题将求弦长问题，通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问 题，体现了数学抽象及数学运算的核心素养. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 44 1. （2026·烟台月考）已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M（x1，y1），N （x2，y2）是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2＝（　　） A. － B. － C. －1 D. －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　y＝2x2即x2＝y，由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为 （　　） √ 解析： 　将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为＋＝1与y2＝－x，所 以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 若抛物线y2＝2px（p＞0）上一点M到准线及对称轴的距离分别为5和3， 则p的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 1或9 D. 2或9 √ 解析： 因为点M到对称轴的距离为3，所以不妨设M（x0，3）.因为点M 到准线的距离为5，所以所以＋＝5，解得p＝1或p＝9，均 满足题设.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截 面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集 到信号装置（信号装置安装在抛物线的焦点处）.已知接收天线的口径 （直径）为5 m，深度为1 m，则信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 （　　） A. m B. m C. m D. m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　如图建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为 y2＝2px（p＞0），点A在抛物线上，所以＝2p， 则＝，所以信号装置与卫星接收天线中心O的距离为 m.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕下列关于抛物线y＝4x2的叙述正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线关于x轴对称 C. 顶点在原点，焦点为（1，0） D. 准线方程为y＝－ √ √ 解析： 　由抛物线方程y＝4x2得其标准方程x2＝y，其中p＝，焦点F （0，），准线方程为y＝－，抛物线开口向上，关于y轴对称. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在抛物线C 上，｜MF｜＝5，若y轴上存在点A（0，2），使得·＝0，则p的值可 以为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意可得，以MF为直径的圆过点（0，2），设点M（x， y），由抛物线定义知｜MF｜＝x＋＝5，可得x＝5－.因为圆心是MF的 中点，所以根据中点坐标公式可得，圆心横坐标为＝，由已知可得 圆的半径也为，据此可知该圆与y轴相切于点A（0，2），故圆心纵坐标 为2，则M点纵坐标为4，即点M（5－，4），代入抛物线方程得p2－10p ＋16＝0，解得p＝2或p＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 直线4kx－4y－k＝0与抛物线y2＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝4，则弦 AB的中点到直线x＋＝0的距离等于 　　. 解析：如图，直线4kx－4y－k＝0过定点，抛 物线y2＝x的焦点F（，0），设弦AB的中点为M， 分别过点A，M，B作准线x＝－的垂线，垂足分别 为点P，Q，R，则｜MQ｜＝（｜AP｜＋｜BR｜）＝｜AB｜＝2，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ⁠. 解析：设抛物线上点的坐标为（x，±），此点到准线的距离为x＋， 到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝ ，∴y＝±，∴此点坐标为. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，抛物线C的准线与y轴交于 点A，点M（1，y0）在抛物线C上，｜MF｜＝，则tan∠FAM＝ 　　. 解析：如图，过点M向抛物线的准线作垂线，垂足为点 N，则｜MN｜＝y0＋＝，故y0＝2p.又M（1，y0）在 抛物线上，故y0＝，于是2p＝，解得p＝，∴｜MN｜ ＝＝.∴tan∠FAM＝tan∠AMN＝＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 已知双曲线C1：－＝1（a＞0）的离心率e＝2，抛物线C2的准线经 过C1的左焦点. （1）求抛物线C2的标准方程及其准线方程； 解： 由题意可知，双曲线C1的离心率为e＝＝＝2，解得a＝1或 a＝－1（舍去），则c＝2a＝2，所以抛物线C2的准线方程为x＝－2. 设抛物线C2的标准方程为y2＝2px（p＞0），则＝2，解得p＝4， 所以抛物线C2的标准方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若过抛物线C2焦点F的直线l与该抛物线交于A，B两点，求证：以AB 为直径的圆与抛物线C2的准线相切. 解： 证明：抛物线C2的焦点为F（2，0）. 设点A（x1，y1），B（x2，y2）， 则线段AB的中点为E， 则点E到C2的准线x＝－2的距离为d＝＋2， 所以｜AB｜＝x1＋x2＋4＝2＝2d， 所以以AB为直径的圆与抛物线C2的准线相切. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A（－1，0），点P是抛物线上的动点， 则当的值最小时，｜PF｜＝（　　） A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由题意知，抛物线的准线方程为x＝－1，如 图，过点P作PQ垂直准线于点Q，由抛物线的定义知｜ PQ｜＝｜PF｜，∴＝＝sin∠PAQ. 由正弦 函数的性质知，要使最小，则∠PAQ最小，即 ∠PAF最大，即直线PA斜率的绝对值最大，即直线PA与抛物线相切.设PA所在的直线方程为y＝k（x＋1），联立整理得k2x2＋（2k2－4）x＋k2＝0，则Δ＝（2k2－4）2－4k4＝0，解得k＝±1，即x2－2x＋1＝0，解 得x＝1，代入y2＝4x得y＝±2.∴P（1，2）或P（1，－2）.利用焦半径公式得｜PF｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上 一点，以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点.若∠ABD＝90°， 且△ABF的面积为9，则（　　） A. △ABF是等边三角形 B. ｜BF｜＝3 C. 点F到准线的距离为3 D. 抛物线C的方程为y2＝6x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　∵以F为圆心，｜FA｜为半径的圆交l于B，D两点，∠ABD＝ 90°，由抛物线的定义可得｜AB｜＝｜AF｜＝｜BF｜，∴△ABF是等边 三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面积为｜BF｜2＝9，∴｜BF｜ ＝6.又点F到准线的距离为｜BF｜sin 30°＝3＝p，则该抛物线的方程为y2 ＝6x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知曲线C由抛物线y2＝2x及抛物线y2＝－2x组成，A（1，2），B（－ 1，2），M，N是曲线C上关于y轴对称的两点（A，B，M，N四点不共线， 且点M在第一象限），则四边形ABNM周长的最小值为 ⁠. 解析：设抛物线y2＝2x的焦点为F（，0），则四边形 ABNM的周长l＝｜AB｜＋2｜AM｜＋2xM＝2＋2｜AM｜ ＋2｜MF｜－1＝1＋2（｜AM｜＋｜MF｜）≥1＋ 2｜AF｜＝1＋，当且仅当A，M，F三点共线时取等号.故四边形ABNM周长的最小值为1＋. 1＋　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的 高铁线（近似看成直线）l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地 的距离等于到高铁线l的距离，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房与 公路之间的距离忽略不计），分别向A地、B地送电. （1）试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路PQ所在曲线的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 如图，以经过点B且垂直于l（垂足为K）的 直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐 标系xOy，则B（0，2），A（2，4）. 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于到高 铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B（0，2）为焦点，l为准线的抛物线. 设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），则p＝4，故曲线形公路PQ所在曲线的方程为x2＝8y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）问变电房M建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设 电路所用电线长度最短？并求出最短长度. 解： 要使架设电路所用电线长度最短，即使｜ MA｜＋｜MB｜的值最小. 如图，过M作MH⊥l，垂足为H，依题意得｜MB｜＝｜MH｜， 所以｜MA｜＋｜MB｜＝｜MA｜＋｜MH｜，故当A，M，H三点共线时，｜MA｜＋｜MH｜取得最小值，即｜MA｜＋｜MB｜取得最小值，此时M（2，）.故变电房M建在A地正南方向且与A地相距 km时，所 用电线长度最短，最短长度为6 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $