第2章 2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆的研究方法，系统梳理双曲线的标准方程、范围、对称性、顶点、轴、离心率及渐近线等性质，构建从椭圆到双曲线的知识迁移支架。 资料以发电厂冷却塔等实例导入培养数学眼光，通过类比推理发展数学思维，结合3D打印塔筒等实际问题强化数学语言应用。课中助力教师引导学生探究，课后通过例题与跟踪训练帮助学生巩固知识，查漏补缺。

2．2　双曲线的简单几何性质 新课导入 学习目标 发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质．本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关性质． 1.依据双曲线的方程、图象研究双曲线的几何性质．　2.依据几何条件求出双曲线的标准方程，并利用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．　3.掌握求双曲线离心率的方法．　4.会解决与渐近线有关的问题． 5．进一步熟悉求双曲线标准方程的方法． 第1课时　双曲线的简单几何性质 知识点　双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质，研究双曲线的方程－＝1(a＞0，b＞0)及其对应曲线： 思考1　从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？ 提示：有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a. 思考2　双曲线的图象是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？ 提示： 是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是x轴和y轴，对称中心是原点． [知识梳理] 1．双曲线的几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图象 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，且y∈R y≤－a或y≥a，且x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 离心率 e＝∈(1，＋∞) 渐近线 y＝±x y＝±x 2.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x，离心率e＝. [例1] (对接教材例4)求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图： (1)－＝1；(2)mx2－ny2＝－mn(m>0，n>0). 【解】　(1)由双曲线方程－＝1，知双曲线的焦点在x轴上，且a＝2，b＝3，c＝， 则双曲线的实轴长2a＝4， 虚轴长2b＝6，顶点的坐标为(－2，0)，(2，0)，离心率e＝＝，由＝，得渐近线方程为y＝±x，画出双曲线草图(如图). (2)把方程mx2－ny2＝－mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，知双曲线的焦点在y轴上，且a＝，b＝，c＝，则双曲线的实轴长2a＝2，虚轴长2b＝2，顶点的坐标为(0，－)，(0，)， 离心率e＝＝＝， 由＝，得渐近线方程为y＝±x，画出双曲线草图(如图). 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c的值； (4)写出双曲线的几何性质． 注意　求性质时一定要注意焦点的位置． [跟踪训练1] (1)双曲线x2＋my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则实数m的值为(　　) A．－ B．－ C．－2 D．－4 解析：选D．双曲线方程可化为x2－＝1，m<0，因为实轴长是虚轴长的2倍，即1＝2×，故m＝－4. (2)已知双曲线C：x2－＝1(m>0)是等轴双曲线，则C的右焦点坐标为________；焦点到其渐近线的距离是________． 解析：双曲线C：x2－＝1(m>0)是等轴双曲线，则m2＝1，m＝1，c2＝a2＋b2＝1＋1＝2，c＝，则C的右焦点坐标为(，0)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，则焦点(±，0)到渐近线的距离d＝＝1. 答案：(，0)　1 应用点一　由双曲线的几何性质求标准方程 [例2] 求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是； (2)一个顶点的坐标为(0，2)，一个焦点的坐标为(0，－)； (3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为y＝x，实轴长为12. 【解】　(1)由题知，c＝5且e＝＝，则a＝4，b2＝c2－a2＝9，又顶点在x轴上，故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由题知，a＝2，c＝，则b2＝c2－a2＝1，易知焦点在y轴上，故所求双曲线的标准方程为－x2＝1. (3)方法一：由题知，a＝6，又焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(b>0)，又一条渐近线方程为y＝x，即＝，则b2＝64，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：由题可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，又焦点在y轴上，所以λ<0，双曲线的标准方程为－＝1，实轴长为12，所以a＝6，故－9λ＝36，得λ＝－4，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 根据双曲线的几何性质求标准方程可按“先定位，再定形”的方法，但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． 常用结论　渐近线方程为y＝±x的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0)；与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0，a>0，b>0). [跟踪训练2] (1)已知双曲线中心在原点，一个顶点坐标为(0，4)，且渐近线方程为x＝±2y，则其标准方程为(　　) A．－＝1 B．－x2＝1 C．x2－＝1 D．－＝1 解析：选A．方法一：由双曲线顶点在y轴上，所以可设其方程为－＝1(a>0，b>0)，因为顶点坐标为(0，4)，渐近线方程为x＝±2y，即y＝±x，可得解得所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法二：依题意可设双曲线方程为4y2－x2＝λ(λ>0)，化为标准方程－＝1，又一个顶点坐标为(0，4)，所以＝16，λ＝64，故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)已知双曲线－＝1的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆＋y2＝1的焦点重合，则这个双曲线的方程是________________． 解析：由题意得解得 所以b2＝c2－a2＝2， 所以双曲线的方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1 应用点二　双曲线简单实际问题的应用 [例3] 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可黏合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，喉部的直径为8 cm，则该塔筒的高为(　　) A． cm B．18 cm C． cm D．18 cm 【解析】　该塔筒的轴截面如图所示， 以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的离心率为＝，所以b2＝9a2.又喉部的直径为8 cm，所以2a＝8，a＝4，所以双曲线的方程为－＝1.由题意可知xA＝3，xB＝，代入双曲线方程，得yA＝3，yB＝－，所以该塔筒的高为yA－yB＝.故选C． 【答案】　C 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程或几何性质的问题．特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围． [跟踪训练3] 景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷花瓶，它的颈部(图2)外形上下对称，基本可看作是离心率为的双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所成的曲面，若该颈部中最细处直径为16 cm，颈部高为20 cm，则瓶口的直径为(　　) A．20 cm B．30 cm C．40 cm D．50 cm 解析：选A．如图，作出截面图．点M(x0，y0)是双曲线与截面的一个交点．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)， 则所以 所以b＝＝，所以双曲线的标准方程为－＝1，将y0＝10代入得－＝1，解得x0＝10，所以瓶口的直径为20 cm. 1．若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A．±5 B．±3 C．5 D．9 解析：选B．由题意知，34－n2＝n2＋16，所以2n2＝18，n2＝9，所以n＝±3. 2．(多选)下列关于双曲线Γ：－y2＝1的判断，正确的是(　　) A．顶点坐标为(±2，0) B．焦点坐标为(±，0) C．实轴长为4 D．虚轴长为2 解析：选ACD．对于双曲线Γ，a＝2，b＝1，则c＝＝＝，对于A，双曲线Γ的顶点坐标为(±2，0)，A正确；对于B，双曲线Γ的焦点坐标为(±，0)，B错误；对于C，双曲线Γ的实轴长为2a＝4，C正确；对于D，双曲线Γ的虚轴长为2b＝2，D正确．故选ACD． 3．以椭圆＋＝1的焦点为焦点，且过点(2，) 的双曲线的方程为________________． 解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0).根据题意得解得或(舍去)，所以所求双曲线的方程为－＝1. 答案：－＝1 4．(教材P67 T3改编)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)； (3)过(3，－1)且实轴与虚轴长度相等． 解：(1)依题意，可知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又＝，所以a＝5，b＝＝12，故其标准方程为－＝1. (2)由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (3)可设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 则将(3，－1)代入，有λ＝9－1＝8， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 1．已学习：双曲线的几何性质． 2．须贯通：用待定系数法求双曲线方程． 3．应注意：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 学科网（北京）股份有限公司 $