2.2.1 双曲线及其标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 双曲线 1 2.1 双曲线及其标准方程 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 双曲线的定义 探究点二 双曲线的标准方程 探究点三 双曲线的实际问题 3 【学习目标】 1.了解双曲线的实际背景. 2.经历从具体情境中抽象出双曲线的过程. 3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 4 知识点一 双曲线的定义 1.双曲线的定义:平面内到两个定点, 的距离之____________等于常数（ ____________________）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这两个定点, 叫 作双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫作双曲线的______. 差的绝对值 大于零且小于 焦距 2.设点 为双曲线上一点，则双曲线的定义的数学表达式为 __________________________________,焦距常用____表示. , 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知两定点,,满足条件的动点 的轨迹是 双曲线.( ) × （2）已知两定点,,满足条件的动点 的轨迹是 双曲线.( ) × （3）已知两定点,,满足条件的动点 的轨迹是 双曲线.( ) × 课 前 预 习 6 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上 图象 ______________________________________ ______________________________________ 标准方程 _______________________ _______________________ 焦点坐标 ________________ ________________ ,, 的关系 _____________ , , 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）对于双曲线的标准方程，参数,,中，最大的一定是 .( ) √ （2）方程 表示的曲线一定是双曲线.( ) √ （3）在双曲线方程中，必有 .( ) × 课 前 预 习 8 探究点一 双曲线的定义 例1（1） 已知,,,当或时,点 的轨迹 分别为( ) D A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线的一支或一条直线 D.双曲线的一支或一条射线 [解析] 易知, 当时,, 点 的轨迹为双曲线的一支（靠近点B）. 当时,, 点 的轨迹是以B为端点的一条射线. 故选D. 课 中 探 究 9 （2）[2024·内蒙古高二期中]若双曲线上的点 到左焦点的距离为9， 则 到右焦点的距离为( ) A A.15 B.3 C.3或15 D.5或12 [解析] 设双曲线C的左、右焦点分别为,，则. 因为 , ，所以，则点 在双曲线左支上， 所以，故 .故选A. 课 中 探 究 10 变式（1） 已知圆，圆，若动圆 与 圆，都外切，则动圆的圆心 的轨迹是( ) A A.双曲线的一支 B.一条射线 C.椭圆 D.圆 [解析] 由题可得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为 ,半径为. 设动圆与圆、圆外切的切点分别为A，B，则,A,共线，,B, 共线， 则， 因为 ，所以， 又，所以点的轨迹为以 ， 为焦点的双曲线的右支.故选A. 课 中 探 究 11 （2）方程 化简后的结果是( ) D A. B. C. D. [解析] 设，,，则由已知得， 即动点 到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数8,又，且 ， 所以根据双曲线的定义知，动点 的轨迹是以A,B为焦点，实轴长为8的双曲线. 设双曲线的标准方程为，则,，所以 , ，所以，所以双曲线的标准方程为 ， 即方程化简后的结果是 .故选D. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 双曲线上的点与其两个焦点，连接而成的三角形 称为焦点三角形.令 ，， ，，因为 ，所以有 （1）定义： . （2）余弦定理： . （3）面积公式： . 一般地，在 中，利用以上三个等式，所求问题都会顺利解决. 课 中 探 究 13 拓展 已知，分别是双曲线 的左、右焦点. （1）若双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为16，求点 到另一个焦点 的距离； 解：因为双曲线的标准方程为，所以, , . 由双曲线的定义得，设点 到另一个焦点的距离为， 因为双曲线上一点 到双曲线的一个焦点的距离为16，所以， 解得或，故点 到另一个焦点的距离为10或22. 课 中 探 究 14 （2）若是双曲线左支上一点，且，求 的面积. 解： 由题意知 ， 将等号两边同时平方得 ， 则. 在 中，由余弦定理得， 且 ，所以 ， 故 . 课 中 探 究 15 探究点二 双曲线的标准方程 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程. （1），双曲线的一个焦点的坐标是 ； 解：由题意知，,，且双曲线的焦点在 轴上， 所以 ， 故所求双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 16 （2），双曲线焦点在轴上，且双曲线过点 ； 解：因为双曲线的焦点在 轴上,所以可设其标准方程为. 因为双曲线过点，所以 ， 又，所以， ， 因此，所求双曲线的标准方程为 . （3）双曲线经过点， . 解：设双曲线的方程为 ， 因为双曲线经过点，， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 17 变式（1） ，，且焦点在 轴上； 解：根据题意可知，， ， 又焦点在轴上， 双曲线的标准方程为 . （2）经过点, . 解： 依题意,设双曲线的方程为 , 双曲线经过点和 , 解得 故双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 双曲线标准方程的两种求法： （1）定义法：根据双曲线的定义得到相应的，， ，再写出双曲线的标准方程. （2）待定系数法：首先设出双曲线的标准方程为 或 ，然后根据条件求出待定的系数，代入方程即可. 特别地，若双曲线的焦点的位置不明确，则应注意分类讨论，也可以设双曲线 方程为，注意标明条件 . 课 中 探 究 19 探究点三 双曲线的实际问题 例3 某航天飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指 挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（分别记为，，）， 在的正东方向上，，两地相距6千米，在的北偏西 方向上，， 两地相距4千米，为航天员着陆点.某一时刻，接收到 的求救信号，在此4 秒后，， 两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千 米/秒，求在处发现 的方位角. 课 中 探 究 20 解：因为，所以在线段 的垂直平分线上. 又因为， 所以点在以， 为焦点的双曲线的靠近的那一支上. 在，， 所在平面上，以线段的中点为坐标原点， 所在直线为轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系， 如图所示. 则，，，由，得 ， 所以点 所在双曲线右支的方程为， 易知线段 的垂直平分线的方程为. 由①②得，，所以， ， 所以点在点的北偏东 方向上，即在处发现的方位角为 . 课 中 探 究 21 变式 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地早 ，且声 速为.以线段的中点为坐标原点，的方向为 轴的正方向建立平面 直角坐标系 ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. [解析] 设炮弹爆炸点的坐标为，则 ， 所以的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支. 因为，所以 ，又，所以 ， 所以 ， 故炮弹爆炸点的轨迹方程为 .故选B. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： （1）建立适当的坐标系； （2）求出双曲线的标准方程； （3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意：实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围. 课 中 探 究 23 $