2.1.2.2 椭圆简单几何性质的综合应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦椭圆简单几何性质的综合应用，涵盖离心率最值（范围）、几何性质相关最值及实际应用问题。通过习题讲评式教学，以例1多种方法求离心率范围为导入，衔接椭圆定义与标准方程等基础，搭建从基础到综合应用的学习支架。 其亮点在于题型分类清晰，每个题型配“思维建模”总结方法，如求最值的定义转化、二次函数等策略。结合“数学思维”（多法推理）和“数学语言”（实际建模），实例如小行星轨道问题抽象为椭圆模型计算，助力学生提升逻辑推理与建模能力，教师可借系统题型与方法总结提高教学效率。

椭圆简单几何性质的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 　拓展椭圆的几何性质.能解决与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题. 利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围) 题型(二)　椭圆中与几何性质有关的最值问题 题型(三) 椭圆的实际应用问题 4 课时检测 题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围) 01 [例1]　已知F1，F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点， ∠F1PF2=90°，求椭圆离心率的取值范围. 解:法一:利用基本不等式　不妨设|PF1|=m，|PF2|=n， 因为∠F1PF2=90°， 所以m2+n2=|F1F2|2=4c2. 而m+n=2a⇒m2+2mn+n2=4a2. 由基本不等式2mn≤m2+n2，可知4a2≤m2+m2+n2+n2=2(m2+n2)， 所以m2+n2≥2a2，于是4c2≥2a2⇒e=≥. 又因为椭圆离心率小于1， 所以所求椭圆离心率的取值范围为. 法二:利用焦半径公式　设P(x1，y1)，由焦半径公式知|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1. 因为∠F1PF2=90°， 所以|PF1|，|PF2|，|F1F2|满足勾股定理. 所以4c2=(a+ex1)2+(a-ex1)2=2a2+2e2， 整理得==·(2c2-a2)=2a2-. 又因为0≤<a2(点P不能与长轴端点重合)， 所以0≤2a2-<a2，即0≤2-<1. 化简整理可得椭圆离心率的取值范围为. 法三:利用余弦定理　设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°， 则∠F1BF2最大且为钝角或直角. 于是cos∠F1BF2≤0. 由余弦定理可得cos∠F1BF2===1-≤0. 化简整理可得≥，所以≤e<1， 即椭圆离心率的取值范围为. 法四:利用数形结合　如图，设椭圆短轴的 一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角 (即使得椭圆上存在点P，使∠F1PF2=90°)， 显然需有|OF2|≥|OB|，即c≥b. 此时，∠OBF2≥45°，即∠F1BF2≥90°， 当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况. 所以c2≥b2=a2-c2，于是a2≤2c2. 所以≥. 又椭圆的离心率小于1， 故椭圆离心率的取值范围为. 　|思|维|建|模| 　求离心率的取值范围，关键在于需要找到一个或多个限制a，b，c的不等式，即要构造一个关于a，b，c的不等式或不等式组. 针对训练 1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，且椭圆上存在点P，使得|PF1|=7|PF2|，则该椭圆离心率的取值范围是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=7|PF2|，所以|PF1|=a，|PF2|=a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c，当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立，所以a-a≤2c，即a≤2c，则e=≥，即≤e<1，所以椭圆离心率的取值范围是.故选C. √ 题型(二)　椭圆中与几何性质有关的最值问题 02 [例2]　已知动点P(x，y)在椭圆+=1上，若点A(3，0)，M满足|AM|=1，且·=0，则|PM|的最小值是__________. 解析:易知点A(3，0)是椭圆的右焦点. 因为·=0，所以PM⊥AM，所以|PM|2=|AP|2-|AM|2=|AP|2-1， 所以|AP|越小，|PM|就越小.当P为椭圆的右顶点时，|AP|取得最小值2， 所以|PM|的最小值是=. |思|维|建|模| 求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围. (3)求解形如ax+by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围. 针对训练 2.设P，Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　　) A.5　　　B.+　　　C.7+　　　D.6 √ 解析：由题意，P，Q两点间的最大距离可以转化为圆心坐标(0，6)到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设Q(x，y)，则圆心到点Q 的距离d===. 又-1≤y≤1，所以dmax=5，所以P，Q两点间的最大距离是6. 3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.8 √ 解析：设P(x0，y0)，则+=1，即=3-.因为F(-1，0)， 所以·=x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2，2]， 所以·∈[2，6]，所以(·)max=6. 题型(三) 椭圆的实际应用问题 03 [例3]　某颗小行星的运行轨道是一个椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位，最远距离是5.563天文单位(1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离，约为1.50×108 km，是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位(参考数据:≈2.875 2). 解:如图，设椭圆的焦点为F1，F2，焦距为2c， 太阳位于焦点F1处，小行星的位置P到两焦点的 距离之和|PF1|+|PF2|等于一个固定值2a. 要使|PF1|最大，距离之差|PF1|-|PF2|最大， 但|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c， 当且仅当F1，F2，P成一条直线且F2在F1和P之间时，|PF1|-|PF2|达到最大值2c， |PF1|达到最大值=a+c. 而当|PF2|达到最大值a+c时，|PF1|达到最小值a-c，所以解得a=3.524 5，c=2.038 5，因此b==≈2.875 2， 故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位，短半轴长为2.875 2天文单位. |思|维|建|模| 椭圆在实际问题中的应用方法 对于椭圆的实际应用问题，首先要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立平面直角坐标系，然后利用椭圆的定义，构造参数a，b，c之间的关系，得到椭圆方程，最后解决数学问题并解释实际问题.解题时注意图形本身的特征. 针对训练 4.某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直).有一条26 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变，求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少. 解:建立如图所示的平面直角坐标系，因为|PB|+|PD|=26>10， 所以点P在以B，D为焦点的椭圆上. 设椭圆的方程为+=1(a>b>0)， 显然2a=26，2c=10⇒a=13，c=5⇒b==12， 所以椭圆的方程为+=1. 因为旗杆的高度为6 m， 所以+=1⇒x=±， 则-5=+5=. 所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m， m. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知F1，F2是椭圆C:+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6 解析：由椭圆C:+=1，得|MF1|+|MF2|=2×3=6， 则|MF1|·|MF2|≤=32=9， 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.在椭圆+=1中，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积的最大值为(　　) A.16　　　B.32　　　C.16　　　D.32 解析：由题意可知当M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值.因为椭圆方程为+=1，所以a=5，b=4，c=3，因此△MF1A2的面积的最大值为(a+c)b=×8×4=16.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知椭圆+=1上一点P，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则满足条件的点P有(　　) A.2个　　　B.4个　　　C.6个　　　 D.8个 解析：当∠PF1F2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P有2个; 同理当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个;当点P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，这样的点P有2个，故符合要求的点P共有6个.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知椭圆的标准方程为+=1，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为(　　) A.[6，10]　　　B.[6，8]　　　C.[8，10]　　　D.[16，20] √ 解析：设P(x0，y0)，则|OP|=.由椭圆的性质，知|x0|≤a=10， |y0|≤b=8.因为点P在椭圆上，所以+=1，所以=64-， 所以|OP|=.因为0≤≤100，所以64≤+64≤100， 所以8≤|OP|≤10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知F1，F2分别是椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆M上， 且|PF1|-|PF2|=4b，则M的离心率的取值范围为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：由题意得则|PF1|=a+2b，|PF2|=a-2b， 由|PF1|=a+2b≤a+c，|PF2|=a-2b≥a-c，得2b≤c，即4b2=4(a2-c2)≤c2， 得≥.又0<e<1，所以M的离心率的取值范围为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.[多选]已知椭圆C:+=1，F1，F2是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法正确的是(　　) A.椭圆离心率为 B.|PF1|的最大值为3 C.0≤∠F1PF2≤ D.|PF1|+|PF2|=2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由椭圆C:+=1，可得a=2，b=，则c==1，由椭圆C的离心率为e==，所以A正确; 由椭圆的几何性质，当点P为椭圆的右顶点时，可得|PF1|max=a+c=3， 所以B正确; 当点P为椭圆的短轴的端点时，可得|PF1|=|PF2|=a=2，|F1F2|=2c=2， 所以∠F1PF2=，根据椭圆的几何性质，可得0≤∠F1PF2≤，所以C正确; 由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a=4，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析：法一　依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0，2π)， 因为|PB|≤2b，所以对任意θ∈[0，2π)，(acos θ)2+(bsin θ-b)2≤4b2恒成立， 即(a2-b2)sin2θ+2b2sin θ+3b2-a2≥0对任意θ∈[0，2π)恒成立.令sin θ=t， t∈[-1，1]，f(t)=(a2-b2)t2+2b2t+3b2-a2，则原问题转化为对任意t∈[-1，1]， 恒有f(t)≥0成立.因为f(-1)=0，所以只需-≤-1即可，所以2b2≥a2， 则离心率e=≤，所以选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 法二　依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b， 由+=1，可得=a2-，则|PB|2=+(y0-b)2=+-2by0+b2 =--2by0+a2+b2≤4b2.因为当y0=-b时，|PB|2=4b2，所以-≤-b，得2c2≤a2，所以离心率e=≤，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆.已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率为__________. 解析:设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，由题意可得=， 整理得a=59c，即=.∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为__________. (2，4] 解析:∵e=，b=1，0<e≤，∴0<≤，则1<a≤2，∴2<2a≤4，即长轴长的取值范围是(2，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知点P在焦点为F1(-4，0)和F2(4，0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆的标准方程为_____________. +=1 解析:由题意得c=4.因为△PF1F2面积的最大值为16，所以×2c×b=16，即4b=16，b=4，所以a2=b2+c2=16+16=32.所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·=0的点M总在椭圆内部， 则椭圆离心率的取值范围是_____________. 解析:根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为+=1(a>b>0)， 设F1(-c，0)，F2(c，0)，设M(x0，y0)，·=0⇒(-c-x0，-y0)·(c-x0，-y0) =0⇒-c2+=0⇒=c2-，点M(x0，y0)在椭圆内部，有+<1⇒b2 +a2(c2-)-a2b2<0⇒>2a2-，要想该不等式恒成立， 只需2a2-<0⇒2a2c2<a4⇒2c2<a2⇒e=<，而e>0⇒0<e<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程;(4分) 解:依题意，得2c=2，所以c=，离心率e===，所以a=2， 所以b==， 所以椭圆C的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若点A(0，1)，点B在椭圆C上，求线段AB长度的最大值.(6分) 解:设B(x，y)，则+=1， 所以x2=4=4-2y2，y∈[-]. 由两点间的距离公式，得|AB|= == =，所以当y=-1，x=±时，线段AB的长度最大，为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成，半圆的直径为10，椭圆的离心率为，且短轴与半圆的直径重合，图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案，矩形关于椭圆的长轴对称，且顶点在图徽外框上. (1)建立适当的平面直角坐标系，求出半圆的方程和半椭圆的方程;(4分) 解:以半圆的直径为x轴，圆心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知，圆的半径为5，则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0). 椭圆的短半轴长b=5，=，又b2=a2-c2，所以a2=100，b2=25， 所以半椭圆的方程为+=1(y≥0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)根据美学知识，当=0.6时达到最佳美观的效果，求达到最佳美观的效果时AB的长.(6分) 解:设第一象限内的点A的横坐标为m(0<m<5)，则|AB|=2m，|AD|=+=3.由=0.6得=，解得m=，此时|AB|=.故达到最佳美观的效果时AB的长为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $