2.1.1 椭圆及其标准方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 椭圆 1 1.1 椭圆及其标准方程 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 椭圆的定义 探究点二 椭圆的标准方程 探究点三 点和椭圆的位置关系 3 【学习目标】 1.了解椭圆的实际背景. 2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程. 3.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程. 4 知识点一 椭圆的定义 1.平面内到两个定点, 的距离之____等于常数（___________）的点的集合 （或轨迹）叫作椭圆.这两个定点, 叫作____________,两个焦点间的距离 叫作____________. 和 大于 椭圆的焦点 椭圆的焦距 2.椭圆的定义中提到的“常数”常用____表示,焦距常用____表示.设点 为椭圆上 任意一点，则椭圆的定义的数学表达式为___________________________. 课 前 预 习 5 3.椭圆定义的三个要点: （1）在平面内,, 是两个______; （2） 为______; （3）定长___ . 定点 定长 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知,,平面内到点, 的距离之和等于2的点的轨迹是椭圆. ( ) × （2）已知,,平面内到点, 的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆. ( ) × （3）已知,,平面内到点, 的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆. ( ) √ 课 前 预 习 7 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在 轴上 焦点在 轴上 标准方程 _____________________ _____________________ 图形 _____________________________________________________________ ___________________________ 焦点及坐标 ________________ ________________ ,, 的关系 _____________ , , 课 前 预 习 8 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）椭圆的焦点只能在坐标轴上．( ) × （2）方程 不一定表示椭圆.( ) √ （3）两种椭圆的标准方程中，有时，有时 .( ) × 课 前 预 习 9 知识点三 点和椭圆的位置关系 点与焦点在轴上的椭圆 的关系如下： 点在椭圆 上的充要条件是___________； 点在椭圆 内部的充要条件是___________； 点在椭圆 外部的充要条件是___________. 点与焦点在轴上的椭圆 的关系有类似的结论. 【诊断分析】 探索不在椭圆上的点到两焦点的距离之和与 的大小关系. 解：到两焦点距离之和大于的点在椭圆外； 到两焦点距离之和小于 的点在椭圆内. 课 前 预 习 10 探究点一 椭圆的定义 例1（1） 设定点，，动点 满足条件 ，则动点 的轨迹是( ) C A.椭圆 B.线段 C.椭圆或线段 D.圆 [解析] 由，，得 ， 因为， 所以动点 满足条件或， 所以动点 的轨迹是线段或椭圆．故选C. 课 中 探 究 11 （2）（多选题）下列说法中错误的是( ) ABD A.已知,,则平面内到 的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知，,则平面内到, 的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.平面内到点，的距离之和等于点到， 的距离之和 的点的轨迹是椭圆 D.平面内到点， 的距离相等的点的轨迹是椭圆 课 中 探 究 12 [解析] 对于A,则平面内到， 的距离之和等于8的点的轨迹是线段， 所以A中说法错误； 对于B，因为，且到， 的距离之和等于， 所以这样的点的轨迹不存在，所以B中说法错误； 对于C，点 到，的距离之和为 ，则点的轨迹是椭圆，所以C中说法正确； 对于D，该轨迹应是线段 的垂直平分线，所以D中说法错误. 故选 . 课 中 探 究 13 变式 已知动圆过点，且与圆 相切，则圆心 的轨迹是什么？ 解：由题意知，圆的标准方程为 ， 因为，所以点在圆内，于是圆与圆 内切， 所以，因此， 所以动点 的轨迹是以， 为焦点的椭圆. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 椭圆上一点与该椭圆的两个焦点,构成的 称为焦点三角形，解关于 椭圆中的焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、 余弦定理等知识.对于求焦点三角形的面积的问题，若已知 ，则可利用公 式.具体求解时可把 看成一个整体，利用 定义及余弦定理求出 的值，这样可以减少运算量. 课 中 探 究 15 拓展 已知为圆上的一个动点,定点,线段 的垂 直平分线交线段于点,则点 的轨迹为( ) D A.线段 B.直线 C.圆 D.椭圆 [解析] 连接，易知, 因为 ,所以, 所以点的轨迹是以, 为焦点的椭圆. 课 中 探 究 16 探究点二 椭圆的标准方程 例2（1） 已知椭圆的中心在原点，焦点，在 轴上，且椭圆经过点 ，同时 ，则椭圆的标准方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意可设椭圆的标准方程为 ， 则， 又，所以 ，即， 因为，所以由①②③得，， ， 所以椭圆的标准方程为 .故选A. 课 中 探 究 17 （2）求满足下列条件的椭圆的标准方程. ①椭圆两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点 ； 解： 椭圆的焦点在轴上， 可设其标准方程为 ， . 又，.故所求椭圆的标准方程为 . ②椭圆的焦点在轴上，且， . 解：，． 由，得，得 ，解得， 椭圆的焦点在轴上， 椭圆的标准方程为 ． 课 中 探 究 18 变式 求满足下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆经过点, ; 课 中 探 究 19 解：方法一:若椭圆的焦点在 轴上,则设椭圆的标准方程为， 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为. 若椭圆的焦点在 轴上,则设椭圆的标准方程为， 由已知条件得解得则 ，，与 矛盾, 所以应舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为 . 课 中 探 究 20 方法二:设椭圆的方程为. 分别将 ,的坐标代入方程,得解得 所以所求椭圆的标准方程为 . 课 中 探 究 （2）椭圆过点,且与椭圆 有相同的焦点. 解：因为所求椭圆的焦点与椭圆的焦点相同, 所以所求椭圆的焦点在 轴上,且其焦距 . 设所求椭圆的标准方程为 . 因为,所以 . 又点在椭圆上,所以 ,即. 由①②得,,所以所求椭圆的标准方程为 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 确定椭圆方程过程中的“定位”与“定量” 提醒：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在轴上和在 轴上两种情况进行 讨论，也可设椭圆的方程为 . 课 中 探 究 23 拓展 当时，指出方程 所表示的曲线. 解：，且.若，即 ， 则方程表示焦点在轴上的椭圆； 若，即 ，则方程表示圆； 若,即，则方程表示焦点在 轴上的椭圆. 课 中 探 究 24 探究点三 点和椭圆的位置关系 例3 求证点在椭圆 上. 证明：将点的坐标代入方程 中， 得 ， 所以点在椭圆 上. 课 中 探 究 25 变式 若点在椭圆的内部，则实数 的取值范围是 _ _________. [解析] 由题意可知，解得， 所以 的取值范围为 . 课 中 探 究 26 ［素养小结］ 在判断点与椭圆的位置关系时，可以类比点与圆的三种位置关系. 课 中 探 究 27 $