2.1.1 椭圆及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦椭圆的定义及标准方程，通过生活中椭圆现象的情境导入，对比圆的定义提出问题，搭建从已有知识到新知的认知支架，引导学生抽象椭圆模型。 其亮点在于以数学抽象和直观想象为核心，通过定义辨析、待定系数法等通性通法培养数学思维，如用三角形周长结合椭圆定义求轨迹方程，自我诊断与跟踪训练及时巩固，助力学生理解概念，方便教师系统教学。

1.1　椭圆及其标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解椭圆的实际背景 数学抽象 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握 椭圆的定义及标准方程 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①② 所示. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　　我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆 上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径. 【问题】　（1）那么，你能说说到底什么是椭圆吗？ （2）椭圆上任意一点的特征是什么？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　椭圆的定义 　平面内到两个定点 F1， F2的 ⁠ 的点的集合（或轨迹）叫作椭圆.这两个定点 F1， F2叫作椭圆 的 ，两个焦点间的距离 叫作椭圆的焦距. 【想一想】 定义中，将“大于｜ F1 F2｜”改为“等于｜ F1 F2｜”或“小于｜ F1 F2｜”， 其他条件不变，点的轨迹还是椭圆吗？ 提示：不是. 距离之和等于常数（大于｜ F1 F2｜）　 焦点　 ｜ F1 F2｜　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 图形 焦点坐标 ⁠⁠ ⁠ ⁠ a ， b ， c 的 关系 c2＝ ⁠ ＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0） ＋ ＝1（ a ＞ b ＞ 0） （－ c ，0），（ c ， 0） （0，－ c ），（0， c ） a2－ b2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　椭圆标准方程的特征：（1）几何特征：椭圆的中心在坐标原 点，焦点在 x 轴或 y 轴上； （2）代数特征：方程右边为1，左边是关于 与 的平方和， 并且分母为不相等的正值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝ b2 ＋ c2. （　√　） （2）平面内到两个定点 F1， F2的距离之和等于常数的点的集合是 椭圆. （　×　） （3）方程 ＋ ＝1（ a ＞0， b ＞0）表示的曲线是椭圆.（　　） （4）设 F1（－4，0）， F2（4，0）为定点，动点 M 满足｜ MF1｜ ＋｜ MF2｜＝8，则动点 M 的轨迹是椭圆. （　×　） √ × × × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若椭圆 ＋ ＝1的一个焦点坐标为（1，0），则实数 m 的值为 （　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 若椭圆的焦距为6， a － b ＝1，则椭圆的标准方程为 ⁠ ⁠. ＋ ＝1或 ＋ ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 椭圆的定义 【例1】　若△ ABC 的两个顶点坐标为 A （－4，0）， B （4，0），△ ABC 的周长为18，则顶点 C 的轨迹方程为 ⁠. ＋ ＝1（ y ≠0）　 解析：△ ABC 的两个顶点坐标为 A （－4，0）， B （4，0），周长为 18，∵｜ AB ｜＝8，∴｜ BC ｜＋｜ AC ｜＝10.∵｜ BC ｜＋｜ AC ｜＞ 8，∴点 C 到两个定点 A ， B 的距离之和为定值，∴点 C 的轨迹是以 A ， B 为焦点，去除直线 AB 上的点的椭圆.∵2 a ＝10，2 c ＝8，∴ b ＝ 3.∴顶点 C 的轨迹方程是 ＋ ＝1（ y ≠0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 椭圆的定义在解题中的双向作用 　　椭圆的定义具有双向作用，即若｜ MF1｜＋｜ MF2｜＝2 a （2 a ＞｜ F1 F2｜），则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两 焦点的距离之和必为2 a . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　已知 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A ， B 两点.若｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＝12，则｜ AB ｜＝ ⁠. 解析：由直线 AB 过椭圆的一个焦点 F1，知｜ AB ｜＝｜ F1 A ｜＋｜ F1 B ｜，所以在△ F2 AB 中，｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＋｜ AB ｜＝4 a ＝20， 又｜ F2 A ｜＋｜ F2 B ｜＝12，所以｜ AB ｜＝8. 8　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 求椭圆的标准方程 【例2】　求满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为 F1（－4，0）， F2（4，0），并且椭圆 上一点 P 与两焦点的距离之和等于10； 解：因为椭圆的焦点在 x 轴上，且 c ＝4，2 a ＝10，所以 a ＝5， b ＝ ＝ ＝3，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）焦点分别为（0，－2），（0，2），经过点（4，3 ）； 解：因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以可设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 法一　由椭圆的定义知2 a ＝ ＋ ＝6＋ ＋6－ ＝12，解得 a ＝6. 又 c ＝2，所以 b ＝ ＝4 . 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　因为所求椭圆过点（4，3 ），所以 ＋ ＝1. 又 c2＝ a2－ b2＝4，可解得 a2＝36， b2＝32， 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）经过两点（2，－ ），（－1， ）. 解：法一　若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）.由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由已知条件得解得 则 a2＜ b2，与 a ＞ b ＞0矛盾，舍去. 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　设椭圆的一般方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）.分 别将两点的坐标（2，－ ），（－1， ）代入椭圆的一般方程， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 　　主要步骤可归纳为“先定位，再定量”. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种 情况讨论，也可设椭圆的方程为 Ax2＋ By2＝1（ A ＞0， B ＞0， A ≠ B ）. 【跟踪训练】 　 求满足过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭 圆的标准方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在 y 轴 上，且 c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）. 因为 c2＝16，且 c2＝ a2－ b2，故 a2－ b2＝16. ① 又点（ ，－ ）在椭圆上，所以 ＋ ＝1， 即 ＋ ＝1. ② 由①②得 b2＝4， a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 椭圆方程的简单应用 【例3】　（1）已知方程 ＋ ＝1表示焦点在 y 轴上的椭 圆，则实数 m 的取值范围为 ⁠； 解析：∵椭圆焦点在 y 轴上，∴其标准方程应为 ＋ ＝ 1（ a ＞ b ＞0），∴｜ m ｜－1＞5－2 m ＞0，解得2＜ m ＜ ， ∴ m 的取值范围为（2， ）. （2， ）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）已知椭圆方程为 kx2＋3 y2－6 k ＝0（ k ≠0），焦距为4，则 k 的值 为 ⁠. 解析：将方程 kx2＋3 y2－6 k ＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为 4，∴2 c ＝4，即 c ＝2.当焦点在 x 轴上时，6－2 k ＝4，解得 k ＝ 1；当焦点在 y 轴上时，2 k －6＝4，解得 k ＝5.综上， k ＝1或5. 1或5　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【母题探究】 　（变条件）将本例（1）中的方程改为“ ＋ ＝1”其他 不变，试求实数 m 的取值范围. 解：∵焦点在 y 轴上，∴ m －1＞5－2 m ＞0，∴2＜ m ＜ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 判断焦点所在坐标轴其依据是看 x2项， y2项的分母哪个大，焦点在 分母大的坐标轴上. 2. 对于方程 ＋ ＝1（ m ＞0， n ＞0），当 m ＞ n ＞0时，方程表示 焦点在 x 轴上的椭圆；当 n ＞ m ＞0时，方程表示焦点在 y 轴上的椭 圆.特别地，当 n ＝ m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则实数 k 的取值范围为（　　） A. （5，7） B. （5，6） C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7） 解析：　由题意可知解得5＜ k ＜7且 k ≠6，所以 实数 k 的取值范围是（5，6）∪（6，7）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型四 椭圆的焦点三角形 【例4】　点 P 是椭圆 ＋ ＝1上的一点， F1和 F2是椭圆的焦点，且 ∠ F1 PF2＝30°，则△ PF1 F2的面积为 ⁠. 8－4 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：在椭圆 ＋ ＝1中， a ＝ ， b ＝2，所以 c ＝ ＝1. 又因为点 P 在椭圆上，所以｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝2 a ＝2 ，①.由余 弦定理知｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜·｜ PF2｜ cos 30°＝｜ F1 F2｜2＝4 c2＝4，②.①式两边平方得｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2＋2｜ PF1｜·｜ PF2｜＝20，③.③－②得（2＋ ）｜ PF1｜·｜ PF2｜＝ 16，所以｜ PF1｜·｜ PF2｜＝16（2－ ）.所以 ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin 30°＝8－4 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　设 F1， F2为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上的一点，当 P ， F1， F2 三点不在同一条直线上时， P ， F1， F2构成了一个三角形，这个三角 形叫作焦点三角形.我们可以由三角形的边角关系、正弦定理、余弦定 理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如△ PF1 F2的面积 问题，｜ PF1｜·｜ PF2｜的最值问题等. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　设 F1， F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点， P 为椭圆上任意一点，已 知 P ， F1， F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜ PF1｜＞｜ PF2｜， 则 的值为 　 或2　. 或2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：因为椭圆方程为 ＋ ＝1，所以 a2＝9， b2＝4， c2＝5.所以｜ F1 F2｜＝2 ，｜ PF1｜＋｜ PF2｜＝6.由题意知，｜ PF1｜＞｜ PF2｜，所以∠ PF1 F2不可能为直角.若∠ PF2 F1为直角，则｜ PF1｜2 ＝｜ PF2｜2＋｜ F1 F2｜2，即｜ PF1｜2＝（6－｜ PF1｜）2＋20，解 得｜ PF1｜＝ .所以｜ PF2｜＝ ，所以 ＝ .若∠ F1 PF2为直 角，则｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2，即20＝｜ PF1｜2＋（6－｜ PF1｜）2，解得｜ PF1｜＝4或｜ PF1｜＝2（舍去）.所以｜ PF2｜＝ 2，所以 ＝2.综上可知， 的值为 或2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 椭圆 ＋ ＝1的焦点坐标是（　　） A. （±5，0） B. （0，±5） C. （0，±12） D. （±12，0） 解析：　∵ c2＝ a2－ b2＝169－25＝122，∴ c ＝12.又椭圆的焦点在 y 轴上，故焦点坐标为（0，±12）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 椭圆 ＋ y2＝1上一点 P 到一个焦点的距离为2，则点 P 到另一个焦 点的距离为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析：　由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是10－2＝8. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 如果 x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 （　　） A. （0，1） B. （0，2） C. （1，＋∞） D. （0，＋∞） 解析：　将方程 x2＋ ky2＝2转化为椭圆的标准方程，得 ＋ ＝ 1，∵ x2＋ ky2＝2表示焦点在 y 轴上的椭圆，∴ ＞2，解得0＜ k ＜ 1.∴实数 k 的取值范围是（0，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F1的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点，则△ ABF2的周长是 ⁠. 解析：由椭圆定义知，｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝｜ BF1｜＋｜ BF2｜＝2 a ＝8，故△ ABF2的周长为｜ AB ｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝｜ AF1｜ ＋｜ BF1｜＋｜ AF2｜＋｜ BF2｜＝16. 16　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 设 F1， F2分别为椭圆 C ： ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0）的左、右两个焦 点，若椭圆 C 上的点 A 到 F1， F2两点的距离之和为4，则椭 圆 C 的方程为 ⁠. 解析：由｜ AF1｜＋｜ AF2｜＝2 a ＝4得 a ＝2，∴原方程化为 ＋ ＝1，将 A 代入方程得 b2＝3，∴椭圆方程为 ＋ ＝1. ＋ ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $