2.1.3 椭圆的简单几何性质（2）课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.1.3 椭圆的简单 几何性质(2) 1.根据几何条件求出椭圆方程,利用椭圆的方程研究它的性质. 2.利用椭圆的知识解决简单的实际问题. 根据几何条件求出椭圆方程. 利用椭圆的知识解决简单的实际问题. 2 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 轴长 长轴长为2a,短轴长为2b 焦点 , , 焦距 2c 我们已经学习了椭圆的简单几何性质: 这一节,我们就来学习利用椭圆的知识解决简单的实际问题. 怎样利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程? 由已知条件分别找出椭圆中a,b或c等对应的值,直接求出椭圆标准方程. 确定焦点位置; 设出椭圆标准方程(焦点位置不确定的椭圆有两种标准方程); 根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,常用的关系式有 ,等. 在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 直接法: 待定系数法: 求椭圆方程(或其他轨迹方程)是否还有其他方法? 建立平面直角坐标系,设所求动点的坐标为(x,y),其相关动点的坐标为(,). 找出(x,y)与(,)之间的等量关系,用x,y表示,. 将,代入其所在的曲线方程. 化简方程得所求方程. 相关点代入法: 如何利用椭圆的有关知识解决与椭圆有关的实际问题呢? 解决和椭圆有关的实际问题的思路: 通过数学抽象,找出实际问题中涉及的椭圆,将原问题转化为数学问题; 确定椭圆的位置及要素,并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解; 用解得的结果说明原来的实际问题. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(l)长轴在x轴上,长轴的长为12,离心率为; (2)经过点和. 解: (l)由已知, (2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点, 所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,于是有,8, 又因为短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为. , 得,,从而 . 所以椭圆的标准方程为; 7 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0),并且经过点(,),求它的标准方程. 解 因为椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0),(2,0), 可设椭圆的标准方程为:, 由题意,,解得,. 题目给出点坐标可采用待定系数法. 故椭圆的标准方程为:. 已知点P在椭圆上,且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,求椭圆的标准方程. 解: 设椭圆方程为. 由已知条件得, 解得, 所以,, 故椭圆的标准方程为或. 题目未明确椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上,两种可能性都要考虑. 酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到距地球表面近地点(离地面最近的点)高度约200 km,远地点(离地面最远的点)高度约350 km的椭圆轨道(将地球看作一个球,其半径约为6371 km),求椭圆轨道的标准方程.(注:地心(地球的中心)位于椭圆轨道的一个焦点,且近地点,远地点与地心共线) 解:如图,设地心为椭圆轨道右焦点,近地点、远地点分别为,,以直线为x轴,线段的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则,,三点都在x轴上,||=, ||=, 所以 , 从而 . 所以椭圆轨道的标准方程为. 转化 求解 如图,点P是圆O:上的动点,作PH⊥x轴于点H,求线段PH的中点M的轨迹方程,并指出该轨迹是什么图形. 因为点P在圆O上,所以,即 . 所以点M的轨迹是长轴长为4,短轴长为2,焦点在x轴上的椭圆. 求轨迹方程考虑采用相关点代入法. 解: 设点M的坐标为(x,y) ,则点P的坐标为(x ,2y). 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴长为4,短轴长为2,焦点在y轴上;(2)经过点A(0,3),B(4,0); (3)一个焦点为(1,0),一个顶点为(2,0);(4)一个焦点为(,0),长轴长为4; (5)一个焦点为(,0) ,离心率为; (6)一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为6和2. 解:(1)依题意,,,椭圆方程为. (2)依题意,,,椭圆方程为. (3)依题意,2,,则,椭圆方程为. (4)依题意,2,,椭圆方程为. (5)依题意,,,则3,,椭圆方程为. (6)依题意,,2,则,椭圆长轴为轴或者y轴,方程为或. 12 求与椭圆的焦点相同,且经过点(,)的椭圆的标准方程. 解:椭圆的焦点为(1,0),(1,0),设所求椭圆方程为,将(,)代入椭圆方程,,解得,所以所求椭圆方程为. 求与椭圆离心率相同,且经过点(,1)的椭圆的标准方程. 解:依题意可设所求椭圆方程为或.由椭圆过点(,1)可得或,即或者.所以所求椭圆方程为或. 13 已知地球运行的轨道是长半轴长a=1.50 km,焦距与长轴长的比为0.02的椭圆,太阳在这个