第1章 直线与圆 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

本章总结提升 1 ◆ 知识网络 ◆ 素养提升 题型一 直线方程、两条直线的位置关系 题型二 距离问题 题型三 圆的方程 题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用 2 知 识 网 络 3 题型一 直线方程、两条直线的位置关系 ［类型总述］（1）点斜式;（2）斜截式;（3）两点式;（4）截距式;（5）一般式; （6）两直线平行;（7）两直线垂直;（8）两直线相交. 例1（1） 如图，在平行四边形中，点 是坐标原 点，点和点的坐标分别是，，点是线段 上的动点. ①求 所在直线方程的一般式； 解：， 所在直线的斜率 , 所在直线的方程是，即 . 素 养 提 升 4 ②当在线段上运动时，求线段的中点 的轨迹方程. 解：设点的坐标是，点的坐标是， 由平行四边形的性质得点 的坐标是， 是线段的中点，， ， 于是有，， 点在线段 上运动，， ，即点 的轨迹方程为 . 素 养 提 升 5 （2）已知直线过点 . ①已知,,若直线的一个方向向量为,且经过线段 的中 点,求直线 的方程; 解： 由已知得直线的斜率为2,则直线的方程为 ,即. 由，，得线段的中点为, 将点 的坐标代入直线的方程，得,得,所以 . 由直线方程的两点式得直线的方程为,即 . 素 养 提 升 6 ②若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1,求直线 的方程. 解：设直线的方程为.依题意得解得或 故直线的方程是或,即或 . 素 养 提 升 7 （3）已知直线的方程为 . ①若直线和直线关于点对称，求直线 的方程； 解： 在直线上任取一点， 则关于点对称的点 在直线 上， 将点的坐标代入方程得 ， 所以直线的方程为 . 素 养 提 升 8 ②若直线和直线关于直线对称，求直线 的方程. 解：设直线与直线的交点为， 则 解得，则. 在直线上取点,设关于直线 对称的点为,则. 易知与的中点坐标为 ，且该中点在直线上， 所以由可得所以 . 因为直线和直线关于直线对称，所以直线经过点和点 ， 所以直线的方程为，整理得 . 素 养 提 升 9 变式（1） （多选题）已知直线 ， ，则下列结论中正确的为 ( ) ABC A.直线过定点 B.当时，或 C.当且时，与 相交 D.当时，两直线， 之间的距离为1 素 养 提 升 10 [解析] 直线的方程整理可得 ， 由解得因此直线过定点，A正确. 由 ，得，解得或，B正确. 当与 平行或重合时，可得， 解得或 ，所以当且时，与相交，C正确. 由C的分析可知，当或 时，. 当时，直线,的方程分别为 ，， 它们之间的距离为； 当时，直线， 的方程分别为和， 即 和，它们之间的距离为，D错误． 故选 . 素 养 提 升 11 （2）点关于直线 的对称点是( ) B A. B. C. D. [解析] 设点关于直线的对称点是 ， 则有解得 故点关于直线 的对称点是 .故选B. 素 养 提 升 12 （3）已知直线关于直线的对称直线为轴，则 方程的 斜截式为________________________. 或 [解析] 易知直线交轴于点，交轴于点 ， 所以点在直线上. 设直线的方程为，易知点关于直线 的对称点在轴上， 所以. 可得的中点在直线 上，所以. 又，所以由①②可得或， 所以直线 方程的斜截式为或 . 素 养 提 升 13 题型二 距离问题 ［类型总述］（1）点点之间距离;（2）点线之间距离;（3）线线之间距离;（4） 与距离有关的最值问题. 例2（1） 已知直线过定点，则点 到直线 距离的最大值是( ) D A.1 B.2 C. D. [解析] 由题意知，直线恒过定点 ， 直线恒过定点， ， 易知当时，点到直线的距离最大，最大值是 .故选D. 素 养 提 升 14 （2）直线和直线分别过定点 和，则 ___． [解析] 直线的方程可变形为，由可得 即点. 直线的方程可变形为， 由 可得即点， 所以 . 素 养 提 升 15 变式（1） 已知，，则与直线 平行且距离为2的直线的方程 为( ) C A. B. C.或 D.或 [解析] 由题意得，所以直线的方程为 ， 即. 设所求直线的方程为 ， 则，解得或， 所以所求直线的方程为 或 .故选C. 素 养 提 升 16 （2）若两条平行直线与 之间的 距离是，则直线关于直线 对称的直线方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为与平行，所以 ， 即直线的方程为， 又与之间的距离是，所以 ， 又，所以，所以的方程为. 设直线关于直线 对称的直线方程为，则， 解得或 （舍去）， 则直线关于直线对称的直线方程为 ． 故选A. 素 养 提 升 17 （3）已知直线和两点,,在直线上求一点 ,使 最大. 解：由题意知，两点在直线的同侧，是直线上的一点，连接 ， 则，当且仅当,,三点共线时, 取得最大值， 此时点是直线与直线的交点. 易得直线的方程为 ，由解得 故所求的点的坐标为 . 素 养 提 升 18 题型三 圆的方程 ［类型总述］（1）圆的标准方程;（2）圆的一般方程. 素 养 提 升 19 例3（1） （多选题）已知圆的方程为 ，则下列结 论中正确的是( ) ACD A.实数的取值范围是 B.实数的取值范围是 C.当圆的周长最大时，圆心坐标是 D.圆的最大面积是 素 养 提 升 20 [解析] 方程可化为 ， 由，解得，故A正确，B错误； 当 时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，此时半径为1， 圆心坐标为 ，圆的面积为 ，故C，D正确. 故选 . 素 养 提 升 21 （2）在平面直角坐标系中,经过三点,, 的圆的一般方程为______ ___________. [解析] 易知所求圆的圆心既在直线上,也在直线 上, 故圆心坐标为. 又圆过点 ，所以所求圆的半径为1, 所以所求圆的方程为,即 . 素 养 提 升 22 （3）与直线和圆 都相切的半径最小的圆 的方程是______________________. [解析] 易知圆的圆心坐标为，半径为 ， 可得过圆心与直线垂直的直线方程为 ， 则所求的圆的圆心在此直线上. 又圆心到直线的距离为 ， 所以所求的圆的半径为 ， 设所求圆的圆心坐标为，则 ，且， 解得或 素 养 提 升 23 当 时，所求圆的方程为， 易知该圆与已知圆相切，满足题意； 当 时，所求圆的方程为 ， 易知该圆与已知圆外离，不满足题意. 综上可得，所求圆的方程为 . 素 养 提 升 24 （4）与圆内切于点 ，且半径为1的圆的方程为 _ ____________________. [解析] 设所求圆的圆心为,易知圆 的半径为5,圆心为坐标原点， 因为圆和圆相内切,且圆的半径为1,所以 ,则. 因为两圆内切于点，所以,,三点共线，因此 ②， 由①②可得或 因为点在第四象限，所以点 也在第四象限，所以 因此所求圆的方程为 . 素 养 提 升 25 变式（1） 已知,是圆上的两点,且,则以线段 为直径的圆的圆心 的轨迹方程是____________. [解析] 设圆心,由知,圆的半径, 则点到点 的距离,可得, 整理得圆心的轨迹方程为 . 素 养 提 升 26 （2）[2024·吉林长春高二期末]已知点，点在圆 上运动， 则线段的中点 的轨迹方程是( ) A A. B. C. D. [解析] 设,，由题意可知所以 又因为，所以 ， 化简可得，所以的轨迹方程为 . 故选A. 素 养 提 升 27 （3）（多选题）[2024·江苏宿迁高二期中] 已知圆 ，则下列结论中正确的有( ) ACD A.圆过定点 B.点在圆 外 C.直线平分圆周 D.存在实数，使圆与 轴相切 素 养 提 升 28 [解析] 对于选项A，由 ， 得 ， 整理得， 由得 或故圆C过定点和 ， 所以选项A正确. 对于选项B，易知该圆的圆心为，半径， 则点 到圆心的距离， 因为，所以当 时， ，此时点 在圆C内，所以选项B错误. 素 养 提 升 29 对于选项C，因为圆心为，且， 所以圆心在直线 上，所以选项C正确. 对于选项D，假设存在实数，使圆与 轴相切，则有， 即，解得或 ，所以选项D正确， 故选 . 素 养 提 升 题型四 直线与圆、圆与圆的位置关系的应用 ［类型总述］（1）直线与圆的位置关系;（2）圆与圆的位置关系;（3）弦长公式. 例4（1） [2023·新课标Ⅱ卷] 已知直线 与 交于，两点，写出满足“的面积为”的 的一 个值______________________________. 2，，，（填一个即可） 素 养 提 升 31 [解析] 如图，因为直线过定点，且点在圆 上， 所以不妨记，， 设，则 ，即，可得或， 又,所以可取2，，， . 素 养 提 升 32 （2）过点与圆相切的两条直线的夹角为 ，则 ( ) B A.1 B. C. D. 素 养 提 升 33 [解析] 方法一：由，得 ， 可得该圆的圆心为，半径. 过点 作圆C的切线，设切点为A,B， 因为，所以 ， 可得, ， 则 ， ， 即为钝角，所以 . 素 养 提 升 34 方法二：易知圆的圆心坐标为，半径 ， 过点作圆C的切线，设切点为A,B，可得 ， 则 ， 因为 ， 且，所以 ， 即，解得，即 为钝角， 则，所以 . 素 养 提 升 35 方法三：易知圆的圆心为，半径， 易知过点 的切线斜率存在，设切线方程为，即， 则 ，整理得，且. 设两切线斜率分别为, ，则,， 可得 ， 所以，即，可得 ， 则， 因为,，所以 ，可得 . 故选B. 素 养 提 升 36 （3）（多选题）已知直线和圆 ，则 下列结论成立的是( ) AD A.直线过定点 B.当直线与圆相交时，直线 被圆所截得的弦长的最大值为4 C.当直线与圆相切时，实数 D.当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为 素 养 提 升 37 [解析] 圆C的标准方程为,则圆C的圆心坐标为 ,半径. 对于A,对于任意实数,当时，恒有，即直线 过定点，A正确； 对于B，显然圆心不在直线上，因此，当直线 与圆C相交时， 直线被圆所截得的弦长小于4，B错误； 对于C，当直线 与圆C相切时，圆心C到直线的距离， 解得 ，C错误； 对于D，当时，，直线 与圆C相交， 所得弦长为，D正确. 故选 . 素 养 提 升 38 变式（1） 已知圆截直线 所得线段的长 度是,则圆与圆 的位置关系是( ) B A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 [解析] 由题意得,解得或（舍去）, 圆, 圆与圆的圆心距. 圆的半径为2，圆的半径为1，, 两圆相交. 素 养 提 升 39 （2）设直线与圆交于， 两点， 则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. [解析] 由得 ， 所以直线恒过定点. 易知圆的圆心为，半径， 因为 ，所以点D在圆的内部，连接. 当时，弦 最短，因为， 所以. 因为直线 不过圆心，所以，故的取值范围为 . 故选D. 素 养 提 升 40 （3）（多选题）已知点在圆上，点， ， 则( ) ACD A.点到直线的距离恒小于10 B.点到直线 的距离恒大于2 C.当最小时， D.当最大时， 素 养 提 升 41 [解析] 方法一：由题知圆的圆心的坐标为 ， 半径，直线的方程为，即 ， 圆心到该直线的距离， 故点到直线的距离的取值范围为 ,， 由 ， 得，故选项A正确； ，即 ，故选项B不正确； 易知当最大或最小时， 均为圆的切线， 此时，故选项C，D均正确. 故选 . 素 养 提 升 42 方法二：直线的方程为，即 . 设， 则点到直线 的距离,其中 ， 因为， ，所以选项A正确，选项B错误. 记圆的圆心为点，半径，连接 ， 则. 易知当最大或最小时， 均为圆的切线， 此时 ，所以选项C，D均正确. 故选 . 素 养 提 升 43 （4）已知点,,是平面内的一个动点，且 . ①求动点的轨迹 的方程； 解：设，则, ， 因为，所以，即， 所以动点 的轨迹的方程为 . 素 养 提 升 44 ②若圆与只有一个公共点，求 的值. 解：圆的标准方程为 ， 则，解得，可得圆的圆心为，半径 ， 又圆的圆心为，半径 ， 易知两圆内切，所以，即， 解得 或 ， 又，所以或 . 素 养 提 升 45 $