2.1.2 椭圆及其标准方程（2）课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件围绕椭圆的标准方程展开，从定义出发，通过坐标系建立、距离公式代入、代数变形与几何直观相结合的方式，系统推导出焦点在x轴和y轴上的两种标准形式，构建了从几何本质到代数表达的完整认知链条，为后续解析几何学习奠定坚实基础。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，突出几何直观与逻辑推理的协同作用，如通过点到两焦点距离和的变化规律揭示椭圆内外部点的性质，体现“数形结合”的数学思想。教学中设置典型例题与参数关系探究，引导学生主动发现规律，提升建模意识与运算能力，既帮助学生理解椭圆的本质特征，又助力教师高效开展概念深化与应用训练。

2.1.2 椭圆及其标准方程(2) 二,椭圆的标准方程 如图,给定椭圆,它的焦点为F1,F2,焦距 F1F2|=2c(c≥>0) ,椭圆上任意一点到两焦点距离之和等于2a(a>c). x y F1 F2 M 以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系xOy,则焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0), |MF1|+|MF2|=2a (-c,0) (c,0) 下面我们来求椭圆的方程 y F1 F2 M 设M(x,y)是椭圆上任意一点. 由椭圆的定义,椭圆上的点M满足 |MF1|+|MF2|=2a 因为|MF1|= 焦点F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0) 因为|MF2|= +=2a =2a- 上式两边平方 =4a2-4a (c,0) (-c,0) 整理,得 a 上式两边平方、整理,得 (a2-c2)2+a2y2=(a2-c2)a2, =1 由椭圆定义可知a>c,所以a2-c2>0.令b2=a2-c2其中b>0,代入上式,得 =1 (a>b>0). y F1 F2 M O =4a2-4a A1 A2 B2 B1 把=0代入=1得=B1(0,),B2(0,-) 把=0代入=1得=A1(0,),A2(0,-) 这说明椭圆上点的坐标满足以上方程. 我们还可以证明,这个方程每一组解为坐标的点都在椭圆上. =1 (>b>0,b2=2-c2). *以下证明供学习时参考. 设满足方程=1的一组解对应的点为P0(x0 , y0),则点P0的坐标(x0 , y0)满足方程,即=1(a>b>0)其中b=-c2. 点P0到F1(-c,0)和F2(c,0)的距离之和为 |P0F1|+|P0F2|= 由=1得代入上式 |P0F1|+|P0F2|= = + =||+|| 因为-≤≤,所以-c≤≤c,又a>c,所以-≤≤ 从而|P0F1|+|P0F2|=||+|| = =2 这说明,以方程=1(a>b>0)的解为坐标的点P0(x0 , y0)都在椭圆上, y F1 F2 M 我们将方程 =1(>b>0)叫作椭圆的标准方程,焦点坐标是F1(-c,0),F2(c.0),其中c2=2-b2.(或2=b2+c2) y F1 F2 M c c 椭圆上任意一点的坐标都是方程“=1(a>b>0)的解;以方程=1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上. c越接近a的大小,b就越小,椭圆就越扁,反之越圆 如果椭圆的焦点在y轴上,如图,其焦点分别为,,用同样的方法也可推出它的标准方程为:,其中. 椭圆的标准方程及其图象: 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图象 标准方程 焦点 , , 的关系 注意:(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)椭圆的标准方程中,项和项谁的分母大,焦点就在谁的轴上. 已知椭圆的两个焦点分别为,,并且经过点.求椭圆的标准方程. 解法一:因为椭圆的焦点在y轴上,设其方程为 . 根据椭圆的定义知, , 从而.又,所以.所以椭圆的标准方程为,其图形如右图. 解法二:因为椭圆的焦点在y轴上,设其方程为.点在椭圆上,且,所以,解或(舍),则.则椭圆的标准方程为. 已知椭圆的两个焦点分别为,,并且经过点.求椭圆的标准方程. 求证:点M(0)在椭圆上. 证明: 将点M的坐标代入,得 所以点M(0)在椭圆上. 例1已知B,C是两个定点。BC=8,且 ABC的周长等于18.求顶点A满足的一个方程. 解由已知|AB|+|AC|+|BC|=18,|BC|=8,得|AB|+|AC|=10由定义可知点A的轨迹是一个椭圆,且2c=8.2a=10,即c=4,a=5.所以b2=a2-c2=9 =1(y 如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过B,C两点.原点O为x的中点.当点A在直线BC上,即y=0时.A、B,C一点不能构成三角形.因此,点A满足的一个方程是 不在椭圆上的点到两个焦点的距离之和,并比较这个和与之间的大小关系,探索点在椭圆内、外与这个数量大小关系有何联系. y F1 F2 M M1 M2 A B |M1F1|+|M1F2|=|M1A|+|AF1|+|M1F2| >|AF1|+|AF2|= 1、点在椭圆外 如图点M1,连结M1F1,M1F2,AF2 故椭圆外的点到两个焦点的距离之和大于 2、点在椭圆内 如图点M2,连结M2F1,M2F2,BF2 |M2F1|+|M2F2|=|BF1|-|BM2|+|M2F2|=-|BM2| < 故椭圆内的点到两个焦点的距离之和小于 经过点(2,1),焦距为 解:依题意,2,椭圆方程有两种可能,设椭圆方程为或, 代入点(2,1),,解得,,椭圆方程为 或者,解得,,椭圆方程为 作业:教材第49页练习第1、2、3、4、5题. $