第1章 2.4 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理从基础位置关系判断（圆心距与半径关系）到公共弦、公切线、最值问题的递进脉络，构建完整的学习支架。 资料通过多样化题目（如内切求半径、公共弦方程）培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），解析过程强化逻辑推理与运算能力（数学思维），分层练习助力学生用数学语言表达问题。课中辅助教学，课后便于查漏补缺。

1．若圆O1：x2＋y2＝r2(r>0)与圆O2：(x－2)2＋y2＝9内切，则r为(　　) A．1 B．2 C．5 D．1或5 解析：选D．圆O1：x2＋y2＝r2的圆心和半径分别为O1(0，0)，r，圆O2：(x－2)2＋y2＝9的圆心和半径分别为O2(2，0)，R＝3，由两圆内切，得|O1O2|＝|R－r|，即2＝|3－r|，解得r＝1或r＝5. 2．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1相交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为(　　) A．x－2y－5＝0 B．2x＋y－2＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x＋y－5＝0 解析：选B．线段AB的垂直平分线为圆心连线C1C2，由圆的方程可知，C1(1，0)，C2(2，－2)，kC1C2＝＝－2，所以直线C1C2的方程为y＝－2(x－1)，化简为2x＋y－2＝0. 3．圆C1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的公切线条数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C．圆C1的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝1，圆心C1(－2，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，因为|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，所以两圆外切，所以圆C1与圆C2的公切线有3条． 4．已知圆O：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，圆P：x2＋(y－1)2＝4，两圆上分别有动点M，N，则|MN|的最大值为(　　) A．5－ B．5＋ C．8 D．2 解析：选B．易知圆O：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为O(1，－2)，半径为3，圆P的圆心为P(0，1)，半径为2，故两圆的圆心距为＝，故|MN|的最大值为3＋2＋＝5＋. 5．(2026·邢台月考)已知圆C1：x2＋y2＋4x－2y＋2＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＝0相交于A，B两点，则点P(3，－2)到直线AB的距离是(　　) A．3 B．3 C． D．2 解析：选B．由题意可得直线AB的方程为x2＋y2＋4x－2y＋2－(x2＋y2＋2x)＝0， 即x－y＋1＝0，则点P(3，－2)到直线AB的距离是＝3. 6．(多选)圆C1：x2＋(y－2)2＝1与圆C2：(x－a)2＋y2＝16没有公共点，则a的值可能是(　　) A．－5 B．－ C． D． 解析：选ACD．由已知圆C1的圆心为C1(0，2)，半径为1，圆C2的圆心为C2(a，0)，半径为4，两圆无公共点，则两圆外离或内含，所以|C1C2|＝>1＋4，解得a<－或a>，或|C1C2|＝<4－1，解得－<a<，综上a<－或a>或－<a<，结合选项，A，C，D满足题意． 7．与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0外切且圆心在原点O的圆的标准方程为__________． 解析：因为x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4， 可知圆心C(3，4)，半径r＝2， 则|OC|＝＝5，由题意可得圆O的半径R＝|OC|－r＝3， 所以圆O的标准方程为x2＋y2＝9. 答案：x2＋y2＝9 8．已知O为坐标原点，点P在圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0上，且|OP|＝1，则a的取值范围为____________． 解析：圆C：x2＋y2－2ax＋a2－4＝0可化为(x－a)2＋y2＝4，由|OP|＝1，可知点P在圆x2＋y2＝1上，所以问题等价于圆x2＋y2＝1与圆C有交点，所以2－1≤|a|≤2＋1，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1. 答案：[－3，－1]∪[1，3] 9．(2026·济宁期中)已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线x－y－2＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点________． 解析：因为OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆上．设P(b＋2，b)，则以OP为直径的圆的方程为(x－)2＋(y－)2＝[(b＋2)2＋b2]，① 又圆O：x2＋y2＝1，② ②－①可得直线lAB：(b＋2)x＋by＝1， 即b(y＋x)＋2x－1＝0， 联立解得 所以直线AB经过定点(，－). 答案：(，－) 10．(13分)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＝0. (1)当m＝0时，判断圆C1和圆C2的位置关系；(6分) (2)是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？(7分) 解：(1)当m＝0时，圆C1的标准方程为x2＋(y＋2)2＝9，则圆心C1为(0，－2)，半径r1＝3，圆C2的标准方程为(x＋1)2＋y2＝1，则圆心C2为(－1，0)，半径r2＝1，所以两圆的圆心距d＝＝，又r1＋r2＝4，r1－r2＝2，所以r1－r2<d<r1＋r2，故圆C1和圆C2相交． (2)不存在．理由如下： 圆C1的方程可化为(x－m)2＋(y＋2)2＝9, 则圆心C1为(m，－2)，半径r1＝3，圆心C2为(－1，0)，半径r2＝1. 假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，则圆心距d1＝<3－1，即(m＋1)2<0，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含． 11．已知圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：x2＋y2＋kx＋y＋m－16＝0交于A，B两点，当k变化时，|AB|的最小值为4，则m＝(　　) A．2 B． C．± D．±2 解析：选D．两圆的公共弦所在直线的方程为kx＋y＋m＝0，圆心C1到直线的距离为d＝，|AB|＝2，因为1＋k2≥1，所以2≥2＝4，解得m＝±2. 12．(多选)已知直线l与圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝8和圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝8都相切，则直线l的方程可能为(　　) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋5＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y－7＝0 解析：选ABC．由题知C1(2，3)，C2(－2，－1)，两圆半径r1＝r2＝2，所以|C1C2|＝＝4＝r1＋r2， 故圆C1，C2外切，则两圆有三条公切线，如图，C1C2的中点为两圆外切切点G(0，1)，当直线l过C1C2的中点，且与C1C2垂直时， 因为kC1C2＝＝1，所以kl＝－1，所以直线l的方程为y－1＝－x，即x＋y－1＝0；当直线l与C1C2平行，且C1到l的距离为2时，设直线l的方程为x－y＋m＝0，所以＝2，解得m＝－3或m＝5，所以直线l的方程为x－y＋5＝0或x－y－3＝0. 13．(15分)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)，点D(－2，1)，圆D与直线3x＋4y－13＝0相切． (1)若圆C与圆D相交，求r的取值范围；(7分) (2)若圆C与圆D公共弦的长度为，求r的值．(8分) 解：(1)因为圆D与直线3x＋4y－13＝0相切， 所以圆心D到直线3x＋4y－13＝0的距离是圆D的半径为＝3. 所以圆D的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝9. 因为圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心为C(1，0)，半径为r，且两个圆相交， 所以|r－3|＜|CD|＜r＋3， 即|r－3|＜＜r＋3，解得－3＜r＜3＋. (2)圆C与圆D交点满足方程组 所以两圆公共弦所在的直线方程为6x－2y＋r2－5＝0， 圆心C到公共弦所在直线的距离为d＝， 因为两圆的公共弦长为，所以()2＋d2＝r2， 整理得r4－38r2＋37＝0，解得r＝1或r＝， 由(1)可知，r＝1或r＝均符合题意． 14．(15分)(2026·深圳期中)在平面直角坐标系中，已知A(0，5)，B(1，－2)，C(0，－3). (1)求过A，B，C三点的圆的方程；(6分) (2)已知O为坐标原点，点D(3，0)，请问(1)中圆上是否存在点P满足|PD|＝2|PO|？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋mx＋ny＋s＝0(m2＋n2－4s＞0)， 则解得 满足m2＋n2－4s＞0，所以所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0. (2)不存在点P满足|PD|＝2|PO|，理由如下： 设P(x，y)，由|PD|＝2|PO|， 得＝2， 整理得x2＋y2＋2x－3＝0， 即(x＋1)2＋y2＝4，点P的轨迹是以O2(－1，0)为圆心，r2＝2为半径的圆， 而过A，B，C三点的圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25的圆心为O1(－3，1)，半径为r1＝5， 又|O1O2|＝＜3＝r1－r2，因此圆O1与圆O2内含，无公共点， 所以不存在点P满足|PD|＝2|PO|. 15．(2026·宁德期中)如图，已知点A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，是以OD为直径的圆O1上的一段圆弧，是以BC为直径的圆O2上的一段圆弧，是以OA为直径的圆O3上的一段圆弧，则圆O2与圆O3的公共弦所在直线被圆O1截得的弦长为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由题意可得圆O1的方程为(x＋1)2＋y2＝1，圆O2的方程为x2＋(y－1)2＝1， 圆O3的方程为(x－1)2＋y2＝1. 圆O2与圆O3的公共弦所在直线方程为x－y＝0，O1(－1，0)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，所以圆O2与圆O3的公共弦所在直线被圆O1截得的弦长为2＝2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $