1.2.3 直线与圆的位置关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 圆与圆的方程 1 2.3 直线与圆的位置关系 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 探究点二 直线与圆相切问题 探究点三 直线与圆相交问题 3 【学习目标】 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 4 知识点 直线与圆的位置关系 一般地，已知直线,不全为0 和圆 ，则直线与圆 的位置关系如下： 位置关系 相交 相切 相离 图形关系 __________________ ______________________ __________________________ 公共点个数 ___ ___ ___ 课 前 预 习 5 位置关系 相交 相切 相离 几何法 计算圆心到直线的距离： _______ _______ 代数法 由 消元得到一元二次方程，计算 方程的判别式 _______ ______ 续表 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）过圆外一点可作两条该圆的切线.( ) √ （2）已知一条直线与圆相交，当这条直线被圆截得的弦最长时，这条直线过圆 心.( ) √ （3）过半径外端（圆上的端点）的直线与圆相切.( ) × （4）若为圆内一点，则过点的直线与圆 相交.( ) √ 课 前 预 习 7 探究点一 直线与圆的位置关系的判定 例1 已知直线，圆 ，分别 求实数的值或范围，使直线与圆 有两个公共点、只有一个公共点、没有公 共点. 课 中 探 究 8 解：方法一：将直线的方程与圆的方程联立， 消去 整理得,. 当 ，即或时，直线与圆相交，即直线与圆 有两个公共点； 当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆 只有一个公共点； 当，即时，直线与圆相离，即直线与圆 没有公共点. 方法二：圆的方程可化为，即圆心为，半径 ， 圆心到直线的距离. 当 ，即或时，直线与圆相交，即直线与圆 有两个公共点； 当，即或时，直线与圆相切，即直线与圆 只有一个公共点； 当，即时，直线与圆相离，即直线与圆 没有公共点. 课 中 探 究 9 变式 （多选题）[2024·浙江金华高二期中] 已知直线 与圆，点 ，则下列说 法正确的是( ) ABD A.若点在圆上，则直线与圆 相切 B.若点在圆内，则直线与圆 相离 C.若点在圆外，则直线与圆 相离 D.若点在直线上，则直线与圆 相切 课 中 探 究 10 [解析] 对于A，因为点A在圆C上，所以， 所以圆心到直线 的距离， 所以直线 与圆C相切，故A正确； 对于B，因为点A在圆C内，所以， 所以圆心到直线 的距离， 所以直线 与圆C相离，故B正确； 对于C，因为点A在圆C外，所以， 所以圆心到直线 的距离， 所以直线 与圆C相交，故C错误； 对于D，因为点A在直线上，所以， 所以圆心到直线 的距离， 所以直线与圆C相切，故D正确.故选 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径 的大小关系判断. （2）代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与 圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 课 中 探 究 12 拓展 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西方向 处，某港口位于小岛中 心正北方向 处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？请说明理 由. 课 中 探 究 13 解：设点为小岛中心，点为轮船的初始位置，点 为港口， 以点为坐标原点，正东、正北方向分别为轴、 轴的正方向， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 ，，易得直线的方程为 ， ，圆的方程为. 由圆心 到直线的距离，可知圆与直线 无公共点. 因此如果轮船沿直线返航，它无触礁危险. 课 中 探 究 14 探究点二 直线与圆相切问题 例2（1） 圆在点 处的切线方程为( ) B A. B. C. D. [解析] 圆的方程可化为，圆心为， 又点 在圆上，，所以切线斜率为， 所以切线方程为 ，化简得 ， 故选B. 课 中 探 究 15 （2）经过向圆 作切线，则切线方程为( ) C A. B. C.或 D.或 [解析] 点在圆外，因此过点的圆的切线有两条，排除A, 当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意. ②当切线的斜率存在时，设切线方程为， 由到切线的距离得 ， 此时切线方程为，即 . 故选C. 课 中 探 究 16 变式 已知圆，过直线上的动点作圆 的 一条切线，切点为，则 的最小值为( ) C A.1 B. C. D.2 [解析] 作出圆与直线，如图所示，连接， ， 则，易知当取得最小值时， 取得最小值， 因为， 所以 的最小值为 . 故选C. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 圆的切线方程的求法 （1）点在圆上时 求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率 （斜率存在且不为零），再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线 方程.若斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为或 . 课 中 探 究 18 （2）点在圆外时 ①几何法：设切线方程为 （斜率存在），由圆心到直线的距 离等于半径，可求得 ，从而得到切线方程. ②代数法：设切线方程为 （斜率存在），与圆的方程联立， 消去后得到关于的一元二次方程，由求出 ，可得切线方程. 提醒：不要遗漏切线的斜率不存在的情况. 课 中 探 究 19 探究点三 直线与圆相交问题 例3 求直线被圆截得的弦长 . 解：联立直线与圆的方程，得解得或 所以直线与圆的两个交点为，， 故直线 被圆截得的弦长 . 课 中 探 究 20 变式（1） [2024·哈尔滨高二期末]经过第一、二、三象限的直线 与圆交于， 两点，若 ，则 的最大值是( ) B A.8 B.4 C.2 D.1 [解析] 方程可化为 ， 则圆C的圆心为，半径为3， 因为，所以直线 经过该圆的圆心，即，所以. 又直线经过第一、二、三象限，所以 即,，则， 当且仅当时，等号成立，所以 的最大值是4.故选B. 课 中 探 究 21 （2）过点作直线与圆交于， 两点，若 ，求直线 的方程. 解：将圆的方程化成标准方程得 ， 由圆的性质可得，圆心到直线的距离 . ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设的方程为，即 ， 由点到直线的距离公式，得，解得， 所以直线 的方程为. 综上所述，直线的方程为或 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 求弦长常用的三种方法 （1）利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系 解题. （2）利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用 两点间的距离公式计算弦长. （3）利用弦长公式，设直线与圆的两个交点坐标分别为 ， ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长 . 课 中 探 究 23 拓展 已知直线 ，圆 ，当直线被圆截得的弦长最短时， 的方程为 ( ) D A. B. C. D. [解析] 直线的方程可化为 ， 由解得所以直线过定点 . 圆C的标准方程为,则圆C的的圆心坐标为,半径， 连接 ，显然，即点在圆C内. 直线的斜率为 ，当时，直线被圆C截得的弦长最短， 此时直线的斜率为 ，故所求直线方程为，即 . 故选D. 课 中 探 究 24 $