1.1.6 第2课时 点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.6 平面直角坐标系中的距离公式 第2课时 点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 点到直线的距离公式 探究点二 两条平行直线间的距离公式 探究点三 最值问题 探究点四 对称问题 3 【学习目标】 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式. 2.会求两条平行直线间的距离. 4 知识点一 点到直线的距离公式 已知点,直线,不全为0,则点到直线的距离 ___________. 课 前 预 习 5 证明点到直线距离的方法如下: 1.定义法 根据定义,点到直线的距离就是点到直线 的垂线段的长. 如图,过点作直线 的垂 线,垂足为,由可知的斜率为___, 的方程为 可以验证，当 时，上述公式仍然成立. ,与的方程联立,得交点 , . 课 前 预 习 6 2.向量法 如图,设直线的一个法向量为 , 为直线上任意一点, ，则 .从而点到直线的距离 _________ . 点在直线上,,从而 . 课 前 预 习 7 【诊断分析】（1） 点到直线 的距离为_ ___. （2）点到直线 的距离为________. 课 前 预 习 8 知识点二 两条平行直线间的距离 1.定义:夹在两条平行直线间的__________的长,称为两条平行直线间的距离. 公垂线段 2.求法:转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 3.公式:两条平行直线与（其中， 不 全为0，且）之间的距离 _______. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知直线,,则直线,间的距离为 .( ) √ （2）已知两条平行直线,,则直线 , 间的距离为 .( ) × 课 前 预 习 9 探究点一 点到直线的距离公式 例1（1） 在平面直角坐标系中，点到直线 的距离为( ) B A.1 B. C. D. [解析] 可化为， 则点到直线 的距离为 ．故选B. （2）点到直线 的距离是___. 1 [解析] 因为直线平行于轴,所以所求距离 . 课 中 探 究 10 变式（1） （多选题）已知点到直线的距离等于1，则 的 值可以是( ) AB A. B. C. D.3 [解析] 依题意有，即，得.故选 . 课 中 探 究 11 （2）垂直于直线且与点的距离是的直线 的方程是 _____________________________. 或 [解析] 设与直线垂直的直线方程为 ， 则由点到直线的距离公式知，， 可得 ，即，解得或， 故所求直线的方程为 或 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 求点到直线的距离的方法 （1）求点到直线的距离时,只需把直线方程化为一般式,直接应用点到直线的距 离公式求解即可. （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线或,求点 到它们的 距离时,既可以用点到直线的距离公式,也可以直接写成 或 （3）已知点到直线的距离求参数时,只需根据点到直线的距离公式列方程求解 参数即可. 课 中 探 究 13 探究点二 两条平行直线间的距离公式 例2 平行直线与 之间的距离为( ) D A. B. C. D. [解析] 方法一：在直线上取点,， 则点, 到直线的距离， 则平行直线 与之间的距离为 .故选D. 方法二：将化为 , 则两平行直线间的距离 .故选D. 课 中 探 究 14 变式（1） 已知直线与两平行直线和 之 间的距离相等,则 的方程为______________. [解析] 设直线的方程为, 由题意得 ,解得, 所以直线的方程为 . 课 中 探 究 15 （2）已知直线,是分别经过,的两条平行直线,当, 间的距 离为时,直线 的方程是______________. [解析] 当直线,的斜率不存在时,两直线间的距离为1,不满足题意， 故直线 , 的斜率存在,设为, 则直线,的方程分别是, , 因此两平行直线间的距离, 依题意得,解得 , 所以直线的方程为,即 . 课 中 探 究 16 （3）[2024·甘肃白银高二期末]若直线被两平行直线 与 所截的线段的长为，则直线 的倾斜角为( ) A A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 课 中 探 究 17 [解析] 在平面直角坐标系中作出直线， ，如图所示， 在直线上取点A，过点A作 ，垂足为B. 因为直线与直线 平行， 所以,之间的距离为，即 . 设直线过点A且与直线交于点C，则. 因为，且 ，，所以 ， 即直线与直线的夹角为 . 因为直线 的斜率为，所以的倾斜角为 . 当直线在的位置时，直线 的倾斜角为 ； 当直线在的位置时，直线的倾斜角为. , 所以直线的倾斜角为 或 .故选A. 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 求两平行直线间的距离一般有两种方法: （1）转化法:将两平行直线间的距离转化为其中一条直线上任意一点到另一条 直线的距离.由于结果与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与 坐标轴的交点等,以便于运算. （2）公式法:直接用公式,但要注意两直线方程中, 的系数对应相等. 课 中 探 究 19 探究点三 最值问题 例3（1） 已知实数，满足，则 的最小值 为( ) A A.2 B. C. D. [解析] ， 它表示点 与直线上的动点 之间的距离， 其最小值为点A到直线的距离，为 ，故选A. 课 中 探 究 20 （2）已知实数,满足，则 的最小值为___. 9 [解析] 易知表示点到点的距离的平方. 因为点 在直线上， 所以点到点 的距离的最小值为， 所以 的最小值为9. 课 中 探 究 21 变式（1） 已知点在直线上，则点 到原 点的距离的最小值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 点在直线上，， 则点 在直线上， 可知点 到原点的距离的最小值等于原点到直线的距离， 为 ． 故选B. 课 中 探 究 22 （2）点到直线和直线 的距离 之差的绝对值的取值范围是( ) B A. B. C. D.与, 有关 [解析] 因为直线与直线 平行， 所以两条直线之间的距离为． 当点在两条直线之间时， 点 到直线和直线的距离之差的绝对值在内； 当点 在其中一条直线上或者在两条直线之外时， 点到直线和直线 的距离之差的绝对值等于2. 综上可得，点到直线和直线距离之差的绝对值的取值范围是 , 故选B. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 解决与直线有关的最值问题，常转化为求解点到直线的距离或两平行线间的距 离的相关问题. 课 中 探 究 24 探究点四 对称问题 例4（1） 求直线关于点 对称的直线方程. 解：设是待求直线上任意一点，为点关于点 的对称点， 则点在直线上，即. 由题意得 得把代入， 得 ，故所求的直线方程为 . （2）求点关于直线对称的点 的坐标. 解： 设，由题意，得解得 所以点 关于直线对称的点的坐标为 . 课 中 探 究 25 （3）已知直线，直线，求关于 对称的直 线方程. 解： 取所求直线上任意一点， 设关于直线 的对称点为， 则 解得 易知点在直线 上，即， 所以，化简得 ， 即所求直线方程为 . 课 中 探 究 26 变式（1） 直线关于点 对称的直线方程为( ) A A. B. C. D. [解析] 因为不在直线上， 所以可设直线 关于点对称的直线方程为， 则，解得 或（舍去）， 故所求直线方程为 . 故选A. 课 中 探 究 27 （2）[2024·湖南常德高二期中]若直线 关于直线 对称的直线为，则 的方程为( ) D A. B. C. D. [解析] 由解得即直线与直线的交点为 . 易知点在直线上，设A关于直线的对称点为， 则 解得即， 所以直线的斜率， 从而直线 的方程为，即 .故选D. 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 与直线有关的对称问题的求解规律： （1）点关于点对称，利用中点坐标得到两对称点的坐标和 的 关系式 （2）直线关于点对称，两直线平行，斜率相等，再在已知直线上取点 ，求点 关于已知点的对称点 ，进而可得直线方程. （3）点关于直线对称，依据两对称点的连线与对称轴垂直，且两对称点的对称 中心在对称轴上，列式求解. （4）直线关于直线对称，若两直线相交，则三条直线交于一点，再转化为求点 关于直线的对称点；若两直线平行，则三条直线都平行，由平行直线系和两条 平行线间的距离公式即可求解. 课 中 探 究 29 拓展 已知直线和点，，若点在直线 上， 则当取得最小值时，点 的坐标是________. [解析] 设点关于直线对称的点为 ， 则解得即. 易知 ，所以， 当，，三点共线时， 取得最小值，此时点的横坐标为， 则 . 课 中 探 究 30 $