1.2.2 圆的一般方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 圆与圆的方程 1 2.2 圆的一般方程 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 圆的一般方程的判断 探究点二 求圆的一般方程 探究点三 圆的一般方程的综合问题 3 【学习目标】 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程,并能熟练地指出圆心的位置和半径 的大小. 4 知识点 圆的一般方程 将方程 配方得_ _____________________________. 当 时，方程（*）表示以__________为圆心， ________________为半径的圆，我们把方程 （其中 ）叫作圆的一般方程. （1）圆的一般方程的特点是：， 的系数都是___；②不含____这样的 二次项； ___0. 课 前 预 习 5 （2）方程 并不一定表示圆，当其系数满足 时，它表示____；当 时，它表示一个____； 当时，方程 没有实数解，它不表示 任何图形. 圆 点 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) √ （2）二元二次方程 一定是某个圆的方程.( ) × （3）若方程表示圆，则 .( ) √ （4）在圆的一般方程中，当 时，圆 的圆心在 轴上.( ) × （5）任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( ) √ 课 前 预 习 7 探究点一 圆的一般方程的判断 例1 下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. （1） ； 解：因为 , 所以该方程表示圆，又, , 所以该圆的圆心为，半径 . （2） ； 解：因为 , 所以该方程表示点，又, ， 所以该方程表示的点的坐标是 . 课 中 探 究 8 （3） . 解：原方程可化为 ， 因为 ， 所以该方程无实数解，方程不表示任何图形. 课 中 探 究 9 例2 讨论方程 为任意实数 所表示的曲 线. 解：方程 可化为 . 当，即时，原方程可化为 ，此时该方程表示直线； 当，即时，原方程可化为 ， 该方程表示以为圆心，以 为半径的圆. 综上所述，当 时，方程表示直线； 当时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆. 课 中 探 究 10 变式 （多选题）若方程表示圆，则实数 的 可能取值为( ) AD A.4 B.2 C.0 D. [解析] 因为方程 表示圆， 所以，可得 ， 即，所以或. 观察选项，只有4和 符合题意.故选 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 二元二次方程与圆的关系: 形如 的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下 方法:由圆的一般方程的定义判断是否为正,若 ,则 方程表示圆,否则不表示圆;也可将方程配方变形成“标准”形式后,利用公式 写出圆心坐标,利用公式 求出半径. 课 中 探 究 12 探究点二 求圆的一般方程 例3 已知圆过点，，，求圆 的方程． 解：设圆的方程为，则 解得所以圆的方程为 . 课 中 探 究 13 变式 [2024·新疆伊犁高二期中] 圆 关于直线 对称的圆的一般方程为__________________________. [解析] 方程可化为 ， 故该圆的圆心坐标为，半径为5. 设对称圆的圆心坐标为，则点, 在直线上， 且两圆心所在直线与直线垂直， 所以 ，且，可得, . 显然，对称圆的半径也为5，则所求圆的标准方程为， 一般方程为 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 求圆的方程主要有两种方法:定义法和待定系数法.定义法是根据题目利用定义判 断曲线为圆,求出圆心坐标和半径，从而得到圆的方程;待定系数法是列出关于 , ,的方程组,求出,, ,从而得到圆的一般方程. 课 中 探 究 15 拓展 如图所示，四边形是一块草坪，其中 , , .现在要在草坪中的某个位置 建一个灯柱，要求 到草坪四个顶点,,,的距离都相等，则 到四个顶点的距离等于___. 课 中 探 究 16 [解析] 因为 ,所以，，， 四点共圆， 则原问题转化为求四边形外接圆的半径. 以点为原点，所在直线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则,,， 设四边形 外接圆的方程为， 分别将,,三点的坐标代入求得 , ,， 故外接圆的方程为 ，即， 所以外接圆的半径为2. 故 到四个顶点的距离等于2. 课 中 探 究 17 探究点三 圆的一般方程的综合问题 例4（1） （多选题）已知圆 ，则下列说法正确的是 ( ) ABC A.圆关于点对称 B.圆关于直线 对称 C.圆关于直线对称 D.圆关于直线 对称 [解析] 方程可化为 ， 所以该圆的圆心坐标为. 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点 是该圆的圆心，故A选项正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线 过圆心，故B选项正确； 直线过圆心，故C选项正确； 直线 不过圆心，故D选项不正确.故选 . 课 中 探 究 18 （2）[2024·重庆万州高二期中]若，，，四点共圆，则 的 值为( ) A A.2或3 B.或2 C.或3 D. 或3 [解析] 设圆的方程为（其中 ）， 则解得 所以圆的方程为. 又点在圆上，所以 ， 整理得，解得或 .故选A. 课 中 探 究 19 变式（1） 若曲线 上所有的点均在第二 象限内，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意，曲线C的标准方程为 ， 因此曲线C是圆心为，半径为2的圆， 曲线C上所有的点均在第二象限内，解得， 的取值范围是 ,故选D. 课 中 探 究 20 （2）已知圆不经过第三象限，则实数 的最大 值为_____. [解析] 圆的方程可整理为， 则圆心的坐标为 ，所以（其中为坐标原点）. 因为圆 不经过第三象限，所以，解得， 则 . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 解决与圆有关的综合问题时，一定要结合圆的几何性质与代数关系特点，综合 运用求解. 课 中 探 究 22 拓展 （多选题）已知圆与点 ，则 ( ) BCD A.圆 的半径为2 B.点在圆 外 C.点与圆上任一点之间距离的最大值为 D.点与圆上任一点之间距离的最小值为 [解析] 依题意，圆C的标准方程为， 则圆心 ，半径，故A不正确； 因为点，所以 ，即点A在圆C外，故B正确； 由， ，可得点A与圆C上任一点之间距离的最小值为, 最大值为，故C，D正确.故选 . 课 中 探 究 23 $