1.2.1 第2课时 圆的标准方程的综合应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 圆与圆的方程 1 2.1 圆的标准方程 第2课时 圆的标准方程的综合应用 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 与直线相关的圆的标准方程 探究点二 圆的简单几何性质 探究点三 与圆有关的最值问题 3 【学习目标】 理解圆的几何性质. 4 知识点 圆的简单几何性质 由圆的方程 ，可得圆的简单几何性质： （1）范围 由方程可得圆上任意一点都满足不等式, ，这 说明圆上的所有点都在两条平行直线,和两条平行直线, 围成的________之间. 正方形 课 前 预 习 5 （2）对称性 根据方程的结构特点，可以发现：若点的坐标 满足方程 ，则点分别关于轴、轴和原点 对称的点__________， __________，___________的坐标也都满足方程 ，这说明圆 既是关于_____和_____的轴对称图形，也是关于______的中心对称 图形. 轴 轴 原点 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）圆上任意一点的坐标 都满足不等式 , .( ) × （2）若圆关于直线对称，则直线一定过该圆的圆心.( ) √ 课 前 预 习 7 探究点一 与直线相关的圆的标准方程 例1 过点，，且圆心在直线 上的圆的标准方程 是( ) A A. B. C. D. 课 中 探 究 8 [解析] 因为，，所以线段的中点坐标为 ， ，所以线段的中垂线的斜率， 所以线段 的中垂线的方程为，即圆心在直线上. 又因为圆心在直线 上，所以由解得 所以圆心坐标为 ，圆的半径 ， 所以所求圆的标准方程为 .故选A. 课 中 探 究 9 变式 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点，则圆 的标准方 程是( ) B A. B. C. D. [解析] 设圆心C的坐标为，点A的坐标为，连接， 由于圆C与 轴相切于点，所以轴，可得， 所以圆心C的坐标为 ，圆C的半径为， 因此，圆C的标准方程为 .故选B. 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 求具备一定条件的圆的方程时，关键是确定圆的两个几何要素，即圆心和半径， 常用待定系数法.在一些问题中借助圆的平面几何知识可以简化计算，如已知一 个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意 平面几何知识的应用. 课 中 探 究 11 探究点二 圆的简单几何性质 例2（1） 已知实数,满足方程，则 的最大值为 ( ) D A.3 B.2 C. D. [解析] 由题可知，点为圆 上的点， 圆心坐标为，半径，则，即的最大值是 ，故选D. 课 中 探 究 12 （2）在平面直角坐标系中，是圆 上的动点， 若，，，则 的最大值为____. 12 [解析] 易知，且 ， 所以 ． 课 中 探 究 13 变式 设点是圆上的动点，定点， ， 则 的最大值为___. [解析] 因为点在圆上，所以， 则 ，且. 因为, ， 所以， 由 ，得，即 的最大值为8. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往可以简化思路，简便运算. 课 中 探 究 15 探究点三 与圆有关的最值问题 例3 已知点在曲线上，则 的最大 值是( ) A A.6 B.25 C.26 D.36 [解析] 表示圆上的点到点 的 距离， 所以的最大值为圆心到点 的距离加上半径1， 故 .故选A. 课 中 探 究 16 变式 一束光线从点射出，经轴反射到圆 上的最短路程是( ) A A.4 B. C.5 D.6 [解析] 点关于轴的对称点为， 圆C的圆心为 ，半径，连接， 所以最短路程是 . 故选A. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 求解与圆有关的长度或距离的最值问题时，一般根据长度或距离的几何意义， 利用圆的几何性质数形结合求解. 课 中 探 究 18 拓展 [2024·山东泰安高二期中] 已知点在曲线 上，则 的最大值，最小值分别为( ) B A.， B.， C.， D.， [解析] 由，可得 ， 此方程表示的曲线是以为圆心，2为半径的圆的右半部分， 设点B在第一象限，且 轴，垂足为A，交该半圆于点B. 显然表示点 与此半圆上的点的距离， 其最大值为，最小值为， 易知 ，，， 所以 的最大值为，最小值为 .故选B. 课 中 探 究 19 $