1.1.1&1.1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线的斜率与倾斜角的关系 探究点二 直线的斜率与方向向量的关系 探究点三 直线的倾斜角与方向向量的关系 3 【学习目标】 1.理解直线的倾斜角与斜率的关系. 2.理解利用直线的方向向量来描述直线的倾斜程度. 4 知识点一 直线的斜率与倾斜角的关系 由正切函数的概念可知，倾斜角不是的直线，它的斜率和它的倾斜角 满足 __________（其中 ）. 斜率与倾斜角 有如下关系： 当时，斜率，且随倾斜角 的增大而______； 当时，斜率，且随倾斜角 的增大而______； 当时，直线与轴垂直，此时直线 的斜率________. 增大 增大 不存在 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线的倾斜角越大,它的斜率也越大;反过来,直线的斜率越大,它的倾斜角也 越大.( ) × （2）所有的直线都有倾斜角,但不是所有的直线都有斜率,倾斜角是 的直线 不存在斜率.( ) √ 课 前 预 习 6 知识点二 直线的斜率与方向向量的关系 在直线上任取两个不同的点， ，由平面向量的知识可知，向 量是直线的方向向量，它的坐标是________________.直线的倾斜角 、斜 率、方向向量分别从不同的角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中 轴的倾斜程度，它们之间的关系是_________________（其中）.若 是直 线的斜率，则_________是它的一个方向向量；若直线 的一个方向向量的坐标 为，其中 ,则它的斜率______. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）一条直线的方向向量与 轴正方向所成的角和直线的倾斜角相等.( ) × （2）已知直线上不同两点, ，可以确定直线的方向，求出直 线的一个方向向量，进而可以求出它的斜率.( ) × （3）若直线的一个方向向量的坐标为，则的斜率为 .( ) × 课 前 预 习 8 探究点一 直线的斜率与倾斜角的关系 例1（1） 过点， 的直线的倾斜角为( ) D A. B. C. D. [解析] 经过，两点的直线的斜率 ， 设该直线的倾斜角为 ，则，又 ，所以 . 故选D. 课 中 探 究 9 （2）[2024·江西九江高二期中]已知直线的斜率，则直线 的倾斜角 的取值范围为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角为 ，所以. 由 可得，所以,, .故选B. 课 中 探 究 10 变式（1） 如图，已知直线，， 的斜率分别为 ，， ，则( ) D A. B. C. D. [解析] 由题图知直线的倾斜角为钝角， 直线，的倾斜角为锐角，且 的倾斜角较大， ， .故选D. 课 中 探 究 11 （2）经过点作直线，若直线与连接， 两点的线段总有 公共点，则直线的倾斜角 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 如图所示，设直线的倾斜角为 ， ， 由题知， 直线 与连接， 两点的线段总有公共点， ，即， , ,． 故选A. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 1.由倾斜角大小（或范围）求斜率大小（或范围）利用公式 求解. 2.由两点坐标求直线斜率运用斜率公式 求解. 3.涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解. 课 中 探 究 13 拓展 [2024·广东佛山高二期中] 直线 的倾斜角为( ) D A. B. C. D. [解析] 因为直线 的斜率为 ， 且 ， 所以直线 的倾斜角为 .故选D. 课 中 探 究 14 探究点二 直线的斜率与方向向量的关系 例2（1） 已知直线经过两点,，则直线 的一个方向向量的坐标 是( ) C A. B. C. D. [解析] 因为,，所以， 因为 ，所以向量与共线， 故直线的一个方向向量的坐标是 .故选C. 课 中 探 究 15 （2）（多选题）直线 的一个方向向量的坐标是( ) BD A. B. C. D. [解析] 在直线上取点， ， 则直线的一个方向向量的坐标为 ，故D正确； 对于A，因为，所以向量与 不共线，A不正确； 对于B，因为，所以向量,与 共线，故B正确； 对于C，因为，所以向量与 不共线， C不正确. 故选 . 课 中 探 究 16 变式（1） 过，两点的直线的一个方向向量为 ,则 ( ) C A. B. C. D.1 [解析] 方法一：由直线上的两点， ， 得，， 又直线的一个方向向量为 ，所以，解得 ，故选C. 方法二：由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为 ， 所以，解得 .故选C. 课 中 探 究 17 （2）直线过点,则直线 的一个方向向量的坐标为____________ _________. （答案不唯一） [解析] 直线过原点，且过点，则, 所以直线 的一个方向向量的坐标为（答案不唯一，与 共线的 非零向量的坐标均可）. 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 一般地,如果已知是直线 的一个方向向量,那么: （1）当时,显然直线的斜率不存在,倾斜角为 . （2）当时,直线的斜率存在,且向量是直线 的一个方向向量. （3）对于非零实数 ，向量都是的方向向量,而且直线 的任意两个方向向量 一定共线. 课 中 探 究 19 探究点三 直线的倾斜角与方向向量的关系 例3（1） 若直线的一个方向向量是，则直线 的倾斜角是( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意得直线的斜率为，则直线的倾斜角是 ，故选C. 课 中 探 究 20 （2）若直线的倾斜角等于 ，则下列向量中不是直线 的方向向量的是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角等于 ，所以其斜率 ， 因此直线的方向向量的坐标是 ，故选A. 课 中 探 究 21 变式 若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角 ____. [解析] 直线的一个方向向量为,， 斜率， 直线的倾斜角 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 在运用直线的倾斜角与方向向量的关系时，常常由倾斜角求出斜率，再利用斜 率与方向向量的关系来求解. 课 中 探 究 23 $