02-§2 2-2.2 圆的一般方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，涵盖方程理解、求解、应用及轨迹问题，通过对比圆的标准方程导入，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合最新月考真题创设问题情境，如四点共圆、对称点在圆上的问题，培养学生用数学眼光观察现实世界。通过配方、判别式推导半径和圆心，体现数学思维的推理能力，详细解析步骤助力学生用数学语言表达问题，既提升学生解题能力，又为教师提供丰富教学资源。

第一章 直线与圆 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §2　圆与圆的方程 2.2　圆的一般方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对圆的一般方程的理解 1.[2026江西月考]“关于x,y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的 ( ) A.必要不充分条件    B.充要条件 C.充分不必要条件    D.既不充分也不必要条件     A     解析　若关于x,y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆,则m2+42-4×8>0,解得m<-4或m>4,故为必要不充分条件. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026广东佛山月考]已知圆C的方程是4x2+4y2-4kx-4ky+k2=0,其中k>0,则下列说法正确的是( ) Ⅰ.圆C的圆心C的坐标是(2k,2k). Ⅱ.圆C的面积是 . Ⅲ.原点在C内. A.只有Ⅱ　　    B.只有Ⅲ C.Ⅰ和Ⅱ　　    D.Ⅱ和Ⅲ     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由4x2+4y2-4kx-4ky+k2=0得x2+y2-kx-ky+ =0(圆的一般方程中,x2,y2的系数需化为1), 所以 + = ,所以圆心C ,半径为 ,故Ⅰ错误; 圆C的面积为π× = ,故Ⅱ正确; 因为02+02-k×0-k×0+ = >0, 所以原点在圆C外,故Ⅲ错误. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江西部分学校联考]设圆C1:x2- x+y2=0,C2:x2+y2+2y=-sin 32°,C3:x2+2x+y2=-sin 152°的半径分别 为r1,r2,r3,则 ( ) A.r2<r1<r3　　    B.r1<r3<r2 C.r1<r2<r3　　    D.r3<r2<r1     A     解析　由x2- x+y2=0,得 +y2= ,则r1= . 由x2+y2+2y=-sin 32°,得x2+(y+1)2=1-sin 32°<1-sin 30°= ,则r2< . 由x2+2x+y2=-sin 152°,得(x+1)2+y2=1-sin 152°=1-sin 28°>1-sin 30°= , 则r3> .故r2<r1<r3. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西抚州四校月考]若圆x2+8x+y2-6y+m=0与x轴、y轴均有公共点,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,9]　　    B.(-∞,16] C.[9,25)　　    D.[16,25)     A 解析　因为x2+8x+y2-6y+m=0表示圆, 所以64+36-4m>0,解得m<25, 令y=0,得x2+8x+m=0,则Δ1=64-4m≥0,解得m≤16, 令x=0,得y2-6y+m=0,则Δ2=36-4m≥0,解得m≤9. 综上,实数m的取值范围为(-∞,9]. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的一般方程的求解及应用 5.[2025湖北部分省级示范高中期中]与圆x2+y2-2x+4y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是 ( ) A.x2+y2-2x+4y-4=0　　     B.x2+y2-2x+4y+4=0 C.x2+y2+2x-4y-4=0　　     D.x2+y2+2x-4y+4=0     B     解析　设所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-2×1+4×(-1)+m=0,解得m=4, 所以所求圆的方程为x2+y2-2x+4y+4=0. 解题技法　与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0, 其中D2+E2-4λ>0,λ≠F. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[教材习题改编]已知点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),D(2,a)四点共圆,则a=_________.     1     解析　设过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则 解得  所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0, 又点D在此圆上, 所以4+a2+12-2a-15=0, 即a2-2a+1=0,所以a=1. 解题技法　若已知圆上三个点的坐标时,常用待定系数法求圆的一般方程,设圆的一般方程为x2+y2+Dx +Ey+F=0(D2+E2-4F>0),根据条件列出方程组,进而求出D,E,F的值. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西阶段性练习]若点P(0,2)关于直线y=kx对称的点Q在圆x2-4x+y2+3=0上,且Q在第一象限内,则 实数k的值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　显然P(0,2)在圆x2+y2=4上,又直线y=kx经过该圆的圆心(0,0), 所以点P(0,2)关于直线y=kx对称的点在圆x2+y2=4上, 又点P(0,2)关于直线y=kx对称的点在圆x2-4x+y2+3=0上, 所以对称点为圆x2+y2=4和圆x2-4x+y2+3=0的交点, 由  解得 或 (舍), 则Q , 由题意得P(0,2),Q 两点所在直线与直线y=kx垂直,故 k=-1,解得k= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026北京第五中学月考]已知A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2)),C(-1,1)是函数f(x)=x2的图象上不同的三个点. (1)当x1=1时,线段AB的垂直平分线方程为x+4y-22=0,求直线BC的方程; (2)在(1)的条件下,求△ABC外接圆的一般方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)当x1=1时, f(1)=1,即A(1,1), 由线段AB的垂直平分线方程为x+4y-22=0,可得kAB=4, 所以直线AB的方程为y-1=4(x-1), 即4x-y-3=0,与y=x2联立,消去y,可得x2-4x+3=0, 解得x=1(舍去)或x=3,则B(3,9), 所以kBC= =2, 所以直线BC的方程为y-9=2(x-3),即2x-y+3=0. (2)由(1)知A(1,1),B(3,9),设△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,又C(-1,1), 故 解得  即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-11y+9=0. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　与圆有关的动点的轨迹问题 9.[2026江西南昌中学月考]已知平面内有两点A(-1,0)和B(2,1),且该平面内的点P满足|PA|= |PB|,若点 P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称,则5m+2n=( ) A.0　　    B.2　　    C.5　　    D.7     B     解析　设点P的坐标为(x,y),因为|PA|= |PB|,所以|PA|2=2|PB|2, 即(x+1)2+y2=2[(x-2)2+(y-1)2], 整理得点P的轨迹方程为(x-5)2+(y-2)2=20,此方程表示一个圆. 因为点P的轨迹关于直线mx+ny-2=0(m>0,n>0)对称, 所以圆心(5,2)在此直线上, 所以5m+2n-2=0,则5m+2n=2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026湖北部分名校月考]已知A,B是圆C:x2+y2-2x-4y+1=0上的两点,且|AB|=2 ,O为坐标原点,则|  + |的最小值为 ( ) A.2　　    B.4　　    C. -1　　    D.2 -2     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　将圆C的方程化为标准形式, 得(x-1)2+(y-2)2=4,故圆心C(1,2),半径为2, 设H为AB的中点,连接CH,AC, 则CH⊥AB,结合|AB|=2 , 得|CH|= =1, 则点H的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆. 连接OH,则 + =2 ,则| + |=2| |, 由图可知,当O,H,C三点共线,且H在O,C之间时,| |取得最小值,为|OC|-1= -1,则| + |的最小值为2  -2. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026江西鹰潭余江第一中学月考]已知点P(-2,1)在动直线ax-a+by-5b=0上的投影为Q,若点R(3,3),则 |QR|的最大值是_________.     6     第1讲　描述运动的基本概念 解析    ax-a+by-5b=0变形为a(x-1)+b(y-5)=0, 令 解得  故直线ax-a+by-5b=0恒过点A(1,5). 设点Q(x,y),则PQ⊥AQ, 故 · =(x+2,y-1)·(x-1,y-5)=0, 整理得 +(y-3)2= , 所以点Q的轨迹是以B 为圆心, 为半径的圆, 因为 +(3-3)2> ,所以点R(3,3)在圆外, 则|QR|的最大值为|BR|+ = + =6. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §1　直线与直线的方程 2.2　圆的一般方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆的方程及其应用 1.[2026北京清华大学附属中学开学考试]已知☉C:x2+y2-4x+4y+6=0,点A(1,1),O是坐标原点.若点B在☉ C上,则△OAB的面积的最大值为( ) A.3 　　    B.3　　    C.2 　　    D.2     B     解析　将圆C的方程化为标准形式得(x-2)2+(y+2)2=2,则圆心C(2,-2),半径r= , 易得|OA|= ,|OC|=2 , 因为kOA= =1,kOC= =-1, 所以kOA·kOC=-1,即OA⊥OC, 如图,当B为OC的延长线与圆C的交点时,△OAB的面积最大, 此时|OB|=|OC|+r=3 ,则△OAB的面积的最大值为 × ×3 =3.   第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南师范大学附属中学月考] 已知点M(4,11),直线l1:x+my-3m+4=0与直线l2:mx-y-2m-5=0交于点P,则|PM|的值可以为( ) A.7　　    B.6　　    C.8　　    D.19     C     解析　当m=0时,l1:x=-4,l2:y=-5,则l1⊥l2; 当m≠0时,m-m=0,则l1⊥l2,且l1过定点A(-4,3),l2过定点B(2,-5), 所以 · =0. 设P(x,y),则 =(-4-x,3-y), =(2-x,-5-y), 则 · =(-4-x)(2-x)+(3-y)(-5-y)=0,即(x+1)2+(y+1)2=25, 则点P在以点(-1,-1)为圆心,5为半径的圆(除去点A(-4,3),B(2,-5),(2,3))上, 所以|PM|的最大值为 +5=13+5=18,最小值为 -5=13-5=8. 故|PM|的取值范围是[8,18],结合选项知C正确. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2025江苏徐州第三中学等校期中联考]已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则 ( ) A.当k=0时,圆C的面积是π B.实数k的取值范围是  C.点(1,0)在圆C内 D.当圆C的周长最大时,圆心坐标是(0,-1)     AB     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,整理可得x2+(y-1)2=1,方程表示以(0,1)为圆心,1为半径的圆,其面 积为π·12=π,故A正确; 对于B,因为方程x2+y2+kx-2y+k2=0表示圆,所以k2+(-2)2-4k2>0,解得- <k< ,故B正确; 对于C,将x2+y2+kx-2y+k2=0变形为 +(y-1)2=1- k2,可知圆心C ,半径r= , 点(1,0)到圆心C的距离d= = , 当k=0时,d= >r=1,此时点(1,0)在圆C外,故C错误; 对于D,当圆C的周长最大时,半径r= 最大,易知当k=0时,半径r取得最大值1,此时圆心C(0,1),故D 错误. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江西九江第一中学月考]莱莫恩定理指出:过△ABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的切线分别 和边BC,CA,AB相交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上,这条直线被称为该三角形的莱莫恩线.在 平面直角坐标系xOy中,若三角形三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(2,0),C(0,-4),则该三角形的莱莫恩线方 程为( ) A.2x+3y-8=0　　    B.2x+3y+8=0 C.2x-3y-8=0　　    D.2x-3y+8=0     A     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),   则 解得  则△ABC外接圆方程为x2+y2+3y-4=0, 即x2+ = . 该外接圆在A(0,1)处的切线方程为y=1, 第1讲　描述运动的基本概念 易得直线BC的方程为 + =1,令y=1,得x= ,则P . 外接圆在C(0,-4)处的切线方程为y=-4, 易得直线AB的方程为 + =1,令y=-4,得x=10,则R(10,-4), 则直线PR的方程为 = ,即2x+3y-8=0,即该三角形的莱莫恩线方程为2x+3y-8=0. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河北名校联合体期中]已知圆C:x2+y2-x-y+ =0,点P(a,b)在圆C上,则 的最大值为( ) A. 　　    B.- 　　    C. + 　　    D. -      C     第1讲　描述运动的基本概念 解析     = = + = + · , 由于点P(a,b)在圆C上,故可将 看作圆C上任意一点P(a,b)与点A 连线的斜率. 易得圆C的圆心C ,半径为 . 由图知,当直线PA与圆C相切于第一象限时,直线PA的斜率最大,   第1讲　描述运动的基本概念 此时|AC|= - =1,|CP|= , 因为AC∥x轴,所以kAP=tan∠PAC= = , 故 的最大值为 + × = + . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025重庆实验外国语学校期中]已知圆O:x2+y2=4上有一动点P,记点P到直线l:x-y-4=0的距离为d0,平 面上有一定点A(-2 ,2 ),则 |PA|+d0的最小值为____________.     2 +1     解析　如图,连接OP,分别取线段AO,AP的中点M,N,连接MN, 则|MN|= |OP|=1, 因为A(-2 ,2 ),所以M(- , ), 所以点N的轨迹是以M为圆心,1为半径的圆, 其方程为(x+ )2+(y- )2=1, 设点M到直线l:x-y-4=0的距离为d, 则d= =2+2 , 则 |PA|+d0=|PN|+d0的最小值为d-1=2+2 -1=2 +1. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江西全南中学月考]已知圆C:x2+y2-2tx-2t2y+t2- =0(t∈R),圆C过y轴上的定点A,线段MN是圆C在x 轴上截得的弦. (1)求定点A的坐标; (2)证明:对任意的t∈R,弦MN的长为定值1; (3)设|AM|=m,|AN|=n,求 + 的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)将x=0代入圆C的方程,得y2-2t2y+t2- =0,整理得(-2y+1)t2+ =0, 因为该方程对t∈R恒成立, 所以 解得y= , 所以定点A的坐标为 . (2)证明:将圆C的方程化为标准形式为(x-t)2+(y-t2)2=t2+ , 所以圆C的圆心C(t,t2),半径为 ,由垂径定理得|MN|=2 =2× =1, 所以对任意的t∈R,弦MN的长为定值1. 第1讲　描述运动的基本概念 (3)对于x2+y2-2tx-2t2y+t2- =0, 令y=0,得x2-2tx+t2- =0, 解得x=t+ 或x=t- , 不妨令M ,N . 由(1)知A , 所以|AM|=m= , |AN|=n= , 由基本不等式可知 + ≥2,当且仅当m=n,即t=0时等号成立, 第1讲　描述运动的基本概念 在△AMN中,|MN|=t+ - =1, 由余弦定理得cos A= , 因为S△AMN= mnsin A= ×1× , 所以sin A= (注意隐含条件S△AMN为定值), 所以sin A+cos A= , 又sin A+cos A= sin ≤ , 所以 ≤ ,所以 = + ≤2 , 故 + 的取值范围为[2,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　通过“康威圆定理”考查圆的方程,直线的对称问题 8.[2026福建名校联盟联考]英国数学家约翰·康威发现了有趣的“康威圆定理”,如图,设△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,依次延长线段CA,BA,AB,CB,BC,AC至A1,A2,B1,B2,C1,C2,使得AA1=AA2=a,BB1=BB2 =b,CC1=CC2=c,则A1,A2,B1,B2,C1,C2六点共圆,并称此圆为△ABC的“康威圆”.已知某三角形的面积为  ,其一条边的长为2,点P在该三角形的“康威圆”上运动,若MN是该三角形内切圆的直径,则 ·  的最小值为_________.       9     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设△ABC的“康威圆”的半径为R,圆心为E,△ABC的内切圆的半径为r,圆心为O. 因为|A1C2|=|B2C1|=|B1A2|, 所以E到A1C2,B2C1,B1A2的距离相等, 则△ABC的“康威圆”的圆心E与内切圆的圆心O重合, 则E到A1C2的距离为内切圆半径r, 则2 =a+b+c, 则R2-r2= . 由 =- ,得 · =( + )·( - )= - =R2-r2= . 三角形的面积为 ,其一条边的长为2,不妨假设a=2,过A作BC的垂线,交BC于D,设|CD|=x(0<x<2),则|BD| =2-x. 第1讲　描述运动的基本概念 S△ABC= ×2×|AD|= ,则|AD|= , 所以b= ,c= , 所以b+c= + ,可看作点(x, )与点(0,0)和(2,0)之间的距离之和(代数问题几何化,利用几 何意义求解,数形结合,简化问题),由于点(x, )在直线y= 上运动,点(2,0)关于直线y= 的对称点为(2, 2 ), 故b+c的最小值为点(0,0)与点(2,2 )之间的距离, 则(b+c)min= =4,易得此时 x=1,则D为BC的中点,所以△ABC为等腰三角形时,b+c取得最小值4, 所以 · = ≥ =9. 第1讲　描述运动的基本概念 $