1.5-1.6　第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线及两条平行直线间的距离公式，通过“铁路与仓库”的现实情境导入，引导学生从具体问题抽象出数学定义与公式，构建“情境—定义—公式—应用—拓展”的学习支架，衔接课前预习与课堂互动。 其特色在于以核心素养为导向，通过情境问题培养数学眼光，例题精析强化逻辑推理与数学运算，如点到直线距离公式的参数求解、平行直线间距离的公式应用。通性通法总结与跟踪训练结合，助力学生掌握解题规律，教师可直接用于课堂教学，提升效率。

第二课时　点到直线及两条平行直线间的距离公式 新课程标准解读 核心素养 1.探索并掌握点到直线的距离公式 逻辑推理 2.会求两条平行直线间的距离 数学运算 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　在铁路的附近，有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来， 易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短.将铁路看作一条直线 l ， 仓库看作点 P . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　怎样求得仓库到铁路的距离呢？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点　点到直线及两条平行直线间的距离公式 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定 义 点到直线的垂线段的长 夹在两条平行直线间的公垂线段的 长 公 式 点 P0（ x0， y0）到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0的距离 d ＝ ⁠ （其中 A ， B 不全为0） 两条平行直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝ 0， l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0（其中 A ， B 不全为0，且 C1≠ C2）之间的距离 d ＝ ⁠ 　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 1. 若点 P （ x0， y0）到直线 l1： y ＝ a 与 l2： x ＝ b 的距离分别为 d1， d2，那么 d1， d2如何求？ 提示： d1＝｜ y0－ a ｜， d2＝｜ x0－ b ｜. 2. 两条平行直线间的距离公式写成 d ＝ 时对两条直线有什么 要求？ 提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且 x ， y 的系数分别对应 相等. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）当点 P （ x0， y0）在直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0上时，点到直线 的距离公式就不适用了.（　　） ×　 （2）点 P （ x0， y0）到直线 y ＝ kx ＋ b 的距离为 . （　　） ×　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. （　　） √　 （4）两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距 离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.（　　） √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知直线 l1： x ＋ y ＋1＝0， l2： x ＋ y －1＝0，则 l1， l2之间的距离 为（　　） A. 1 D. 2 解析：　由题意知 l1， l2平行，则 l1， l2之间的距离为 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 若第二象限内的点 P （ m ，1）到直线 x ＋ y ＋1＝0的距离为 ，则 m 的值为 ⁠. 解析：由 ＝ ，得 m ＝－4或 m ＝0，又∵ m ＜0，∴ m ＝－4. －4　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 　　 题型一 点到直线的距离 【例1】　（1）已知点 A （ a ，2）（ a ＞0）到直线 l ： x － y ＋3＝0的 距离为1，则 a ＝（　C　） C 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由点到直线的距离公式知， d ＝ ＝ ＝1，得 a ＝－1± .又∵ a ＞0，∴ a ＝ －1.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）垂直于直线 x ＋3 y －5＝0且与点 P （－1，0）的距离是 的 直线 l 的方程是 ⁠. 解析：设与直线 x ＋3 y －5＝0垂直的直线的方程为3 x － y ＋ m ＝0，则由点到直线的距离公式知： d ＝ ＝ ＝ .所以｜ m －3｜＝6，即 m －3＝±6.得 m ＝9或 m ＝－3，故所求直线 l 的方程为3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0. 3 x － y ＋9＝0或3 x － y －3＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 点到直线距离的求法 （1）求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接 应用点到直线的距离公式求解即可； （2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线 x ＝ a 或 y ＝ b ，求点到它们 的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成 d ＝｜ x0－ a ｜或 d ＝｜ y0－ b ｜； （3）若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公 式列方程求参数即可. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 已知坐标平面内两点 A （3，2）和 B （－1，4）到直线 mx ＋ y ＋3＝0的距离相等，则实数 m 的值为 ⁠. 解析：由 ＝ ，得｜3 m ＋5｜＝｜ m － 7｜，∴ m ＝－6或 m ＝ . －6或 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 两条平行直线间的距离 【例2】　（1）求两条平行直线3 x ＋4 y －12＝0与 mx ＋8 y ＋6＝0之 间的距离； 解：由两条直线平行得 ＝ ，∴ m ＝6. ∴直线为6 x ＋8 y ＋6＝0即3 x ＋4 y ＋3＝0. ∴两条平行直线间的距离 d ＝ ＝ ＝3. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求到直线3 x －4 y ＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线 的方程. 解：设所求直线方程为3 x －4 y ＋ m ＝0（ m ≠1）， 由两平行线间的距离公式得 ＝3， 解得 m ＝16或 m ＝－14. 故所求直线方程为3 x －4 y ＋16＝0或3 x －4 y －14＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【母题探究】 　（变条件）把本例（2）改为“直线 l 与直线3 x －4 y ＋1＝0平行 且点 P （2，3）到直线 l 的距离为3，求直线 l 的方程”. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由直线 l 平行于直线3 x －4 y ＋1＝0，可设 l 的方程为3 x －4 y ＋ c ＝0（ c ≠1）， 又点 P 到 l 的距离为3，所以 ＝3. 解得 c ＝21或 c ＝－9， 所以所求直线方程为3 x －4 y ＋21＝0或3 x －4 y －9＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求两条平行直线间距离的方法 （1）转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另 一条直线的距离，即化线线距为点线距来求； （2）公式法：设直线 l1： Ax ＋ By ＋ C1＝0， l2： Ax ＋ By ＋ C2＝0， 即两条平行直线间的距离 d ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知直线5 x ＋12 y －3＝0与直线10 x ＋ my ＋20＝0平行，则它们之 间的距离是（　　） A. 1 B. 2 D. 4 解析：　由两条直线平行可得 ＝ ，解得 m ＝24.即5 x ＋12 y ＋ 10＝0，由两条平行线间的距离公式得 d ＝ ＝1. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知直线 l1， l2分别是经过 A （1，1）， B （0，－1）两点的两条平 行直线，当 l1， l2间的距离最大时，直线 l1的方程是 ⁠. 解析：当两条平行直线与 A ， B 两点的连线垂直时，两条平行直线 间的距离最大.因为 A （1，1）， B （0，－1）.所以 kAB ＝ ＝2， 所以两条平行直线的斜率为－ ，所以直线 l1的方程为 y －1＝－ （ x －1），即 x ＋2 y －3＝0. x ＋2 y －3＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 距离的综合应用 【例3】　已知正方形的中心为直线2 x － y ＋2＝0， x ＋ y ＋1＝0的交 点，正方形一边所在的直线 l 的方程为 x ＋3 y －5＝0，求正方形其他 三边所在直线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：设与直线 l ： x ＋3 y －5＝0平行的边所在的直线方程为 l1： x ＋3 y ＋ c ＝0（ c ≠－5）.设正方形的中心为点 P ，由得中 心坐标为 P （－1，0）， 由点 P 到两直线 l ， l1的距离相等， 得 ＝ ，得 c ＝7或 c ＝－5（舍去）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ∴ l1： x ＋3 y ＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与 l 垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3 x － y ＋ a ＝0，3 x － y ＋ b ＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴ ＝ ， 得 a ＝9或 a ＝－3， 同理得 b ＝9或 b ＝－3. ∴另两条边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0，3 x － y －3＝0. ∴正方形其他三边所在的直线方程分别为3 x － y ＋9＝0， x ＋3 y ＋7＝ 0，3 x － y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时， 需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法 的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可 构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题. 【跟踪训练】 　直线过点 M （－2，1）且 A （－1，2）， B （3，0）两点到该直线 的距离相等，则直线的方程为 ⁠. y ＝1或 x ＋2 y ＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：法一　当直线斜率不存在时，直线方程为 x ＝－2， A ， B 两点 到它的距离不相等，不符合题意.所以所求直线的斜率存在，可设直线 方程为 y －1＝ k （ x ＋2），即 kx － y ＋2 k ＋1＝0.由 A ， B 两点到该直 线的距离相等得 ＝ ，解得 k ＝0或 k ＝－ .故 所求直线方程为 y ＝1或 x ＋2 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　设所求直线为 l ，由平面几何知识可知，直线 l 与 AB 平行或过 线段 AB 的中点.易求得 kAB ＝－ ，若 l ∥ AB ，则直线 l 的方程为 y －1 ＝－ （ x ＋2），即 x ＋2 y ＝0.若 l 过 AB 的中点（1，1），又 l 过点 M （－2，1），所以直线 l 的方程为 y ＝1.故所求直线方程为 y ＝1或 x ＋2 y ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 点 P （1，－1）到直线 l ：3 y ＝2的距离是（　　） A. 3 C. 1 解析：　点 P （1，－1）到直线 l 的距离 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 两条平行直线3 x －4 y －2＝0与3 x －4 y ＋3＝0之间的距离为 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由两条平行直线间的距离公式，得 d ＝ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 两条平行直线 x ＋ y －1＝0与2 x ＋2 y ＋1＝0之间的距离是（　　） C. 2 D. 1 解析：　2 x ＋2 y ＋1＝0可化为 x ＋ y ＋ ＝0，由两条平行直线间 的距离公式，得 ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 已知直线3 x ＋4 y －3＝0与直线6 x ＋ my ＋14＝0平行，则 m ＝ ⁠， 两条平行直线间的距离是 ⁠. 解析：因为直线3 x ＋4 y －3＝0与直线6 x ＋ my ＋14＝0平行，所以 m ＝8，故直线6 x ＋ my ＋14＝0可化为3 x ＋4 y ＋7＝0，所以两条平行 直线间的距离是 d ＝ ＝2. 8　 2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　对称问题 　　对称问题主要有以下几类：（1）点关于点的对称问题；（2） 直线关于点的对称问题；（3）点关于直线的对称问题；（4）直线 关于直线的对称问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 一、点关于点对称 【例1】　已知不同的两点 P （ a ，－ b ）与 Q （ b ＋1， a －1）关于点 （3，4）对称，则 ab ＝（　　） A. －5 B. 14 C. －14 D. 5 解析：　由题意知即解得故 ab ＝7×（－2）＝－14. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 解决点关于点对称问题的方法 　　点关于点对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题 的基础，一般用中点坐标公式解决点关于点对称的问题. 　　设点 P （ x0， y0）关于点 M （ a ， b ）的对称点为P'（ x ， y ）， 则有所以即点P'的坐标为（2 a － x0，2 b － y0）.特别地，点 P 关于坐标原点 O 的对称点为P'（－ x0，－ y0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 二、直线关于点对称 【例2】　求直线3 x － y －4＝0关于点 P （2，－1）对称的直线 l 的方程. 解：法一　设直线 l 上任一点为 M （ x ， y ），则此点关于点 P （2，－ 1）的对称点为 M1（4－ x ，－2－ y ），且点 M1在直线3 x － y －4＝0 上，所以3（4－ x ）－（－2－ y ）－4＝0，即3 x － y －10＝0，所以所 求直线 l 的方程为3 x － y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　在直线3 x － y －4＝0上任取两点 A （0，－4）， B （1，－ 1），则点 A （0，－4）关于点 P （2，－1）的对称点为 A1（4，2）， 点 B （1，－1）关于点 P （2，－1）的对称点为 B1（3，－1），由直 线方程的两点式，可得直线 l 的方程为3 x － y －10＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法三　由题意可得，直线 l 与已知直线平行，可设 l 的方程为3 x － y ＋ m ＝0（ m ≠－4），点 P （2，－1）到直线3 x － y －4＝0的距离 d ＝ ，由于点 P （2，－1）到两直线距离相等，所以 ＝ ，解得 m ＝－10或 m ＝－4（舍去），所以直线 l 的方程为3 x － y －10＝0.   目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 解决直线关于点对称问题的方法 方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的方法求出对称 点，再由对称点确定对称直线； 方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用 对称直线与原直线平行求直线方程； 特别地，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0关于原点对称的直线方程是 A （－ x ） ＋ B （－ y ）＋ C ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 三、点关于直线对称 【例3】　已知直线 l ： y ＝3 x ＋3，则点 P （4，5）关于 l 的对称点的 坐标为 ⁠. 解析：设点 P 关于直线 l 的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点 M （ ， ）在直线 l 上，且直线PP'垂直于直线 l ，即 解得∴点P'的坐标为（－2，7）. （－2，7）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 解决点关于直线对称问题的方法 　　已知 P （ x ， y ），直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝0，求点 P 关于直线 l 的 对称点P'（x'，y'）可以分三步来求： 第一步，直线PP'和 l 垂直，故 kPP'· kl ＝－1（ kl ≠0）； 第二步，PP'的中点在直线 l 上，即（ ， ）满足直线方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0，得到 A · ＋ B · ＋ C ＝0； 第三步，联立两式可解出x'，y'. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 四、直线关于直线对称 角度1　已知直线与对称轴平行 【例4】　已知直线 l1： x － y ＋3＝0，直线 l ： x － y －1＝0.若直线 l1 关于直线 l 的对称直线为 l2，求直线 l2的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：法一　因为 l1∥ l ，所以 l2∥ l ，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m ≠－1）. 因为直线 l1， l2关于直线 l 对称，所以 l1与 l 间的距离等于 l2与 l 间 的距离. 由两条平行直线间的距离公式，得 ＝ ，解得 m ＝－5或 m ＝3（舍去）. 所以直线 l2的方程为 x － y －5＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　由题意知 l1∥ l2，设直线 l2的方程为 x － y ＋ m ＝0（ m ≠3， m ≠ －1）. 在直线 l1上取点 M （0，3），设点 M 关于直线 l 的对称点为M'（ a ， b ），于是有解得即点M'的坐标为 （4，－1）. 把点M'的坐标代入 l2的方程，得 m ＝－5，所以直线 l2的方程为 x － y － 5＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　已知直线与对称轴相交 【例5】　求直线 l1：2 x ＋ y －4＝0关于直线 l ：3 x ＋4 y －1＝0对称的 直线 l2的方程. 解：解方程组得所以直线 l1与 l 相交， 且交点为 E （3，－2），故点 E 也在直线 l2上. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 在直线 l1：2 x ＋ y －4＝0上取点 A （2，0），设点 A 关于直线 l 的对称 点为 B （ x0， y0）， 于是有 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解得即点 B 的坐标为（ ，－ ）. 故由两点式得直线 l2的方程为2 x ＋11 y ＋16＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 解决直线关于直线对称问题的方法 　　已知直线 l1： A1 x ＋ B1 y ＋ C1＝0， l2： A2 x ＋ B2 y ＋ C2＝0，求直 线 l1关于直线 l2的对称直线的方程： （1）如果 l1∥ l2，则设所求直线方程为 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0（ m ≠ C1），然后在 l1上找一点 P ，求出点 P 关于直线 l2的对称点P' （x'，y'），再代入 A1 x ＋ B1 y ＋ m ＝0即可解出 m ； （2）如果 l1不平行于 l2，则先找出 l1与 l2的交点 P ，然后在 l1上确定一 点（不同于交点），找出这一点关于 l2的对称点P'，由直线方程 的两点式确定所求直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 五、对称问题的应用 【例6】　如图所示，已知点 A （4，0）， B （0，4），从点 P （2， 0）射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反 射后又回到点 P ，则光线所经过的路程是（　　） B. 6 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由题意知， AB 所在直线的方程为 x ＋ y －4＝0.如图，点 P 关于直线 AB 的对称点为 D （4， 2），关于 y 轴的对称点为 C （－2，0），连接 MD ， NC ，易知｜ PM ｜＝｜ MD ｜，｜ PN ｜ ＝｜ NC ｜，所以｜ PM ｜＋｜ MN ｜＋｜ NP ｜ ＝｜ MD ｜＋｜ MN ｜＋｜ NC ｜＝｜ CD ｜，故光 线所经过的路程为｜ CD ｜＝2 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 利用对称解决光线反射问题的方法 （1）根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直 线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法 线对称的.利用点的对称关系可以求解； （2）在解决这类问题时，要充分探索出题目的内涵及图形的几何特 征，用光学的知识去求解，往往使问题的求解变得更简便. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $