1.1.5 两条直线的交点坐标(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.5 两条直线的交点坐标 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 两条直线的交点 探究点二 求过两条直线交点的直线方程 探究点三 与交点有关的证明问题 3 【学习目标】 能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 4 知识点 两条直线的交点 1.一般地，对于两条不重合的直线 ， ，我们可以用直线的斜率（斜率存在时）或法向量先定 性判断两条直线是否相交，若相交，则依据直线方程的概念可知，两条直线 , 交点的坐标就是__________________，因此，可通过求解方程组 得到两条直线, 的交点坐标. 两个方程的公共解 2.直线系方程 已知直线与相交于点,则过点 的 直线（除外）方程可写为 . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( ) × （2）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的 解.( ) √ （3）若直线与直线的交点坐标为 ，则 .( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 两条直线的交点 例1 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标. （1）和 ； 解：方法一：解方程组得 因此直线和相交，交点坐标为 . 方法二：，，， 直线与 相交. 由得故与的交点坐标为 . 课 中 探 究 7 （2）和 ； 解：方法一：方程组有无数组解，因此直线和 重合. 方法二：由，知直线与 重合. 课 中 探 究 8 解：方法一：方程组 无解， 因此直线和没有公共点，故 . 方法二：的方程为，由知 . （3）和 . 课 中 探 究 9 变式（1） 若直线与直线 的交点在第一象限， 则实数 的取值范围为( ) C A. B. C. D. [解析] 当时，方程，即 ，两条直线平行， 不合题意，. 由解得 交点在第一象限，且，或 .故选C. 课 中 探 究 10 （2）若三条直线，， 相交于一点， 则 ____. [解析] 解方程组得 又点也在直线 上，， . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程，解方程组，若有且仅有一组解，则两直线相交. 方法二：两直线的斜率都存在且斜率不相等. 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在. 课 中 探 究 12 拓展 （多选题）若直线，， 不能 构成三角形，则 的取值可能为( ) ABD A. B. C. D. 课 中 探 究 13 [解析] 因为直线,, 不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，当 时不满足题意，则， 可得直线,,的斜率分别为，， . 当时，可得，即，解得； 当 时，可得，即，解得； 当过与的交点时,由 解得则与的交点坐标为， 代入的方程，得 ，解得. 综上可知或或．故选 . 课 中 探 究 14 探究点二 求过两条直线交点的直线方程 例2（1） 求经过两直线和 的交点且过 坐标原点的直线 的方程. 解：方法一:由方程组解得 即与的交点坐标为 直线过坐标原点及点， 直线 的斜率， 故直线的方程为，即 . 方法二:不过原点， 可设 的方程为， 即 . 将原点坐标代入上式,得, 直线的方程为 ,即 . 课 中 探 究 15 （2）求经过直线和的交点 且与直线 垂直的直线 的方程. 解： 方法一:由方程组得即 ， 的斜率为，， 直线的方程为，即 . 方法二: 直线过直线和的交点，且易知与不垂直，即与不重合， 可设直线的方程为 ， 即 与垂直， ，， 直线的方程为，即 . 课 中 探 究 16 变式1 [2024·新疆和田高二期中] 已知直线 与直线 相交于点 . 解：由解得即 . （1）求过点且平行于直线的直线 的方程； 因为直线的斜率为，直线与直线 平行， 所以直线的斜率为，又直线过点 ， 所以直线的方程为，即 . 课 中 探 究 17 （2）求过点且垂直于直线的直线 的方程. 解： 因为直线的斜率为,直线与直线 垂直, 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线 的方程为，即 . 课 中 探 究 18 变式2 已知在中，，边上的中线 所在直线的方程为 ，边上的中线所在直线的方程为 ，求直线 的方程. 解：设，则边的中点的坐标为， . 由题意可得 即解得即 . 同理可求得点的坐标为 . 故直线的方程为，即 . 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件 写出直线方程,也可借助直线系方程,利用待定系数法求出直线方程.常用的直线 系方程如下:与直线 平行的直线系方程是 且;与直线 垂直的直线系方程是 ；若两直线 ， 有交点，则过与 交点的直线系方程为 为待定常数，直线系方程中不包括 直线的方程 . 课 中 探 究 20 探究点三 与交点有关的证明问题 例3 已知,,是的三个顶点，求证： 的三条高 所在直线相交于一点. 课 中 探 究 21 证明：由题意可知，， 则边上的高所在直线 的方程为； ，则边上的高所在直线 的方程为； ，则边上的高所在直线的方程为 . 由得则与的交点为 ， 又因为，所以点也在边上的高所在直线 上， 所以 的三条高所在直线相交于一点. 课 中 探 究 22 变式 已知直线的方程为，求证：无论 为何值，直 线 总经过第一象限. 证明：将直线的方程整理为 . 由得 所以直线与直线 的交点为 ， 即直线恒过点， 又 在第一象限，所以无论为何值，直线 总经过第一象限. 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 证明平面几何中的三条直线交于一点的基本思路：先求其中两条直线的交点坐 标，然后证明这一点在第三条直线上. 课 中 探 究 24 $