1.1.3 第2课时 直线方程的两点式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.3 直线的方程 第2课时 直线方程的两点式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线方程的两点式 探究点二 直线方程的截距式 探究点三 两点式、截距式的应用 3 【学习目标】 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式. 2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的截距式. 4 知识点一 直线方程的两点式 已知直线上的两点，（其中，），点 为 直线上其他的任意一点.对于倾斜角不为 的直线，由直线上任意两点算出的斜 率是一个恒定的常数，因此 ，即_____________，这个方程称为直 线方程的两点式. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知直线过两点， ，则直线方程的两点式一定存在. ( ) × （2）能用两点式表示的直线也可用点斜式表示.( ) √ 课 前 预 习 5 知识点二 直线方程的截距式 若直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中， ，则 由两点式可得直线的方程为 ，整理得__________.通常，称方程 （其中）为直线方程的截距式.其中，为直线与 轴交点的横坐 标（即直线在轴上的截距），为直线与轴交点的纵坐标（即直线在 轴上的 截距）. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）不经过原点的直线都可以用方程 表示.( ) × （2）能用截距式表示的直线都能用两点式表示.( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 直线方程的两点式 例1 已知的三个顶点分别为，， . （1）求 边所在直线的方程； 解：边所在直线过两点， ， 由直线方程的两点式，得其方程为，即， 故边所在直线的方程为 . 课 中 探 究 7 （2）求 边上的中线所在直线的方程. 解：设边的中点为，则， ， 所以. 又边上的中线所在直线过点 ， 所以由两点式得其方程为，即， 所以 边上的中线所在直线的方程为 . 课 中 探 究 8 变式 已知直线经过，两点，点在直线上，则 的值 为( ) C A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 [解析] 因为直线经过，两点，所以直线的方程为 ， 即. 因为点在直线上，所以，解得 ，故选C. 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 1.由两点式求直线方程的步骤 （1）设出直线所经过点的坐标. （2）根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标. （3）由直线方程的两点式写出直线方程. 2.当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式的 适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程. 课 中 探 究 10 探究点二 直线方程的截距式 例2 求经过点 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程. 解：①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为 ， 即 . ②当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为 ， 将代入方程，得，解得，所以直线方程为 ， 即 . 课 中 探 究 11 ③当直线不经过原点且在两坐标轴上的截距互为相反数时， 设直线方程为，将代入方程，得，解得 ， 所以直线方程为，即. 综上所述，直线方程为 或或 . 课 中 探 究 12 变式（1） 已知过点的直线在轴上的截距是其在 轴上截距的3倍， 则满足条件的直线 的方程为__________________. 或 [解析] 若过点的直线在坐标轴上的截距均为0，显然满足题意， 则直线 的方程为. 若直线在坐标轴上的截距均不为0，则设满足题意的直线 的方程为， 将的坐标代入，得，即的方程为. 故直线 的方程为或 . 课 中 探 究 13 （2）（多选题）若直线在轴和轴上的截距相等，则实数 的值可以为( ) BD A. B.1 C. D.3 [解析] 依题意，，则直线方程中，令，得 ， 令，得，所以直线在轴和轴上的截距分别为和 ， 因此，解得或.故选 . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 用直线方程的截距式解决问题的优点及注意事项 （1）优点：①由截距式可直接确定直线与轴和 轴的交点的坐标，因此根据截 距式画直线比较方便. ②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，使用 截距式更简便. （2）注意事项：当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点 时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题时要注意分 类讨论. 课 中 探 究 15 探究点三 两点式、截距式的应用 例3（1） 某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一 定重量的行李，若超过规定，则需要购买行李票，行 李票费用（元）与行李重量 的关系如图所示， 则旅客最多可免费携带行李的重量为( ) C A. B. C. D. [解析] 由题图知点，，所以由直线方程的两点式， 得直线 的方程是，即. 依题意，令，得 ，即旅客最多可免费携带行李的重量为 . 故选C. 课 中 探 究 16 （2）已知直线过点，直线分别与轴的正半轴、 轴的正半轴交于点 ，，为原点.若的面积为，求直线 的方程. 解：设直线的方程为 ， 由题意可得解得 所以直线的方程为，即 . 课 中 探 究 17 变式 入射光线从点出发，经轴反射后，通过点 ，则入射光线所 在直线的方程为_____________. [解析] 利用反射定理可得入射光线所在直线经过点， ， 所以所求直线的方程为，即 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ （1）若已知两点坐标，则一般选用直线方程的两点式，若已知两点是直线与坐 标轴的交点，则用直线方程的截距式.（2）不论选用哪种形式的直线方程，都 要注意所选形式的方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 课 中 探 究 19 $