1.1.3 第二课时 直线方程的两点式、一般式与点法式 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线方程的两点式、截距式、一般式与点法式，通过斜拉桥情境导入，提出斜拉索方程表示等问题，衔接已学直线知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，如斜拉桥问题引导发现数量关系，典型例题配通性通法总结发展数学思维，自我诊断与跟踪训练强化数学语言表达。学生能提升解题能力，教师可高效开展教学。

第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线 为 x 轴，桥塔所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成 过桥塔上一点与桥面上一点的直线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）能否用直线上两个已知点的坐标来表示直线的方程？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【问题】　（1）怎样表示斜拉索所在的直线方程呢？ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　直线方程的两点式与截距式 两点式 截距式 条件 P1（ x1， y1）和 P2（ x2， y2），其中 x1≠ x2， y1≠ y2 在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的 截距为 b ，其中 ab ≠0 图形 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 两点式 截距式 方程 适用范 围 不表示 ⁠坐标轴 的直线 不表示 ⁠坐标轴的直线 及过 ⁠的直线 垂直于　 垂直于　 原点　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　直线方程的一般式与*点法式 1. 直线方程的一般式 （1）定义：关于 x ， y 的二元一次方程 ⁠ （其中 A ， B 不全为0）表示的是一条直线，称它为直线方 程的一般式； （2）系数的几何意义：当 B ≠0时，则－ ＝ k （斜率），－ ＝ b （ y 轴上的截距）； 当 B ＝0，且 A ≠0时，则－ ＝ a （ x 轴上的截距），此时不存 在斜率. Ax ＋ By ＋ C ＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线方程的*点法式 （1）直线的法向量：与直线的方向向量 ⁠的向量称为直线 的法向量； （2）设直线 l 经过点 P （ x0， y0），且它的一个法向量为 n ＝（ A ， B ），则直线 l 方程的点法式为 ⁠ ⁠. 垂直　 A （ x － x0）＋ B （ y － y0） ＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 每一个关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝0（其中 A ， B 不全为0）都能表示一条直线吗？ 提示：都能表示一条直线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示. （　√　） （2）直线 y ＝ x 在 x 轴和 y 轴上的截距均为0. （　√　） （3）方程 ＝ 和方程（ y － y1）（ x2－ x1）＝（ x － x1） （ y2－ y1）表示的图形相同. （　×　） √ √ × 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 如图，直线 l 的截距式方程是 ＋ ＝1，则（　　） A. a ＞0， b ＞0 B. a ＞0， b ＜0 C. a ＜0， b ＞0 D. a ＜0， b ＜0 解析：　 M （ a ，0）， N （0， b ），由题图知 M 在 x 轴正半轴 上， N 在 y 轴负半轴上，所以 a ＞0， b ＜0.故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 直线经过点 P （1，3），且一个法向量为 n ＝（2，1）的点法式方 程为 ，化为一般式为 ⁠. 解析：直线的点法式方程为2（ x －1）＋（ y －3）＝0，即2 x ＋ y － 5＝0. 2（ x －1）＋（ y －3）＝0　 2 x ＋ y －5＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 直线方程的两点式 【例1】　（1）已知三角形的三个顶点坐标分别是 A （－5，0）， B （3，－3）， C （0，2），求 AC 边所在直线的方程，以及该边上中 线所在直线的方程； 解：过点 A （－5，0）， C （0，2）的直线方程的两点式为 ＝ ，整理得2 x －5 y ＋10＝0，此为 AC 边所在直线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 设边 AC 的中点为 D （ x ， y ）， 则 所以点 D 的坐标为（－ ，1）. AC 边上的中线所在直线为 BD ，由直线方程的两点式得直线 BD 的方程为 ＝ ，整理得8 x ＋11 y ＋9＝0，此即 AC 边 上的中线所在直线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）求过点 A （2，1）和点 B （ a ，2）的直线方程. 解：①当 a ＝2时， A ， B 两点的横坐标均为2，直线 AB 垂 直于 x 轴，故所求直线的方程为 x ＝2，即 x －2＝0. ②当 a ≠2时，由直线方程的两点式可得 ＝ ， 整理得 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0（*）. 又当 a ＝2时，（*）式可化为 x －2＝0， 所以综合①②可知，所求直线方程为 x ＋（2－ a ） y ＋ a －4＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 求直线方程的两点式的策略及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否 满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若 满足，则考虑用两点式求方程； （2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或 数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须 注意坐标的对应关系. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 若直线 l 经过点 A （2，－1）， B （－2，－1），则直线 l 的方程 为 ⁠. 解析：由于点 A 与点 B 的纵坐标相等，所以直线 l 不满足两点式方程 的条件，故所求直线的方程为 y ＝－1. y ＝－1　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 若点 P （3， m ）在过点 A （2，－1）， B （－3，4）的直线上，则 m ＝ ⁠. 解析：由直线方程的两点式得 ＝ ，即 ＝ .∴直线 AB 的方程为 y ＋1＝－ x ＋2，∵点 P （3， m ）在直线 AB 上，则 m ＋1＝－3＋2，得 m ＝－2. －2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 直线方程的截距式 【例2】　求经过点 A （5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程. 解：法一　①当直线 l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为 y ＝ x ，即 2 x －5 y ＝0； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ②当直线 l 在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为 ＋ ＝1， 即 x － y ＝ a ， 又∵ l 经过点 A （5，2）， ∴5－2＝ a ， a ＝3， ∴ l 的方程为 x － y －3＝0， 综上所述，直线 l 的方程是2 x －5 y ＝0或 x － y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 法二　由题意知直线的斜率一定存在. 设直线方程的点斜式为 y －2＝ k （ x －5）， x ＝0时， y ＝2－5 k ， y ＝0时， x ＝5－ . 根据题意得2－5 k ＝－ ，解得 k ＝ 或1. 当 k ＝ 时，直线方程为 y －2＝ （ x －5）， 即2 x －5 y ＝0； 当 k ＝1时，直线方程为 y －2＝1×（ x －5）， 即 x － y －3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【母题探究】 （变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为 “在 x 轴上的截距是 y 轴上截距的2倍”，其它条件不变，如何求解？ 解：①当直线 l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为 y ＝ x ，即2 x － 5 y ＝0，符合题意； ②当直线 l 在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为 ＋ ＝1， 又∵ l 经过点（5，2），∴ ＋ ＝1，解得 a ＝ . ∴ l 的方程为 x ＋2 y －9＝0. 综上所述，直线 l 的方程为2 x －5 y ＝0或 x ＋2 y －9＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 直线方程的截距式的求法及注意点 （1）由已知条件确定横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距 不为零，则代入公式 ＋ ＝1，可得所求的直线方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互 为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少 倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的 情况. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 直线 － ＝1在两坐标轴上的截距之和为（　　） A. 1 B. －1 C. 7 D. －7 解析：　直线在 x 轴上截距为3，在 y 轴上截距为－4，因此截距之 和为－1. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 经过点（－2，2）且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线 l 的 方程为 ⁠. 解析：由题意知，直线 l 在两坐标轴上的截距存在且不为零，故可 设所求直线 l 的方程为 ＋ ＝1，由已知可得解得 或所以 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，故直线 l 的方程 为2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y －2＝0. 2 x ＋ y ＋2＝0或 x ＋2 y －2＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 直线方程的一般式 【例3】　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是 且经过点 A （5，3）； 解：由点斜式方程得 y －3＝ （ x －5）， 化成一般式，得 x － y ＋3－5 ＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）经过 A （－1，5）， B （2，－1）两点； 解：由两点式方程得 ＝ ， 化成一般式，得2 x ＋ y －3＝0. （3）在 x ， y 轴上的截距分别是－3，－1. 解：由截距式方程得 ＋ ＝1， 化成一般式，得 x ＋3 y ＋3＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 直线方程的一般式的求解策略 （1）当 A ≠0时，方程可化为 x ＋ y ＋ ＝0，只需求 ， 的值；当 B ≠0，方程可化为 x ＋ y ＋ ＝0，只需求 ， 的值.因此，只要 给出两个条件，就可以求出直线方程； （2）在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给 定条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知直线 l 的倾斜角为60°，在 y 轴上的截距为－4，则直线 l 方程的 点斜式为 　 y ＋4＝ （ x －0）　；截距式为 　 ＋ ＝1　；斜截式 为 　 y ＝ x －4　；一般式为 　 x － y －4＝0　. 解析：点斜式方程： y ＋4＝ （ x －0），截距式方程： ＋ ＝1，斜截式方程： y ＝ x －4，一般式方程： x － y －4＝0. y ＋4＝ （ x －0）　 ＋ ＝1　 y ＝ x －4　 x － y －4＝0　 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 直线（ m ＋2） x ＋（ m2－2 m －3） y ＝2 m 在 x 轴上的截距为3，则 实数 m 的值为 ⁠ 解析：令 y ＝0，则直线在 x 轴上的截距是 x ＝ ，∴ ＝3， ∴ m ＝－6. －6　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型四 直线方程的*点法式 【例4】　用直线方程的点法式求经过点 A （－3，4）， B （5，－1） 的直线的方程为 ⁠. 5 x ＋8 y －17＝0　 解析：因为直线经过点 A （－3，4）， B （5，－1），所以直线 AB 的 斜率为 ＝－ ，所以直线 AB 的一个方向向量为 m ＝（8，－ 5），所以直线 AB 的一个法向量为 n ＝（5，8），所以直线的点法式 方程为5（ x ＋3）＋8（ y －4）＝0，即5 x ＋8 y －17＝0. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　要求直线方程的点法式，求出直线的法向量是解题的关键. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 　过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为 ⁠ ⁠. 解析：过点（1，2），且法向量为（3，－4）的直线方程的点法式为 3（ x －1）－4（ y －2）＝0. 3 （ x －1）－4（ y －2）＝0　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 过 P1（2，0）， P2（0，3）两点的直线方程是（　　） 解析：　由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 经过 M （3，2）与 N （6，2）两点的直线方程为（　　） A. x ＝2 B. y ＝2 C. x ＝3 D. x ＝6 解析：　由 M ， N 两点的坐标可知，直线 MN 与 x 轴平行，所以直 线方程为 y ＝2，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. （多选）如果 AB ＜0， BC ＜0，那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0经过 （　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0在 x 轴上的截距 为－ ＝－ ＜0，在 y 轴上的截距为－ ＞0，如 图所示，由图象可知，直线 Ax ＋ By ＋ C ＝0经过第 一、二、三象限.故选A、B、C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 直线 l 过点 A （3，－1），且 l 的一个法向量 n ＝（3，2），则直线 l 的点法式方程为 ⁠. 解析：直线 l 过点 A （3，－1），且 l 的一个法向量 n ＝（3，2）， 则直线 l 的点法式方程为3×（ x －3）＋2×（ y ＋1）＝0.   解析：直线在两坐标轴上的截距分别为 与 ，所以直线与两坐标 轴围成的三角形面积为 . 3（ x －3）＋2（ y ＋1）＝0　 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $