第一章 1.1～1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦直线的倾斜角、斜率与方向向量的关系这一核心知识点，前承上节课倾斜角和斜率的基本概念，通过问题链构建三者内在联系，明确倾斜角与斜率的正切关系及方向向量坐标与斜率的转化，形成系统的知识支架。 资料以问题驱动探究，结合数形结合方法（如例1用图形分析斜率范围）和变式训练，培养学生几何直观的数学眼光、推理运算的数学思维及模型表达的数学语言。课中助教师引导学生深度理解，课后练习题覆盖不同题型，帮助学生查漏补缺。

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 [学习目标]　1.理解直线的倾斜角与斜率的关系.2.了解直线的方向向量.3.会应用倾斜角与斜率的关系解决简单的综合问题． 导语 同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢！这是我们本节课要解决的内容． 一、倾斜角、斜率的范围 问题1　直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是多少？ 提示　k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π)． 问题2　如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示　过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α. 问题3　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示　如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 知识梳理 1．直线的斜率k与倾斜角α满足k＝tan α. 2．斜率k与倾斜角α有如下关系： 当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； 当α∈时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大． 当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 例1　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． 解　如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. 延伸探究　 1．本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 2．本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”．求直线l的斜率k的取值范围． 解　由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为－1<k<1. 反思感悟　解决取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化． 二、直线的斜率与方向向量的关系 问题4　什么是直线的方向向量？ 提示　直线上的向量及与之平行的非零向量． 问题5　已知直线l上两点A(1,2)，B(－1,3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1,2)，B(1,3)呢？ 提示　＝(－1－1,3－2)＝(－2,1)． ＝(1－1,3－2)＝(0,1)． 知识梳理 1．在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)． 2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝. 注意点： (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a＝(0,1)； (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角)． 例2　(1)已知直线l的一个方向向量为(5,8)，且该直线过点(1,2)，则直线l过点(　　) A．(6,10) B．(4,8) C．(2,4) D. 答案　A 解析　因为直线l的一个方向向量为(5,8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立． (2)经过A(0,2)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1，k)，则k的值为______________． 答案　2 解析　∵直线的方向向量为(1，k)，则k为直线的斜率， ∴k＝＝2，∴k的值为2. 反思感悟　若直线l的一个方向向量为a＝(u，v)， 则当u＝0时，直线l的斜率不存在； 当u≠0时，k＝. 跟踪训练1　已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量． 解　设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 则＝－.① ∵|b|＝1， ∴x2＋y2＝1.② 由①②得或 ∴b＝或b＝. 三、斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 例3　已知直线l1的方向向量为n＝(2,1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍． (1)求直线l2的斜率； (2)若直线l2经过点A(－1,2)，B(2，m)，点P(x，y)是线段AB上一点，求的取值范围． 解　(1)设直线l1的倾斜角为α， 则直线l2的倾斜角为2α. ∵直线l1的方向向量为n＝(2,1)， ∴直线l1的斜率为tan α＝， ∴直线l2的斜率为tan 2α＝＝. (2)由(1)知l2的斜率为， ∴＝，得m＝6. 表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率， kQA＝＝－3， kQB＝＝， ∴kPQ≤－3或kPQ≥. 故的取值范围是(－∞，－3]∪. 反思感悟　(1)直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系为k＝＝tan α(其中x1≠x2)． (2)求代数式最值或范围的方法 由斜率公式k＝的形式，可知代数式的几何意义是过P(x，y)与P′(a，b)两点的直线的斜率，故可以利用数形结合来求解． 跟踪训练2　若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 答案　(－2,1) 解析　∵过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角α为钝角， ∴直线的斜率小于0，∴<0， ∴(a－1)(a＋2)<0，解得－2<a<1， 故实数a的取值范围是(－2,1)． 1．知识清单： (1)直线的倾斜角与斜率的关系． (2)直线的方向向量． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误． 1．一条直线过点A(－1,0)和B(2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° 答案　B 解析　设直线AB的倾斜角为α，则tan α＝＝1，∵0°≤α<180°，∴α＝45°. 2．(多选)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为(　　) A．(0,1) B．(－1,0) C．(3,0) D．(0，－3) 答案　CD 解析　若设点P的坐标为P(x,0)， 则k＝＝tan 45°＝1， ∴x＝3，即P(3,0)． 若设点P的坐标为P(0，y)， 则k＝＝tan 45°＝1， ∴y＝－3，即P(0，－3)． 3．过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为(　　) A．2 B．－2 C．－5 D．5 答案　B 解析　由题意得＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝(1，－1)，∴－3－y＝－1，∴y＝－2. 4．已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是________________． 答案　{k|k≤－1或k≥1} 解析　当倾斜角α＝时，l的斜率不存在； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)； 当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]． 　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α与β，斜率分别是k1与k2，则下列四个结论中正确的是(　　) A．若α<β，则k1<k2 B．若α＝π－β，则k1＝k2 C．若k1<k2，则α<β D．若k1＝k2，则α＝β 答案　D 解析　当α∈，β∈时，k1>k2，所以A不正确；当α＝π－β时，k1＝－k2，所以B不正确；当k1<0<k2时，α>β，所以C不正确；当k1＝k2时，α＝β，所以D正确． 2．过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，则y等于(　　) A．1 B．5 C．－1 D．－5 答案　D 解析　因为过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的倾斜角是135°，所以＝tan 135°＝－1，解得y＝－5. 3．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为(　　) A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150° 答案　C 解析　设直线l的倾斜角为α， 则|tan α|＝，即tan α＝或tan α＝－， ∴α＝60°或120°. 4．下列可作为斜率k＝－的直线的方向向量的是(　　) A．(2,3) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 答案　D 解析　斜率k＝－的直线的方向向量a＝，所以与a共线的非零向量都可以作为该直线的方向向量．经验证D中向量与共线． 5.若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有(　　) A．k1<k2<k3 B．k2<k3<k1 C．k1<k3<k2 D．k2<k1<k3 答案　C 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，由题图可知，α3<α2<90°<α1，故相应斜率的关系为k1<0<k3<k2. 6．在y轴上有一点M，它与点(－，1)连成的直线的倾斜角为60°，则点M的坐标为(　　) A．(0,4) B．(0,2) C．(2,0) D．(1,0) 答案　A 解析　设M(0，a)，由题意得＝tan 60°， 得a＝4，∴M(0,4)． 7．(5分)设直线l的斜率为k，且－1<k≤，则直线l的倾斜角α的取值范围是________． 答案　∪ 解析　因为直线l的倾斜角为α，则α∈[0，π)， 由－1<k≤，得－1<tan α≤， 所以α∈∪. 8．(5分)一个方向向量为(，2)的直线过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝____________. 答案　1 解析　由题意得k＝＝2， 则2＝＝，∴a＝4，b＝－3， ∴a＋b＝1. 9．(10分)已知坐标平面内M(m＋3,2m＋5)，N(2m－1,1)两点． (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角θ为锐角？(5分) (2)若直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)，求m的值．(5分) 解　(1)若直线MN的倾斜角θ为锐角， 则k＝tan θ>0， 又k＝＝>0， 即(m＋2)(m－4)<0，解得－2<m<4. (2)直线MN的方向向量为a＝(0，－2 024)， ∴直线MN的斜率不存在． 故直线MN垂直于x轴． ∴m＋3＝2m－1，即m＝4. 10．(12分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围． 解　如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是{α|45°≤α≤150°}． 11．(多选)以下四个命题错误的是(　　) A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应 C．坐标平面上的所有直线都有倾斜角 D．坐标平面上的所有直线都有斜率 答案　BD 解析　任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，当倾斜角为90°时，斜率不存在． 12．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为(　　) A．0 B．1 C. D．2 答案　D 解析　由直线l过点(1,2)，且不过第四象限，作出图象，当直线位于如图所示的阴影区域(包含边界)内时满足条件， 由图可知，当直线过A(1,2)，O(0，0)时，直线的斜率取最大值kmax＝2，∴直线l的斜率的最大值为2. 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过点A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a等于(　　) A. B. C．1 D. 答案　B 解析　设直线AB的倾斜角为α，则直线AC的倾斜角为2α.由题可知tan α＝kAB＝，所以α≠45°，2α≠90°，所以tan 2α＝kAC＝.又tan 2α＝，因此＝，解得a＝. 14．(5分)若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是______． 答案　 解析　根据已知条件，可知点P(x，y)是以点A，B，C为顶点的△ABC内部一动点(不包含边界)，的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知得kAM＝，kBM＝1，kCM＝. 利用图象(图略)， 可得的取值范围是. 15．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则，，的大小关系是(　　) A.>> B.>> C.>> D.>> 答案　B 解析　因为表示经过点O(0,0)和点A(x，f(x))的直线的斜率，所以，，的几何意义可以表示为3个斜率，作函数f(x)＝log2(x＋1)的图象，如图所示． 因为a>b>c>0，在函数图象上找到对应点(a，f(a))，(b，f(b))，(c，f(c))，将这三点与坐标原点O相连，如图所示，可得>>. 16．(12分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值与最小值． 解　如图所示，由＝的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB. 由已知可得A(1,1)，B(－1,5)， ∴kPA＝＝，kPB＝＝8， ∴≤k≤8. 故(－1≤x≤1)的最大值为8，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $