第1章 1.1 1.2 第2课时 直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线斜率与倾斜角的关系及方向向量，课堂导入承接上节课倾斜角和斜率的概念，通过“两者是否有联系”的问题引导学生思考，搭建知识关联的学习支架。 其亮点在于以“思考-知识梳理-例题-跟踪训练”为主线，通过正切函数图象观察倾斜角与斜率变化（数学眼光），结合实例推理斜率范围（数学思维），用坐标精确表达方向向量（数学语言）。采用问题驱动和变式训练，帮助学生深化概念理解，教师可直接用于课堂教学提升效率。

第2课时　直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 新课导入 学习目标 　　同学们，通过上节课的学习，我们知道，直线的倾斜角和斜率从不同的角度刻画了直线的方向以及倾斜程度，它们之间是否具有某种联系呢？这是我们本节课要解决的内容． 1.了解直线的斜率与倾斜角的关系．　2.了解直线的方向向量．　3.能理解直线斜率与倾斜程度的关系，能利用斜率的计算公式解决相关的问题． 返回导航 内 容 索 引 新知学习 探究 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　直线的斜率与倾斜角的关系 思考　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 返回导航 k＝tan α 增大 增大 不存在 返回导航 A 返回导航 (2)若经过点A(1－t，1＋t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角α不是锐角，则实数t的取值范围是____________． [－2，1] 返回导航 感悟提升 返回导航 [跟踪训练1] (1)(2026·保定期中)如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项中正确的是(　　) A．k4<k3<k2<k1 B．k3<k4<k2<k1 C．k3<k4<k1<k2 D．k4<k3<k1<k2 C 返回导航 (2)将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率为1，则直线MN的倾斜角是(　　) A．105° B．165° C．15°或75° D．105°或165° D 解析：因为直线M′N′的斜率为1，所以直线M′N′的倾斜角是45°.若将直线M′N′绕原点逆时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是45°＋60°＝105°，若将直线M′N′绕原点顺时针旋转60°得到直线MN，则直线MN的倾斜角是(45°－60°)＋180°＝165°.故选D． 返回导航 知识点二　直线的方向向量 思考　你是如何理解直线的方向向量的？ 提示：直线的方向向量可以理解为任取直线上不同的两点分别为起点和终点的向量及与之平行的非零向量． 返回导航 2．若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝____． (x2－x1，y2－y1) tan α 返回导航 A 返回导航 返回导航 A 返回导航 返回导航 4．若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的倾斜角为135°，则m＝______，该直线的一个方向向量μ＝_______________________． 2 (1，－1)(答案不唯一) 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 母题探究1　本例条件不变，求直线l的倾斜角α的取值范围． 返回导航 母题探究2　将本例点P(0，－2)变为点Q(5，3)，那么过点Q的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率的取值范围． 返回导航 感悟提升 已知线段AB的端点及线段外一点P，求过点P且与线段AB有交点的直线l的斜率取值范围，若直线PA，PB的斜率均存在，则解题步骤如下： (1)连接PA，PB； (2)由斜率公式求出kPA，kPB； (3)结合图形即可得出满足条件的直线l的斜率的取值范围． 返回导航 [跟踪训练2] (2026·驻马店期中)已知直线l经过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(3，－2)为端点的线段AB没有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为 __________． 返回导航 应用点　斜率与倾斜角、方向向量的综合应用 [例3] 已知直线l1的一个方向向量为n＝(2，1)，直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍． (1)求直线l2的斜率； 返回导航 返回导航 感悟提升 返回导航 返回导航 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 30 D 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2)求直线l的倾斜角θ的取值范围． 返回导航 课堂小结 1．已学习：直线的方向向量、直线斜率与倾斜角的关系． 2．须贯通：能对直线的倾斜角与斜率之间的关系进行相互转化，体现了转化化归的数学思想． 3．应注意：对直线斜率和倾斜角的关系理解到位，结合图形处理问题． 返回导航 [0，) (，π) － 解析：kPA＝＝1，kPB＝＝－1， 则可得直线PA，PB的倾斜角分别为，， 由图知，要使直线l与线段AB没有公共点， 需使直线l的倾斜角θ满足<θ<， 即直线l的倾斜角的取值范围为(，). 【解】　由(1)知l2的斜率为，所以＝，解得m＝6.表示过点P(x，y)和点Q(0，－1)的直线的斜率，kQA＝＝－3，kQB＝＝，所以kPQ≤－3或kPQ≥.故的取值范围是(－∞，－3]∪. [，1] 再结合图象：利用正切函数在锐角范围内是单调递增， 可知k∈[，1].综上，的取值范围是[，1]. $