专题01 幂与指数比大小（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题01 幂与指数比大小 题型一：概念辨析题 题型二：指数函数比大小 题型三：幂指数综合比大小 题型四：综合拓展题 题型一：概念辨析题 1．已知x，y为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性及充要条件的概念得解. 【详解】因为为上单调递增函数， 所以当时，，当时，， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，当时，单调递减，则；对于B，当时，单调递增，则；对于C，由题意可得，则；对于D，由题意可得，则． 【详解】对于A，当时，单调递减， ，，故A不一定成立，不符合题意； 对于B，当时，单调递增， ，，故B不一定成立，不符合题意； 对于C， ，， 又，，， ，故C错误； 对于D，，，， ，故D正确． 故选：D． 3．已知，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质以及指数函数的单调性分别判断各选项即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为在上是单调递增函数，由，可得，故B正确； 对于C，取，满足，此时,故C不正确； 对于D，取，,，此时，故D不正确； 故选：AB 4．已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 5．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用指数函数的单调性可判断选项A和B，利用幂函数的单调性可判断选项C和D． 【详解】选项A：因为在R上是减函数，且，所以，故A正确； 选项B： 因为在R上是增函数，且，所以，故B正确； 选项C：因为在上是减函数，且，所以，故C错误； 选项D：因为在R上是增函数，且，所以，故D正确． 故选：ABD 6．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质判断A，D，利用指数函数的性质判断B，C即可. 【详解】对于A，因为函数在上单调递减， 且，所以，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减， 且，所以，故B错误； 对于C，因为函数在上单调递增， 且，所以，故错误； 对于D，因为函数在上单调递增， 且，所以，故D正确． 故选：D． 7．已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数及指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】，，. 令，因为，所以在上单调递增， 所以，即. 令，底数，所以在上单调递增. 因为，所以，即. 综上，. 故选：A. 8．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性和指数函数单调性，比较函数值的大小，求出结果. 【详解】因为在上单调递减，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 所以. 故选：B. 9．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合对应幂函数的单调性判断大小关系. 【详解】由，且在上单调递增， 所以，即. 故选：D 题型二：指数函数比大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 所以函数是减函数， 所以， 同理函数是增函数，所以. 综上：. 故选：B 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，在上单调递减， 所以， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得． 故选：B 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以函数是减函数， 又，所以，即. 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可. 【详解】因为， 所以函数在上是减函数， 所以， 同理，函数在上是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 7．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性求解. 【详解】为上的增函数，， ，， ，，，. 故选：C. 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性，借助媒介数“1”比较大小即得. 【详解】由，得函数分别是上的减函数和增函数， 所以. 故选：B 题型三：幂指数综合比大小 1．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数、的单调性比较大小即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选：D 2设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】要比较的大小，先将它们转化为同底数幂，再根据指数函数的单调性判断大小. 【详解】将统一底数为，则： ， ， 因为指数函数在上为单调递增，又因为， 所以：，即. 故选： D. 3．已知，，，则，，的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性 可判断，的取值范围，根据对数函数的单调性，可判断的取值范围，最终得出正确选项. 【详解】令，因为，所以单调递增，，所以； 令，因为，所以单调递减，，所以； 令，因为，所以单调递增，，所以； 综上所述：，，，所以； 故选：C. 4．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性确定正确答案. 【详解】， 函数在上单调递增， 所以，即. 函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 故选：A 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中间值和指数函数的图像求解. 【详解】，， ，， 故选：A. 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性和中间值比较大小. 【详解】，，故. 故选：A 7．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三个数化为同底，再结合指数函数的单调性求解. 【详解】，，， 因为在上单调递增，则. 故选：A 8．设，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性逐一比较各幂的值即可. 【详解】因函数是单调增函数，故，即， 又函数是减函数，则， 函数在上是增函数，则，即， 综上，可得. 故选：C. 9．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，， 因此. 故选：C 题型四：综合拓展题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性及中间值法比较大小即可. 【详解】因为，函数在上是减函数， 所以， 同理，函数在上是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B. 2．在中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂指数运算，计算出相关式子的值，再比较即可． 【详解】因为， 又， 所以最大的数是. 故选：A． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式变形，作出函数图像，利用数形结合的思想判定交点即可. 【详解】由得， 画出的图像如下图所示， 则是与图像交点的横坐标，是与图像交点的横坐标， 是与图像交点的横坐标，由图可知. 故选：D. 4．已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求得；根据指数函数单调性和临界值可确定，由此可得大小关系. 【详解】，（当且仅当时取等号）； ，，. 故选：B. 5．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性，求得和，再结合指数幂的运算公式，求得，即可得到答案. 【详解】由指数函数在上单调递减，可得， 又由幂函数在上单调递增，可得，所以，即， 因为且，可得，即， 又因为且，可得，即， 所以. 故选：A. 6．已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将指数化为相同的指数，再根据幂函数的单调性即可得解. 【详解】根据题意，，，， 又由，则有，即． 故选：B． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性可得，由对数运算可得，进而可得结论. 【详解】因为，又在上单调递增， 又，所以， 又，可得. 故选：D. 8．若，记，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别代入求值表示，对于，结合根式以及二次函数求出取值范围，最后借助指数函数单调性比较大小. 【详解】因为，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 当时，在上单调递减，， 所以， 故选：A. 9．若，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】,由幂函数单调性可知，即， 由指数函数的单调性可知. 所以. 故选：B 10．，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用指数函数及幂函数的单调性计算求解. 【详解】因为为增函数，所以， 又因为为增函数，且，所以， 又因为为减函数，所以， 则. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂与指数比大小 题型一：概念辨析题 题型二：指数函数比大小 题型三：幂指数综合比大小 题型四：综合拓展题 题型一：概念辨析题 1．已知x，y为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 5．下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 8．设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 9．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型二：指数函数比大小 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型三：幂指数综合比大小 1．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小为（   ） A． B． C． D． 4．设，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．设，，，，则，，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型四：综合拓展题 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则的大小关系（   ） A． B． C． D． 5．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 6．已知则（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若，记，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．若，，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 10．，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $