专题11 指数函数的性质及其应用（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题11：指数函数的性质及其应用 目录： 类型一：指数型函数图像 类型二：根据函数图像求参数取值范围 类型三：指数型函数的定义域 类型四：指数型函数的值域 类型五：根据值域求参数取值范围 类型六：指数函数比较大小 类型七：解指数型函数不等式 类型八：根据单调性求参数取值范围 类型九：指数函数有关的奇偶性 类型十：指数函数有关的对称性 类型十一：指数有关的恒成立和存在性问题 类型十二：指数函数有关的抽象函数 类型十三：指数函数的综合应用 压轴专练 类型一、指数函数图像 对于有关指数型函数的图像问题，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势。 一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到； 函数图像的判断：一般先识别奇偶性，再根据特殊点来区分； ，表示偶函数，先画部分的图像，部分关于轴对称； 整体加绝对值，先画，把部分翻折到x轴上方。 例1.（多选）已知函数，实数，满足，则（    ） A． B．，，使得 C． D． 变式1-1 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 变式1-2. 函数的大致图象为（    ） A． B．C． D． 变式1-3. 函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 类型二、根据图像求参数取值范围 根据图像求参数取值范围的题目：找临界点 不经过第几象限的题型：先判断图像大概趋势，然后判断f与0的关系即可 例2.(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.－1<b<0 D.b<－1 变式2-1. 若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 变式2-2 已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 变式2-3 已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 类型三、指数型函数的定义域 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ④对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； 根据定义去求参数取值范围：一般是分离参数 例3.函数的定义域为______________． 变式3-1 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3-2 若函数f(x)＝的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.[－1,0] B.[－] C.(0] D.R 变式3-3定义区间（）的长度为．已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A． B．1 C． D．2 类型四、指数函数的值域 解决步骤 第一步:求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数； 第二步:由自变量的范围求内层函数的值域； 第三步:由内层函数的值域求外层函数的值域。 例4 （多选）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 变式4-1 对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 变式4-2 函数的值域为（ ） A．（0，＋∞） B．（－∞，1） C．（1，＋∞） D．（0，1） 变式4-3 若函数，则函数的值域是 . 类型五、根据值域求参数取值范围 求参数取值范围的通法：数形结合和分离参数 例5 （2024·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 变式5-1 若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-2（2024·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 变式5-3（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 类型六、指数函数比较大小 比较指数幂的大小 常用方法有: 1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断; 2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断; 3.对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较 例6 已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 变式6-1（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式6-2 已知，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3 (2024·绍兴模拟)已知实数a,b,c满足a＝be＝则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 类型七、解指数型函数不等式 指数不等式的解法 1.形如不等式,可借助 2.形如不等式,可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助 3.形如不等式, 可借助 例7 函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1 已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 变式7-2“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-3 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型八、根据单调性求参数取值范围 1、 优先考虑定义域 2、 结合复合函数的单调性：同增异减 3、 对于分段函数，一定要考虑分界处 例8 已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________． 变式8-1已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 变式8-2 已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-3 (多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 类型九、和指数函数有关的奇偶性 和指数有关常见的奇函数和偶函数 奇函数： ①函数或函数； ②函数． ③（）为奇函数； 偶函数： 函数 例9 已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 变式9-1 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式9-2 已知函数，若存在a，b同时满足和，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-3（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 类型十、指数函数有关的对称性 在指数型函数奇偶性的基础上平移，找到相应的对称中心和对称轴 例10 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 变式10-1 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式10-2已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式10-3 已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 类型十一、指数函数有关的恒成立和存在性问题 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 例11（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 变式11-1（2024·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______． 变式11-2（2024·河南·模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________. 变式11-3 已知函数关于点对称，若对任意的， 恒成立，则实数k的取值范围为 . 类型十二、指数函数有关的抽象函数 【指数函数相关的抽象函数的模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 根据指数函数的模型来代特殊值或者用赋值法。 例12 （2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 变式12-1 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 变式12-2已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 变式12-3 已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 类型十三、指数函数的综合应用 例13 （2024·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是上的奇函数，且 (1)求实数，的值，并求的值域； (2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 变式13-1已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0,且a≠1),且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m在[0,＋∞)上的最小值为0,求m的值. 变式13-2（2023·河南·商丘市第一高级中学高一期末）设函数，． (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围． 变式13-3 设函数． （1）若，求的值； （2）若，设，求在上的最小值． 1、 单选题 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2.设大于1的实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 3.已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5.（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 6.已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 7.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 8.已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 二、多选题 9.已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 10.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞) D.f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024 三、填空题 12．已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 13.(2025·徐州模拟)正实数m，n满足e1-2m+2-2m=en-1+n，则+的最小值为　　　　.  14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11：指数函数的性质及其应用 目录： 类型一：指数型函数图像 类型二：根据函数图像求参数取值范围 类型三：指数型函数的定义域 类型四：指数型函数的值域 类型五：根据值域求参数取值范围 类型六：指数函数比较大小 类型七：解指数型函数不等式 类型八：根据单调性求参数取值范围 类型九：指数函数有关的奇偶性 类型十：指数函数有关的对称性 类型十一：指数有关的恒成立和存在性问题 类型十二：指数函数有关的抽象函数 类型十三：指数函数的综合应用 压轴专练 类型一、指数函数图像 对于有关指数型函数的图像问题，当时，指数函数的图像呈上升趋势；当时，指数函数的图像呈下降趋势。 一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到； 函数图像的判断：一般先识别奇偶性，再根据特殊点来区分； ，表示偶函数，先画部分的图像，部分关于轴对称； 整体加绝对值，先画，把部分翻折到x轴上方。 例1.（多选）已知函数，实数，满足，则（    ） A． B．，，使得 C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数解析式，作函数的图象，根据图象的特征，可得选项A、C的正误，根据基本不等式，可得选项B、D的正误. 【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对． 由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对． 变式1-1 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 变式1-2. 函数的大致图象为（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】分和去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图象． 【详解】依题意可得， 又，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合． 故选：B． 变式1-3. 函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，求得为奇函数，其图象关于原点对称，且当时，，当时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状. 故选：B. 类型二、根据图像求参数取值范围 根据图像求参数取值范围的题目：找临界点 不经过第几象限的题型：先判断图像大概趋势，然后判断f与0的关系即可 例2.(多选)若函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,则(　　) A.0<a<1 B.a>1 C.－1<b<0 D.b<－1 【答案】BD 解析　函数f(x)＝ax＋b(其中a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限,根据图象的性质可得a>1,a0＋b<0,即a>1,b<－1. 思维升华　对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 变式2-1. 若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为____________. 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 变式2-2 已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 变式2-3 已知函数，其中为常数，若函数 的图象如图所示，则（   ）    A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得. 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 类型三、指数型函数的定义域 求函数的定义域： 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0； ②偶次根式的被开方数非负； ③y＝x0要求x≠0；④指数式的底数大于0且不等于1； ④对数式的底数大于0且不等于1，对数的真数大于零； 根据定义去求参数取值范围：一般是分离参数 例3.函数的定义域为______________． 【解析】换元，得出，解得（舍去）或，即，解得. 因此，函数的定义域为. 变式3-1 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】的定义域为，，即， ，解得：且， 的定义域为. 故选：. 变式3-2 若函数f(x)＝的定义域为R,则实数a的取值范围为(　　) A.[－1,0] B.[－] C.(0] D.R 【答案】　B 解析　由题意可得－2≥0对任意x∈R恒成立, 即≥2,且y＝2x在R上为增函数, 可得x2－2ax＋3≥1,即x2－2ax＋2≥0对任意x∈R恒成立, 则Δ＝4a2－8≤0,解得－≤a≤ 所以实数a的取值范围为[－]. 变式3-3定义区间（）的长度为．已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】作出函数在值域为上的图象，由图象可得出长度最小和最大的区间，由此可得结论． 【详解】如图是函数在值域为[1，2]上的图象．使函数的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为或[0，1]， 长度最大的区间为，从而由定义可知区间的长度的最大值与最小值的差为． 故选：B 类型四、指数函数的值域 解决步骤 第一步:求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数； 第二步:由自变量的范围求内层函数的值域； 第三步:由内层函数的值域求外层函数的值域。 例4 （多选）对任意实数，函数的图象必过定点，的定义域为[0，2]，，则下列结论正确的是（ ） A．， B．的定义域为[0，1] C．的值域为[2，6] D．的值域为[2，20] 【答案】ABC 【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据的定义域求的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出的值域. 【详解】令，得，此时， 所以函数的图象过定点，即，，故选项A正确； 因为，，所以，， 所以， 由得， 所以的定义域为[0，1]，故B正确； 易知在[0，1]上单调递增， 所以当时，取得最小值2，当时，取得最大值6， 所以的值域为[2，6]，故选项C正确，选项D错误． 故选:ABC． 变式4-1 对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求得，再结合基本不等式求时其的取值范围，再结合奇函数的性质求时函数值的范围，由此可得函数值域. 【详解】因为为上的奇函数， 所以，所以， 又当时，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，， 因为为上的奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 变式4-2 函数的值域为（ ） A．（0，＋∞） B．（－∞，1） C．（1，＋∞） D．（0，1） 【解析】，因为，所以，所以， 所以函数的值域为.故选：D 变式4-3 若函数，则函数的值域是 . 【答案】 【详解】试题分析：画出的图象，由图象知的值域是，设，，由图象看出当时，的范围是，函数的值域是，故答案为. 考点：1、分段函数的解析式；2、分段函数的值域及数形结合思想的应用. 类型五、根据值域求参数取值范围 求参数取值范围的通法：数形结合和分离参数 例5 （2024·全国·高三专题练习）若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是_____． 【答案】（﹣∞，﹣2] 设， 若函数的值域为，， 则等价于，是值域的子集， ， 设，则， 则， ， 当对称轴，即时，不满足条件． 当，即时，则判别式△， 即，则， 即实数的取值范围是，. 故答案为：， 变式5-1 若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值；当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 变式5-2（2024·江苏·华罗庚中学三模）若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 解：因为，所以的定义域为，， 当时，则在上单调递增，所以； 要使定义域和值域的交集为空集，显然， 当时， 若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若时在上单调递减，此时， 则， 所以，解得，即 故选：B 变式5-3（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数，，若存在实数，使得，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 因函数的值域是，于是得函数的值域是， 因存在实数，使得，则， 因此，，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 类型六、指数函数比较大小 比较指数幂的大小 常用方法有: 1.对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断; 2.对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断; 3.对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较 例6 已知a＝1.050.6,b＝0.60.8,c＝0.60.4,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 答案　B 解析　依题意,a＝1.050.6>1.050＝1,b＝0.60.8<0.60.4＝c<0.60＝1,所以a,b,c的大小关系是a>c>b. 变式6-1（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 变式6-2 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数， 所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 变式6-3 (2024·绍兴模拟)已知实数a,b,c满足a＝be＝则(　　) A.b<a<c B.a<b<c C.c<a<b D.c<b<a 【答案】　B 解析　由y＝在(0,＋∞)上单调递减,y＝log2x在(0,＋∞)上单调递增, 可知＝1>b＝>＝a,c＝lo＝log23>log22＝1, 所以c>1>b>a. 类型七、解指数型函数不等式 指数不等式的解法 1.形如不等式,可借助 2.形如不等式,可将化为以为底数的指数幂的形式，再借助 3.形如不等式, 可借助 例7 函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的单调性求的范围，然后在解抽象不等式. 【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增， 于是单调递增时只需，则； 又因为在上单调递增， 且，则，即 于是. 故选：C 变式7-1 已知为上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解， 【详解】由函数与均在上单调递增， 故在上单调递增， 而为上的奇函数，故在上单调递增， 等价于，得， 故答案为： 变式7-2“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设根据二次函数性质得在上单调递增，再根据指数函数单调性得在上单调递增，进而利用函数的单调性及充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设函数则在上单调递增， 所以， 故“”是“”的充要条件． 故选：C. 变式7-3 已知函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有，则满足不等式的x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得是常数，则，可求出，得到解析式，再根据函数单调性的性质，进行求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且对任意x，都有， 所以为常数，不妨设，则有， 在中，令，则有， 即，显然函数是单调递增的，而， 显然有， 因此，设，， 因为是上的增函数，且在上单调递增， 显然在单调递增，且， 所以由，可得， 所以满足不等式的x的取值范围为. 故选：C． 类型八、根据单调性求参数取值范围 1、 优先考虑定义域 2、 结合复合函数的单调性：同增异减 3、 对于分段函数，一定要考虑分界处 例8 已知函数 (且)在区间上是减函数，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】令，则， 由于且，内层函数在区间上为减函数， 所以外层函数为增函数，所以． 由题意可知，不等式对任意的恒成立， 所以，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为： 变式8-1已知分段函数对任意的且，均有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数的单调性和复合函数的单调性,来判断二次函数的对称轴的范围以及分段点处的取值大小，从而可求解参数范围. 【详解】由对任意的且，不妨假设， 因为恒成立，所以， 则在上单调递减， 根据复合函数单调性满足同增异减，可知在上单调递减， 需满足在上单调递增，故需， 还需满足且，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 变式8-2 已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合条件根据单调性的定义可得函数在上单调递增，然后根据分段函数单调递增法则，结合导数法及单调性的性质研究每段的单调性，列不等式组求解即可. 【详解】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 变式8-3 (多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 【答案】　AB 解析　因为y=f(x)=， 则f(-x)==|2x+a|， 由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同. 若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即所以-2≤a≤-； 若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立，即无解， 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 类型九、和指数函数有关的奇偶性 和指数有关常见的奇函数和偶函数 奇函数： ①函数或函数； ②函数． ③（）为奇函数； 偶函数： 函数 例9 已知函数（且）是奇函数，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据，代入化简得到，解出后得到函数解析式，最后再代入计算即可. 【详解】由题意得，函数且的定义域为． 因为是奇函数，所以，即． 得，即，所以． 解得或（舍去），所以． 所以． 故选：C． 变式9-1 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性，，再根据函数的单调性即可得出函数的单调性，再根据函数的单调性结合奇偶性即可解不等式. 【详解】解：函数的定义域为R， 因为， 所以函数为奇函数， 由， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上都是增函数， 又且函数在R上连续， 所以函数在R上递增， 因为，所以， 所以，解得， 即不等式的解集为. 故选：A. 变式9-2 已知函数，若存在a，b同时满足和，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可得函数为奇函数，则，故有解，即有解，令，则在，上有解，进而求得的取值范围． 【详解】解：函数的定义域为，，所以函数为奇函数， 存在，满足， ， 有解，即有解， 令，则在上有解， 在上有解， ，即的取值范围为． 故选． 【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，难点在于找到，的关系，进而把问题转化为两函数有交点问题，考查转化思想及分析问题解决问题的能力，属于中档题． 变式9-3（多选）已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BD 【分析】根据奇偶性构造方程组求出函数，，然后根据解析式代入计算可 判断AB；判断函数的单调性，结合奇偶性去掉函数符号求解可判断C；令，将问题转化为方程有两个不相等的正实根，根据韦达定理和判别式列不等式组求解可判断D. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且①， 所以，即②， 联立①②解得， 对A， ，A错误； 对B，，B正确； 对C，因为都是在上的增函数，所以在上单调递增， 由为奇函数，所以不等式， 即，解得，C错误； 对D，方程有两个不相等的实数根，则有两个不相等的实根， 整理得， 令，则有两个不相等的正实根， 由韦达定理和判别式可得，解得，D正确. 故选：BD 类型十、指数函数有关的对称性 在指数型函数奇偶性的基础上平移，找到相应的对称中心和对称轴 例10 已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 变式10-1 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，故关于直线对称，且在，上单减，函数的图象如下： ，且恒成立， ，即， 当时，不等式化为：，即，解得，即；当时，不等式化为：，即，解得或，即或； 综上，时，实数的取值范围是，，． 故选：． 变式10-2已知函数，若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一方面由题意有， 另一方面若有成立， 结合以上两方面有， 且注意到， 所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增， 若，则只能， 因此当且仅当； 又已知， 所以，即， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 变式10-3 已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性确定其对称性，再由单调性解不等式即可. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 又对任意的，，都有， 即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减， 所以， 即①，显然无解； 或②，解之得. 故选：C 类型十一、指数函数有关的恒成立和存在性问题 1、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法: (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 2、指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 例11（2024·浙江杭州·高一学军中学校考阶段练习）若关于的不等式在上有解，则实数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为关于的不等式在上有解， 所以关于的不等式在上有解， 所以，， 因为，所以，令，则， ， 令，， 因为对勾函数在上单调递减，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以，则，即实数的最小值为. 故答案为： 变式11-1（2024·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______． 【答案】 解：由，得， 即，    ，， 则， ，则，即． 故答案为： 变式11-2（2024·河南·模拟预测）已知，，若对，，，则实数的取值范围是_________. 【答案】 因为对，，， 所以只需即可， 因为，， 所以，， 由， 解得 故答案为：. 变式11-3 已知函数关于点对称，若对任意的， 恒成立，则实数k的取值范围为 . 【解析】由为奇函数，可得其图象关于对称， 可得的图象关于对称， 函数关于点对称，可得， 对任意的恒成立， 恒成立， 【思考：此时若利用最值法，求函数的最小值，第一函数较复杂，第二函数含参要分离讨论，路漫漫其修远兮，务必另辟蹊径】 即在恒成立， 所以3， (使得不等式一边是参数，另一边不含关于的式子，达到分离参数的目的) 令，由，可得， 设， 当时，取得最大值， 则的取值范围是， 【点拨】 ① 分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题； ② 恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论. 类型十二、指数函数有关的抽象函数 【指数函数相关的抽象函数的模型】 模型1：若，则； 模型2：若，则； 根据指数函数的模型来代特殊值或者用赋值法。 例12 （2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在上函数满足，若，则（    ） A．1 B．16 C．128 D．256 【答案】D 【分析】由题设可得或，结合已知排除，再由得，结合即可得. 【详解】由题设，则或， 若，令，则对于任意有，而，不符； 所以，则，故， 由. 故选：D 变式12-1 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】C 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】【构造模型可以速解】 对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 变式12-2已知函数的定义域为，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得，又进而可得，可判断C；由及可判断D. 【详解】对于A，令，则， 又，则，所以，故A错误； 对于B，令，则， 又，，所以，则，故B错误； 对于C，令，则， 又，则， 由上可知，故，， 所以，故C正确； 对于D，由，则， 所以， ， 由选项C中分析知，所以，故D错误. 故选：C. 变式12-3 已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，即， 令，，则，又，则， 不妨取任意正数， ， 因为，所以，即，所以在区间上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增， 令，则， 令，，则， ∴， 又因为，即，由和， 结合函数单调性可以得到或，故选：B. 类型十三、指数函数的综合应用 例13 （2024·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中）已知函数是上的奇函数，且 (1)求实数，的值，并求的值域； (2)函数满足，若对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1)，，值域为；(2). (1)解：由是上的奇函数，那么，则. 由可得，，解得， 所以，又，则， 所以的值域为. (2)解：时，，所以， 由得： ， 即， 即在上恒成立. 令，，且， ， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴在单调递增. 当时，， 所以，， 令，则，在单调递增. ， 因此， 所以的最大值为. 变式13-1已知函数f(x)＝ax＋a－x(a>0,且a≠1),且f(1)＝. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝[f(x)]2＋f(x)－m在[0,＋∞)上的最小值为0,求m的值. 解　(1)因为f(1)＝ 所以a＋解得a＝2或a＝ 所以f(x)＝2x＋2－x. (2)g(x)＝＋(2x＋2－x)－m. 令u＝2x＋2－x,x≥0, 则2x＋2－x≥2＝2, 当且仅当2x＝2－x,即x＝0时,等号成立, 所以u＝2x＋2－x≥2, 因为函数h(u)＝u2＋u－m在[2,＋∞)上单调递增, 所以h(u)min＝h(2)＝6－m. 因为g(x)在[0,＋∞)上的最小值为0, 所以6－m＝0,解得m＝6. 综上,m的值为6. 变式13-2（2023·河南·商丘市第一高级中学高一期末）设函数，． (1)求函数的值域； (2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). (1)∵，又，， ∴，当且仅当，即时取等号， 所以， 即函数的值域为． (2)∵， 设，因为，所以，函数在上单调递增， ∴，即， 设时，函数的值域为A．由题意知， ∵函数，函数图象的对称轴为， 当，即时，函数在上递增， 则，即， ∴， 当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者， 而且，不合题意， 当，即时，函数在上递减， 则，即，满足条件的a不存在， 综上，． 变式13-3 设函数． （1）若，求的值； （2）若，设，求在上的最小值． 【答案】(1)；(2) . 【解析】 【分析】 (1)由可得，两边平方后进行配方可求出的值. (2)由可求出，从而可得的解析式，由在上单调递增，可设，通过讨论对称轴和区间的三种位置关系，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值. 【详解】 (1)解:因为，所以，则，即， 即，因为 ， 因为，所以，即. (2)因为，整理得，解得或(舍去)， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 则在上单调递增，当时，，当时，， 令，则，对称轴为，抛物线开口向上， 当时，在上单调递增，此时当时，； 当时，在上单调递减，此时当时，； 当时，在先减后增，此时当时，； 综上所述，在上的最小值 【点睛】 关键点睛: 本题第二问的关键是利用换元法，通过讨论二次函数对称轴和区间的三种位置关系:对称轴在区间左侧，对称轴在区间内，对称轴在区间右侧，从而确定函数的单调性，进而求出最小值. 1、 单选题 1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域以及根式的意义列式，结合指数函数单调性运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 2.设大于1的实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可确定，结合即可求解． 【详解】，又，， 且时，随的增大而增大， ，，, 则， 即． 故选：D． 3.已知p：ax<1(a>1),q：2x＋1－x<2,则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】　B 解析　∵ax<1,当a>1时,y＝ax是增函数, ∴p：{x|x<0}. 对于不等式2x＋1<x＋2, 作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象,如图所示. 由图象可知,不等式2x＋1<x＋2的解集为{x|－1<x<0}, ∴q：{x|－1<x<0}. 又∵{x|－1<x<0}⊆{x|x<0}, ∴p是q的必要不充分条件. 4.数学建模在实际生产生活中有广泛的运用.某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限r（），劳累程度T（），劳动动机b（）相关，并建立了数学模型，已知甲、乙为该公司的员工，则下列四个结论正确的序号为（    ） ①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高； ②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高； ③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强； ④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱． A．①④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】利用指数函数的性质，幂函数的性质逐项分析即可. 【详解】设甲与乙的工人工作效率为，，工作年限为，，劳累程度为，，劳动动机为，， 对于①，，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故①正确； 对于②，，，， 所以，， 则， 所以，即甲比乙工作效率高，故②正确； 对于③，，，，， 所以， ，， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故③错误； 对于④，，，， 所以， ，所以， 所以，即甲比乙劳累程度弱，故④正确. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对题意的理解以及相关性质的运用. 5.（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 6.已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即.故选：A. 7.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（    ） ①浮萍每月的增长率相同； ②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是； ③若，则当时，恒成立； ④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则. A．①③④ B．③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】将点的坐标代入可求出，通过增长率计算可判断①；根据反函数的定义可知，利用对数函数的性质结合二次函数的图象和性质可判断②；利用基本不等式计算判断③；利用指数幂的运算判断④. 【详解】由图象可知，函数过点，则，即. 对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确； 对于②，若函数与的图像关于直线对称，则， 则，要使其值域为，则函数的值域要包含， 因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误； 对于③，，设，则， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以，故③正确； 对于④，由题意知，，，，所以，， 则，故，故④正确. 故选：A. 8.已知函数，若方程有三个不同的根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】B 【分析】由题意，易知为奇函数，由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以的图象关于点对称，再根据直线也关于点对称，即可得答案. 【详解】由题意，因为，所以为奇函数， 由函数向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的， 所以的图象关于点对称. 而所表示的直线也关于点对称， 所以方程的三个实根中必有一个为1，另外两个关于对称，所以. 故选：B. 二、多选题 9.已知实数a,b满足等式3a＝6b,则下列可能成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 【答案】　ABC 解析　由题意,在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象,如图所示, 由图象知,当a＝b＝0时,3a＝6b＝1,故选项A正确； 作出直线y＝k,当k>1时,若3a＝6b＝k,则0<b<a,故选项B正确； 作出直线y＝m,当0<m<1时,若3a＝6b＝m,则a<b<0,故选项C正确； 当0<a<b时,易得2b>1,则3a<3b<2b·3b＝6b,故选项D错误. 10.已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在上单调递减 C．为奇函数 D．无最值 【答案】ACD 【分析】根据判断A；根据奇函数的定义判断C；可判断B；利用定义求证在上的单调性并结合奇偶性得出在上的单调性可判断D. 【详解】，所以，故A正确； 因在处没有意义，故B 错误； ，则， 所以为奇函数，故C 正确； ，且， 则， 因，则，则，即， 则在上单调递减， 因为奇函数，则在上也单调递减， 当时，；当时，，故函数无最值， 故D选项正确. 故选：ACD. 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x>0时,f(x)>0,且满足f(2)＝1,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)为奇函数 B.f(－2)＝－1 C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5,＋∞) D.f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝2 024 【答案】　AB 解析　对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确； 对于B，因为f(x)为奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确； 对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2， 可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)， 所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)， 又因为x1>x2，所以x1－x2>0， 所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1， 所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2， 由f(2x)－f(x－3)>－2， 可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)， 所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)， 所以2x>x－7，得到x>－7， 所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)， 故C错误； 对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0， 所以f(－2 025)＋f(2 025)＝f(－2 024)＋f(2 024) ＝…＝f(－1)＋f(1)＝0， 又f(0)＝0，故f(－2 025)＋f(－2 024)＋…＋f(0)＋…＋f(2 024)＋f(2 025)＝0，故D错误. 三、填空题 12．已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 13.(2025·徐州模拟)正实数m，n满足e1-2m+2-2m=en-1+n，则+的最小值为　　　　.  【答案】　 解析　由e1-2m+2-2m=en-1+n， 得e1-2m+(1-2m)=en-1+(n-1)， 令f(x)=ex+x，则原等式为f(1-2m)=f(n-1)，显然函数f(x)为增函数， 于是1-2m=n-1，即2m+n=2， 而m>0，n>0， 因此+=+=++ ≥2+=， 当且仅当=，即m=n=时取等号， 所以当m=n=时，+取得最小值. 14.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则 . 【答案】 【详解】由题意为奇函数， 所以，则， 所以， 所以恒成立， 故或，所以. 故答案为： 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $