专题03 指数对数实际建模与新定义综合（高效培优专项训练）数学北师大版高一必修第一册

专题 03 指数对数实际建模与新定义综合 题型一：牛顿冷却模型实际应用计算 题型二：指数对数其他现实情境建模 题型三：冷却模型变形与自然指数 e 模型 题型四：新定义双曲函数综合辨析 题型一：牛顿冷却模型实际应用计算 1．“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【分析】令，则，两边同时取对，将代入即可得出答案. 【详解】由题可知，函数， 令，则，两边同时取对，得， 即，即. 故选：B 2．中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】根据题意代入数据，列出等量关系式，利用对数的运算性质化简即可求得. 【详解】由题意降至时口感最佳，即，带入函数关系式即得， 即，两边同时取对数，得， 所以. 故选：B 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 【答案】B 【分析】令，则，两边同时取对将代入即可得出答案. 【详解】由题可知，函数， 令，则， 两边同时取对可得：，即， 即. 故选：B. 4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 【答案】C 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 5．奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 【答案】C 【分析】由题，，当时，，，，代入运算可得，令运算得解. 【详解】由题，，当时，，则，得， 又，，故，得，所以， 当时，有，所以， 所以， 故制作完成后适宜饮用的时间约为35分钟. 故选：C. 6．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（    ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 【答案】B 【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果． 【详解】解：根据题意，，即，解得， ，即， 所以， 所以； 故选：B 7．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（    ）（参考数据：，） A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4 【答案】B 【分析】根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可. 【详解】由，有， 又，有，即， 则，解得， 故选：B. 8．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 【答案】C 【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果. 【详解】根据题意可知，，， 因为茶水降至75℃大约用时一分钟，即，， 所以，解得，则， 所以要使得该茶降至，即，则有，得， 故， 所以大约需要等待6分钟. 故选：C. 题型二：指数对数其他现实情境建模 1．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（    ） A．10分钟 B．9分钟 C．8分钟 D．7分钟 【答案】A 【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出的值，利用参考数据即可计算得出结果. 【详解】将所给数据代入得，， 即，所以 当水温从75°C降至45°C时，满足， 可得，即分钟. 故选：A. 2．教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（  ）分钟.（参考数据） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据时求出参数，然后根据题意列出不等式求解即可. 【详解】由题知，当时，即，解得，所以， 令得， 所以要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风分钟. 故选：C 3．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 【答案】C 【分析】根据题意，列出方程，结合对数的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，， 即，则，即， 即至少大约需要的时间为42分钟. 故选：C 4．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过分钟后的温度为，则，其中为环境温度，为参数（，且）．小王通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为100℃的水在10℃的室温中，9分钟后水温降至55℃．则在上述条件下，水温从100℃降至40℃所需的时间约为（   ）分钟．（参考数据：） A．14.4 B．13.6 C．12 D．10 【答案】A 【分析】根据已知条件代入公式计算可得，再把代入，利用对数的运算性质及换底公式即可求解. 【详解】由题意得，，，，代入公式得， 化简得，两边取对数得， 当时，，两边取对数得， ，又，. 故选：A. 5．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x（每单位代表4年）与剩余电池容量占比在某阶段（剩余电池容量占比）近似满足如下函数关系式： ．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 【答案】B 【分析】根据函数关系式：，令，求得相应的，即可计算出该电池的使用时长. 【详解】因为， 令，则， 所以，所以. ，所以该电池大约使用了年. 故选：B. 6．已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的解析式，代入已知点，结合指数式的运算，可得答案. 【详解】由题意，食品在的保鲜时间是． 将代入函数，得，所以． 因为食品在的保鲜时间是，所以，即． 又因为，所以，则． 当时，． 又因为，所以， 则， 所以该食品在的保鲜时间是． 故选：C． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质，结合指数运算，可得答案. 【详解】由题意可得当时，污染物消除了，即剩余，因此， 代入公式，可得，解得. 当污染物剩余时，，代入公式可得，解得， 由，且，则，解得. 题型三：冷却模型变形与自然指数 e 模型 1．中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数近似刻画了茶水温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知以及指数型函数的单调性进行计算求解. 【详解】由题可知，函数，当，，已经接近60， 又函数在上单调递减，则大约在7min时口感最佳.故A，C，D错误. 故选：B. 2．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯80℃的热茶，放置在30℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要6分钟，则欲降温到40℃，大约需要多少分钟？（，）（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】通过题意可得的值，再将代入即可得结果. 【详解】根据题意有：， ∴. 即欲降温到40℃，大约需要14分钟， 故选：B. 2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 【答案】B 【分析】根据初始条件求得参数，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间． 【详解】由题意可知，当时，，则，解得， 所以， 当时，，即， 则 ， 所以茶水泡制时间大的为7 min. 故选：B. 4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)（    ） A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40 【答案】B 【解析】由题意可得50=10+(90-10)·e-0.25t，化简可求得答案. 【详解】由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t，整理得e-0.25t=， 即-0.25t=ln=-ln2=-0.693，解得t≈2.77. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数的运算性质的应用，解指数方程. 5．某种物体放在空气中冷却，如果原来温度是，空气温度是，那么t后物体的温度（单位：℃）满足：.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为，，则的值为（    ）（取，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中所给函数模型，分别求出，，再由对数的运算，即可得出结果. 【详解】解：若物体放在℃的空气中从分别冷却到， 则有，即，则，解得； 若物体放在的空气中从分别冷却到， 则有，即，则，解得； 因此. 故选：C. 6．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列出关于的方程组可得答案. 【详解】由题意可得方程组： ，化简可得：，所以 ， 大约需要放置能达到最佳饮用口感． 故选：B. 7．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（    ）分钟.（参考数据，） A．16分钟 B．20分钟 C．24分钟 D．26分钟 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果. 【详解】根据题意可得，解得， 所以，即，所以， 故, 故大约需要26分钟， 故选：D. 8．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（    ）（参考数据：，，） A．3分钟 B．5分钟 C．7分钟 D．9分钟 【答案】B 【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果. 【详解】根据题意，，即 设茶水从降至55℃大约用时t分钟，则， 即，即 两边同时取对数： 解得. 故选：B. 题型四：新定义双曲函数综合辨析 1．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（    ） A．0.25 B． C．0.89 D． 【答案】A 【详解】由题意可知： 当，，时，， 代入公式得：即， 则. 故选：A. 【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题. 2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经研究可知：在室温20℃下，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感，设经过tmin后茶水的温度为y℃，且，茶水从泡制开始降至60℃大约需要的时间为（参考数据：，）（   ） A．2.5min B．3.5min C．4.5min D．6min 【答案】C 【分析】先由求出k，再由结合对数运算性质即可求t. 【详解】由题可得， 设经过tmin后茶水的温度为60℃， 所以， 所以. 故选：C 3．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照函数新定义以及指数幂的运算化简判断ABC选项；举反例判断D选项即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由A项，可得， 则 ，故C正确； 对于D，取，则， ， 而， 则，故D错误. 故选：D 4．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲线，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 【答案】C 【分析】考查利用定义判断函数奇偶性，复合函数求导，利用函数单调性比较大小，以及函数的化简运算. 【详解】在A中，由双曲线正弦函数是奇函数，双曲线余弦函数 是偶函数，因此是奇函数，所以A错误； 对于B，由，所以B错误； 对于C，双曲余弦函数是偶函数，且在递增，，所以C正确； 对于D，，所以D错误． 故选：C． 5．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【解析】根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】由，， 对于A，，定义域为， ，故A不正确； 对于B，，， 所以函数为奇函数，故B不正确. 对于C，， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：D 6．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列选项错误的是（ ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】B 【分析】对于AB，通过求导可判断，对于C，，结合的单调性可判断，对于D，由指数的运算性质化简可判断； 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：B. 7．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．则下列错误的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义以及指数的运算性质逐一判断即可. 【详解】由，， 对于A，，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，故A正确. 对于B，， ，故B不正确； 对于C，，故C正确， 对于D，， ，故D正确. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 03 指数对数实际建模与新定义综合 题型一：牛顿冷却模型实际应用计算 题型二：指数对数其他现实情境建模 题型三：冷却模型变形与自然指数 e 模型 题型四：新定义双曲函数综合辨析 题型一：牛顿冷却模型实际应用计算 1．“利川红”产于湖北省利川市毛坝镇、忠路镇、柏杨坝镇、文斗乡、沙溪乡一带，2018年在武汉东湖中印领导人非正式会晤中，“利川红”成为国事活动茶叙用茶.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，“利川红”用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生极佳口感；在室温下，茶水温度从开始，经过t min后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，“利川红”茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C．6min D． 2．中国茶文化博大精深．茶水口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．已知室内的温度为，设茶水温度从开始，经过x分钟后的温度为．y与x的函数关系式近似表示为，那么在室温下，由此估计，刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳口感（参考数据：）（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用90℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感；在20℃室温下，茶水温度从90℃开始，经过tmin后的温度为，可选择函数来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（    ） （参考数据：） A． B． C．6min D． 4．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 5．奶茶温度衰减满足函数关系，其中（单位：）为（单位：分钟）时的温度，（单位：）为室温，为常数，．已知某奶茶店的室温为，奶茶制作完成时温度为分钟后温度为，该奶茶适宜饮用温度为，则制作完成后适宜饮用的时间约为（ ） （参考数据：．结果保留整数） A．25分钟 B．30分钟 C．35分钟 D．40分钟 6．一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（    ）（） A．11.3 B．13.2 C．15.6 D．17.1 7．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（    ）（参考数据：，） A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4 8．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，h为常数，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（参考数据：，，，.）（    ） A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟 题型二：指数对数其他现实情境建模 1．牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯80°C的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C降至45°C大约还需要（参考数据：）（    ） A．10分钟 B．9分钟 C．8分钟 D．7分钟 2．教室常常通风，有利于改善高三学习环境. 若教室内二氧化碳浓度在，则教室如同一般室外环境，若浓度介于之间，教室内则空气清新，呼吸顺畅，若高于浓度，则教室内空气浑浊，会使人开始觉得昏昏欲睡.经测定，某教室刚下课时，空气中二氧化碳浓度为，开窗通风后教室内二氧化碳浓度随时间(单位：分钟)的变化规律用函数（）描述，若要让教室内二氧化碳浓度低于，则至少要开窗通风（  ）分钟.（参考数据） A． B． C． D． 3．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位:）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到以下，至少大约需要的时间为（   ）（参考数据：） A．40分钟 B．41分钟 C．42分钟 D．43分钟 4．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过分钟后的温度为，则，其中为环境温度，为参数（，且）．小王通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为100℃的水在10℃的室温中，9分钟后水温降至55℃．则在上述条件下，水温从100℃降至40℃所需的时间约为（   ）分钟．（参考数据：） A．14.4 B．13.6 C．12 D．10 5．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x（每单位代表4年）与剩余电池容量占比在某阶段（剩余电池容量占比）近似满足如下函数关系式： ．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 6．已知某食品的保鲜时间（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（    ） A． B． C． D． 7．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么污染物还剩81%时，需要（   ）小时？ A．9 B．10 C．11 D．12 题型三：冷却模型变形与自然指数 e 模型 1．中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数近似刻画了茶水温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据：，）（    ） A． B． C． D． 2．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯80℃的热茶，放置在30℃的房间中，如果热茶降温到55℃，需要6分钟，则欲降温到40℃，大约需要多少分钟？（，）（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且.当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（    ） （参考数据：） A． B． C．8min D． 4．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90℃的物体，放在10℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50℃，那么t的值约等于(参考数据：ln3≈1.099，ln2≈0.693)（    ） A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40 5．某种物体放在空气中冷却，如果原来温度是，空气温度是，那么t后物体的温度（单位：℃）满足：.若将物体放在15℃的空气中从62℃分别冷却到45℃和30℃所用时间为，，则的值为（    ）（取，） A． B． C． D． 6．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是，则，其中表示环境温度，表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？结果精确到，参考数据（    ） A． B． C． D． 7．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度将满足，其中是环境温度，称为半衰期.现有一杯的热茶，放置在的房间中，如果热茶降温到，需要10分钟，则欲降温到，大约需要（    ）分钟.（参考数据，） A．16分钟 B．20分钟 C．24分钟 D．26分钟 8．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至75℃开始大约还需要等待（    ）（参考数据：，，） A．3分钟 B．5分钟 C．7分钟 D．9分钟 题型四：新定义双曲函数综合辨析 1．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（    ） A．0.25 B． C．0.89 D． 2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经研究可知：在室温20℃下，某种绿茶用80℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生极佳口感，设经过tmin后茶水的温度为y℃，且，茶水从泡制开始降至60℃大约需要的时间为（参考数据：，）（   ） A．2.5min B．3.5min C．4.5min D．6min 3．颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；它的桥梁结构为拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特·胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为，则以下说法错误的是（ ） A． B． C． D． 4．悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形，在工程中（如悬索桥、双曲拱桥、架空电缆）有广泛的应用．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程其中为参数．当时，我们可构造出双曲函数：双曲正弦函数和双曲余弦函数．关于双曲线，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数 B． C． D． 5．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等.建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中a为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 6．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则下列选项错误的是（ ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 7．将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等．建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为．则下列错误的是（    ） A．是奇函数 B． C． D． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $