第3章 周末练9 章末检测试卷三(第3章)（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦指数函数章节核心，通过基础概念辨析、性质综合应用及拓展问题，系统训练数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|3题（单选1-3）|定义域、值域、定点问题|从指数函数定义出发，构建概念与性质的关联| |性质应用|8题（单选4-8、多选9-11）|单调性、奇偶性、方程有解|结合函数性质分析，强化推理与运算能力| |综合拓展|8题（填空12-14、解答15-19）|新定义、恒成立、分类讨论|从具体问题到数学模型，培养转化与应用意识|

周末练9　章末检测试卷三(第三章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知a>0，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　原式＝a2··. 2.设函数y＝的定义域为A，函数y＝2x－1的值域为B，则A∩B等于(　　) A.(0，1) B.(0，1] C.(－1，1) D.[－1，1] 答案　A 解析　函数y＝的定义域满足1－x2>0， 即－1<x<1，所以A＝{x|－1<x<1}， 函数y＝2x－1的值域B＝{y|y>0}， 所以A∩B＝(0，1). 3.已知函数f(x)＝4＋ax＋1(a>0，且a≠1)的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　) A.(－1，5) B.(－1，4) C.(0，4) D.(4，0) 答案　A 解析　当x＋1＝0， 即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数， 此时f(x)＝4＋1＝5. 即点P的坐标为(－1，5). 4.若关于x的方程2x－1－a＋1＝0有解，则a的取值范围是(　　) A.R B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(0，1) 答案　B 解析　因为2x－1－a＋1＝0有解， 所以2x－1＝a－1有解， 又函数y＝2x－1的值域是(0，＋∞)， 所以a－1>0，所以a>1. 5.已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是(　　) 答案　A 解析　由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1， 所以函数g(x)＝ax＋b是减函数，排除选项C，D； 又因为函数图象过点(0，1＋b)(1＋b<0)，所以排除选项B. 6.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 答案　B 解析　∵f(x)＝3x＋3－x， ∴f(－x)＝3－x＋3x， ∴f(x)＝f(－x)， 即f(x)是偶函数. 又∵g(x)＝3x－3－x， ∴g(－x)＝3－x－3x， ∴g(x)＝－g(－x)， 即函数g(x)是奇函数. 7.已知函数f(x)＝＋ax＋1，则f(2 025)＋f等于(　　) A.－2a＋2 025 B.2a C.4 D.4 050 答案　C 解析　因为f(x)＝＋ax＋1， 所以f＋f＋2 025a＋1＋－2 025a＋1＝＋2 ＝＋2＝2＋2＝4. 8.对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D.(－∞，0) 答案　A 解析　∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， ∴存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)， ∴＋m－1＝－－m＋1， ∴2m＝－＋2. 构造函数y＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]， 令t＝3x，t∈， 则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，在(1，3]上单调递减， ∴当t＝1时，y取得最大值0， 当t＝或t＝3时，y取得最小值－， ∴y∈， ∴－≤2m<0，∴－≤m<0. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列判断不正确的是(　　) A.2.52.5>2.53 B.0.82<0.83 C.< D.0.90.3>0.90.5 答案　ABC 解析　∵y＝0.9x是减函数，且0.5>0.3， ∴0.90.3>0.90.5，D正确；其余选项均不正确. 10.已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A.a＝b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 答案　ABC 解析　根据题意，在同一坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k， 则0<b<a，所以选项B正确； 当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以选项C正确. 11.设函数f(x)＝|3x－1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，则下列式子一定成立的是(　　) A.3c<3b B.3b<3a C.3c＋3a>2 D.3c＋3a<2 答案　ABD 解析　因为y＝3x为R上的增函数，且c<b<a，所以3c<3b<3a，所以AB正确；作出函数f(x)＝|3x－1|的图象，如图所示， 由图可知要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，需有c<0且a>0， 所以3c<1<3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1， 又f(c)>f(a)，所以1－3c>3a－1，即3c＋3a<2，所以C错误，D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知a＋a－1＝4，则＝　　　　.  答案　± 解析　因为＝a＋a－1－2＝2， 所以＝±. 13.若函数y＝ax(a>0且a≠1)在[－1，1]上最大值与最小值的差是1，则底数a＝　　　　.  答案　或 解析　当0<a<1时，y＝ax在[－1，1]上单调递减，则a－1－a＝1，即a2＋a－1＝0， 解得a＝； 当a>1时，y＝ax在[－1，1]上单调递增， 则a－a－1＝1，即a2－a－1＝0， 解得a＝， 所以a＝或a＝. 14.设函数f(x)＝2|x|－，则使得f(x)>f(3x－1)成立的x的取值范围是　　　　.  答案　 解析　因为f(x)的定义域是R， f(－x)＝2|－x|－＝2|x|－＝f(x)， 所以f(x)是偶函数， 当x≥0时，设0≤x1<x2， 则<，<，0<1＋<1＋， 从而>， 所以<， 即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)＝2x－是增函数， 不等式f(x)>f(3x－1) 化为f(|x|)>f(|3x－1|)， 所以|x|>|3x－1|，x2>(3x－1)2， 解得<x<. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)求下列各式的值： (1) ；(6分) (2).(7分) 解　(1)原式＝ ＝. (2)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x， 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)， ∴原式＝ 16.(15分)已知函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值；(6分) (2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域.(9分) 解　(1)因为函数图象经过点， 所以a2－1＝，则a＝. (2)由(1)知函数为y＝f(x)＝(x≥0)， 由x≥0，得x－1≥－1. 于是0<≤＝2， 所以函数的值域为(0，2]. 17.(15分)已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>1). (1)判断函数y＝f(x)的单调性和奇偶性；(7分) (2)若当x∈(－1，1)时，有f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围.(8分) 解　(1)当a>1时，>0，任取x1>x2， f(x1)－f(x2) ＝)－) ＝[()＋(－)]， ∵>，－>－， ∴f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. ∵f(x)的定义域为R， 且f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)， ∴f(x)为R上的奇函数. (2)由f(x)为奇函数，且在R上单调递增，可得f(1－m2)<－f(1－m)＝f(m－1)， ∴－1<1－m2<m－1<1， 解得1<m<， ∴实数m的取值范围为(1，). 18.(17分)已知函数f(x)＝. (1)若a＝1，求f(x)的单调区间；(5分) (2)若f(x)的最大值为3，求实数a的值；(6分) (3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求实数a的值.(6分) 解　(1)当a＝1时，f(x)＝， 令g(x)＝x2－4x＋3， 由于g(x)在(－∞，2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增， 而y＝在R上为减函数， 所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 即函数f(x)的单调递减区间是(2，＋∞)，单调递增区间是(－∞，2). (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝， 因为f(x)的最大值为3， 所以h(x)的最小值为－1， 当a＝0时，f(x)＝，无最大值； 当a≠0时，有解得a＝1， 所以当f(x)的最大值为3时，实数a的值为1. (3)由指数函数的性质， 知要使f(x)＝的值域为(0，＋∞)， 应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R， 当a＝0时，h(x)＝－4x＋3，值域为R，符合题意； 当a≠0时，h(x)为二次函数， 其值域不为R，不符合题意. 故当f(x)的值域是(0，＋∞)时，实数a的值为0. 19.(17分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数. (1)求m，n的值；(6分) (2)若当x∈时，f(kx2)＋f(2x－1)>0恒成立，求实数k的取值范围.(11分) 解　(1)∵f(x)在定义域R上是奇函数， ∴f(0)＝0，∴n＝1， 又由f(－1)＝－f(1)，得m＝2. 检验知，当m＝2，n＝1时， 原函数是奇函数. (2)由(1)知f(x)＝＝－， 任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝ ＝. ∵函数y＝2x在R上是增函数，且x1<x2， ∴<0， 又(＋1)(＋1)>0， ∴f(x2)－f(x1)<0， 即f(x2)<f(x1)， ∴函数f(x)在R上是减函数. ∵f(x)是奇函数， ∴不等式f(kx2)＋f(2x－1)>0等价于f(kx)2>－f(2x－1)＝f(1－2x). 又f(x)在R上是减函数，∴kx2<1－2x， 即对一切x∈有k<恒成立. 设g(x)＝－2·， 令t＝，t∈， 则有h(t)＝t2－2t，t∈， ∴g(x)min＝h(t)min＝h(1)＝－1， ∴k<－1，即k的取值范围为(－∞，－1). 学科网（北京）股份有限公司 $