第6讲 等边三角形 优等生讲义2026-2027学年 苏科版八年级数学上册

第6讲 等边三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 思维导图 课程目标 · 理解等边三角形的定义，掌握三边相等、三个角都是60°的性质 · 掌握等边三角形的三种判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形 · 会综合运用等边三角形的性质与全等、平行线、角平分线知识解题 · 能在动点、折叠、新定义等情境中灵活运用等边三角形的性质 · 会结合含30°直角三角形、勾股定理等工具解决压轴题 知识梳理 🔹 1. 等边三角形的定义与性质 · 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 · 性质一：三条边都相等。 · 性质二：三个内角都等于60°。 · 性质三：每一条边上的中线、高与这条边所对角的平分线互相重合（三线合一），具有等腰三角形的全部性质。 【概念辨析·典型例题】 若等边三角形ABC的边长是10cm，则△ABC的周长是____cm。 答案：30 解析：等边三角形的三条边都相等，故周长为三条边长之和：10+10+10＝30cm。直接运用等边三角形“三边相等”的性质。 🔹 2. 等边三角形的判定方法 · 判定一：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 判定二：三个角都相等（都等于60°）的三角形是等边三角形。 · 判定三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【概念辨析·典型例题】 下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） 答案：仅有两个角相等的三角形（缺第三个条件） 解析：等边三角形的判定有三种：三条边相等、三个角相等、有一个角是60°的等腰三角形。若说法只给出“有两个角相等”（只能判定等腰），缺少60°条件，则不能判定为等边三角形。 🔹 3. 性质与判定综合（60°角＋等腰→等边） · “有一个角是60°的等腰三角形”是判定的捷径，常与全等、平行线综合。 · 由60°角构造等边三角形：取中点、作平行线、作等角，把分散条件集中。 · 等边三角形可提供“边相等＋角60°”，是证全等的优质条件组合。 【概念辨析·典型例题】 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°。求证：∠C＝90°。 答案：构造等边三角形后利用三线合一与等角对等边 解析：取AB的中点D，连接CD，则AD＝BD＝3。又AC＝3，∠A＝60°，得△ACD是等边三角形，故CD＝AD＝3，∠ACD＝60°。于是CD＝BD，∠BCD＝∠B＝30°，所以∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°+30°＝90°。 🔹 4. 等边模型与压轴综合 · 手拉手模型：两个等边三角形共顶点，旋转后对应边相等，可证全等。 · “等边＋中点”常配合三线合一得30°角，再与含30°直角三角形性质联用。 · 动点问题：用含t的代数式表示运动路程，由全等或等边判定列方程。 【概念辨析·典型例题】 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，连接BD、DE。求证：DB＝DE。 答案：利用三线合一与外角求角，由等角对等边得DB＝DE 解析：由等边三角形得∠ACB＝60°；D是AC中点，由三线合一知BD平分∠ABC，∠DBC＝30°。又CE＝CD，△CDE为等腰三角形，∠E＝∠CDE＝30°（外角∠ACB＝∠E+∠CDE）。故∠E＝∠DBC＝30°，等角对等边得DB＝DE。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 等边三角形 三边都相等的三角形（正三角形） 是特殊的等腰三角形 性质一 三边都相等 常用于求周长与线段长 性质二 三个内角都等于60° 常用于求角度 性质三 三线合一：中线、高、角平分线重合 每条边对应一组三线合一 判定一 三边都相等 按定义直接判定 判定二 三个角都相等（都为60°） 由三角相等推出 判定三 有一个角是60°的等腰三角形 等腰＋60°即可判定 核心考点 【考点1】等边三角形的性质（第1-12题） · 求角度优先用“三个角都是60°”，结合外角性质、角平分线计算。 · 求线段优先用“三边相等”，配合平移、角平分线＋平行线等模型。 · 网格面积题可用割补法：把△ABC补成平行四边形再减去周围图形面积。 1．（2025秋•桥西区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，∠BAD＝15°，∠AFE＝60°，若，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 2．（2026•碑林区校级模拟）如图，在等边△ABC中，三个内角的角平分线相交于点P，过点P作BC的平行线分别交AB，AC于点M，N．若AB＝8，则△AMN的周长为（　　） A．12 B．8 C．16 D．15 3．（2025春•南开区校级期中）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移2cm得到△A′B′C′，则四边形AA′C′C的周长为_________ ． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝________ ． 5．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 _______ ． 6．（2026•金华模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为_______ ． 7．（2025春•太原月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点，过O作OE∥AB，OF∥AC，交BC于点E，F，则△OEF的周长为_____ ． 8．（2024春•榆林期中）如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 9．（2024秋•平桥区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 10．（2024秋•韩城市期中）如图，在等边△ABC中，点O为△ABC内部一点，过点O作OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．试判定△ODE的形状，并说明你的理由． 11．（2024春•文登区期末）如图1，等边△ABC，延长AB至点D，使BD＝AB，连接CD，点E是CD边上任意一点，以AE为边作等边△AEF，连接DF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）如图2，若点E在CD的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 12．（2025秋•望城区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至E，使CE＝AD．若点D是AC的中点． （1）求证：BD＝DE； （2）延长ED交AB于点F，若BF+CE＝15，求AF的长． 【考点2】等边三角形的判定（第13-21题） · 选择题逐项按三种判定方法判断：三边相等、三角相等、60°的等腰三角形。 · 遇到(a−b)²+|b−c|＝0型条件：由非负性得a＝b＝c，直接判等边。 · 开放补充条件题：添加“∠BCE＝∠B”等角或边条件，使三角形为等边。 13．（2025秋•惠州期末）如图，小温将三角板30°角的顶点P落在圆上，量出另两个交点的距离AB＝6cm，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D． 14．（2024秋•江北区期末）下列说法错误的是（　　） A．三点可以确定一个三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．三角形至少有两个锐角 D．三角形的外角和等于360° 15．下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个角等于60°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形 D．有两边相等且有两角相等的三角形 16．（2026春•博山区期末）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 __________________ 使等腰△ABC成为等边三角形． 17．（2025秋•江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是_______ 三角形． 18．（2025秋•府谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 19．（2026春•榕城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是____________________ ，请说明理由． 20．（2025秋•信阳校级月考）如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 21．（2020秋•周至县期末）如图，在四边形ABCD中，点E是DC的中点，EC＝EB，∠ADC＝120°，DF∥BE，且DF平分∠ADC，求证：△BEC是等边三角形． 【考点3】等边三角形的性质与判断（第22-31题） · 由“AB＝AD且∠A＝60°”先证△ABD为等边三角形，再展开计算。 · 构造辅助线（取中点、作平行）制造等边三角形或60°角。 · 坐标几何题：结合坐标系计算边长，判断三角形是否为等边。 22．（2025秋•开州区月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 23．（2026•通化模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在边AD上，CE∥AB，连接BD，交CE于点F．若CE＝7，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 24．（2023秋•朝阳区校级期中）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图所示，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠BOA＝60°，如图②所示，则此时AB＝_______ cm． 25．（2025秋•浦北县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF长为_____ ． 26．（2025秋•高要区期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝15cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是_______ cm． 27．（2024秋•义乌市期末）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，点P是AB边上一动点，连接AD，PD．当AP＝1时，PD＝BD，当AP＝3时，PD有最小值，则线段AD的长为 ________________ ． 28．（2023秋•南京期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°．求证：∠C＝90．（用两种不同方法） 29．（2024秋•闽侯县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，m），B（n，0），C（2n，m），m＞0，n＞0，且∠BAO＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）如备用图，AD∥BC，延长CB于点E，使得．连接EO并延长，交AD于点D，若OD＝OE，求BC﹣AD的值（用含n的式子表示）． 30．（2025秋•同步）在等边三角形ABC内任取一点O，作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ 31．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交直线 BC于点F． （1）求证：； （2）若CD＝2，求DF的长． 【考点4】创新及压轴题（第32-37题） · 动点题：用t表示运动路程，由全等或等边条件列方程。 · “等边＋中点＋延长”构造30°直角三角形，用斜边一半性质求线段。 · 新定义题先理解定义，再结合等边、全等、矩形等知识逐步推理。 32．（2024秋•寻乌县期末）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 _____ 厘米，BP的长为 __________ 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 33．（2023秋•百色期末）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； （3）若MC＝1，求BE的长． 34．（2024秋•旬阳市期末）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若BD＝ED，CD＝CE，求证：D为AC的中点． 35．（2025秋•东城区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F． （1）求∠BAE的大小； （2）判断△BEF的形状，并证明． 36．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是CB延长线上的一点，且∠BDE＝30°，DM⊥BC，垂足为M． 求证： （1）DE＝2DM； （2）M是CE的中点． 37．（2026•天宁区校级模拟）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． （1）定义理解：如图①，已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝126°，∠D＝120°，求∠C的度数． （2）定义运用：如图②，在五边形ABCDE中，DE∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形； （3）定义拓展：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC边上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试猜想，在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生改变，并说明理由． 随堂检测 【练习 1】（2025秋•武汉期末）如图，D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以CD为边作等边△CDE，使得点E在直线AC的右侧，若∠ADB＝m°，∠BDC＝n°，且△ADE是等腰三角形，则m与n的关系是 ____________________ ． 【练习 2】（2026•柳江区模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ____________________ ． 【练习 3】（2025春•峄城区校级月考）如图，直线1∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是 ________ ． 【练习 4】（2024春•福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF，则CF的长为 ____________________ ． 【练习 5】（2025秋•婺城区校级月考）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 课后巩固 ❤复习建议 牢记等边三角形“三边相等、三角60°”，求角度、线段时优先使用这两个性质。 判定等边三角形的三种途径：三边相等、三角相等、60°的等腰三角形，选择题要逐项核对。 三线合一是连接“中点、垂直、角平分线”的桥梁，出现中点或角平分线时优先考虑。 含30°直角三角形中“30°所对直角边等于斜边一半”常与等边三角形结合，务必熟练。 压轴题先识别手拉手、中点延长等模型，通过构造等边或全等转移线段再求解。 【作业 1】下列选项中的说法错误的是（　　） A．三个角相等的三角形是等边三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．有两个角相等的三角形是等边三角形 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 【作业 2】若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【作业 3】（2024秋•谯城区期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝2，则A1A4的长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【作业 5】（2023秋•汉寿县期中）如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 _________ ． 【作业 6】（2024秋•惠州期中）若等边三角形ABC的边长是10cm，则△ABC的周长是 _______ cm． 【作业 7】（2025春•鲁山县期末）在“玩转三角形”活动中，小明剪掉等边三角形的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2度数的和总是一个定值，那么∠1+∠2＝ _________ ． 【作业 8】（2024春•上海期末）如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝____________________ ．（用含字母S和a的代数式表示） 【作业 9】（2025秋•晋江市期末）如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC＝2CE，则∠E的大小为 ________ ． 【作业 10】（2026春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BD＝2，EC＝3，求AC的长． 【作业 11】如图，△ABC中，∠DAC是外角，∠DAC＝120°，AE平分∠DAC，AE∥BC．求证：△ABC为等边三角形． 【作业 12】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【作业 13】（2024秋•市中区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的动点，BD＝CE，BE与CD交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）当△BDO是等腰三角形时，求∠ABE的度数． 【作业 14】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【作业 15】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． ❤复习建议 牢记等边三角形“三边相等、三角60°”，求角度、线段时优先使用这两个性质。 判定等边三角形的三种途径：三边相等、三角相等、60°的等腰三角形，选择题要逐项核对。 三线合一是连接“中点、垂直、角平分线”的桥梁，出现中点或角平分线时优先考虑。 含30°直角三角形中“30°所对直角边等于斜边一半”常与等边三角形结合，务必熟练。 压轴题先识别手拉手、中点延长等模型，通过构造等边或全等转移线段再求解。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 等边三角形 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 思维导图 课程目标 · 理解等边三角形的定义，掌握三边相等、三个角都是60°的性质 · 掌握等边三角形的三种判定方法：三边相等、三角相等、有一个角是60°的等腰三角形 · 会综合运用等边三角形的性质与全等、平行线、角平分线知识解题 · 能在动点、折叠、新定义等情境中灵活运用等边三角形的性质 · 会结合含30°直角三角形、勾股定理等工具解决压轴题 知识梳理 🔹 1. 等边三角形的定义与性质 · 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。 · 性质一：三条边都相等。 · 性质二：三个内角都等于60°。 · 性质三：每一条边上的中线、高与这条边所对角的平分线互相重合（三线合一），具有等腰三角形的全部性质。 【概念辨析·典型例题】 若等边三角形ABC的边长是10cm，则△ABC的周长是____cm。 答案：30 解析：等边三角形的三条边都相等，故周长为三条边长之和：10+10+10＝30cm。直接运用等边三角形“三边相等”的性质。 🔹 2. 等边三角形的判定方法 · 判定一：三条边都相等的三角形是等边三角形。 · 判定二：三个角都相等（都等于60°）的三角形是等边三角形。 · 判定三：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【概念辨析·典型例题】 下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） 答案：仅有两个角相等的三角形（缺第三个条件） 解析：等边三角形的判定有三种：三条边相等、三个角相等、有一个角是60°的等腰三角形。若说法只给出“有两个角相等”（只能判定等腰），缺少60°条件，则不能判定为等边三角形。 🔹 3. 性质与判定综合（60°角＋等腰→等边） · “有一个角是60°的等腰三角形”是判定的捷径，常与全等、平行线综合。 · 由60°角构造等边三角形：取中点、作平行线、作等角，把分散条件集中。 · 等边三角形可提供“边相等＋角60°”，是证全等的优质条件组合。 【概念辨析·典型例题】 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°。求证：∠C＝90°。 答案：构造等边三角形后利用三线合一与等角对等边 解析：取AB的中点D，连接CD，则AD＝BD＝3。又AC＝3，∠A＝60°，得△ACD是等边三角形，故CD＝AD＝3，∠ACD＝60°。于是CD＝BD，∠BCD＝∠B＝30°，所以∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°+30°＝90°。 🔹 4. 等边模型与压轴综合 · 手拉手模型：两个等边三角形共顶点，旋转后对应边相等，可证全等。 · “等边＋中点”常配合三线合一得30°角，再与含30°直角三角形性质联用。 · 动点问题：用含t的代数式表示运动路程，由全等或等边判定列方程。 【概念辨析·典型例题】 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，连接BD、DE。求证：DB＝DE。 答案：利用三线合一与外角求角，由等角对等边得DB＝DE 解析：由等边三角形得∠ACB＝60°；D是AC中点，由三线合一知BD平分∠ABC，∠DBC＝30°。又CE＝CD，△CDE为等腰三角形，∠E＝∠CDE＝30°（外角∠ACB＝∠E+∠CDE）。故∠E＝∠DBC＝30°，等角对等边得DB＝DE。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 等边三角形 三边都相等的三角形（正三角形） 是特殊的等腰三角形 性质一 三边都相等 常用于求周长与线段长 性质二 三个内角都等于60° 常用于求角度 性质三 三线合一：中线、高、角平分线重合 每条边对应一组三线合一 判定一 三边都相等 按定义直接判定 判定二 三个角都相等（都为60°） 由三角相等推出 判定三 有一个角是60°的等腰三角形 等腰＋60°即可判定 【考点1】等边三角形的性质（第1-12题） · 求角度优先用“三个角都是60°”，结合外角性质、角平分线计算。 · 求线段优先用“三边相等”，配合平移、角平分线＋平行线等模型。 · 网格面积题可用割补法：把△ABC补成平行四边形再减去周围图形面积。 1．（2025秋•桥西区期末）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，∠BAD＝15°，∠AFE＝60°，若，则EF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】根据等边三角形性质得，AB＝BC＝AC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，再根据三角形外角性质及∠BAD＝15°，∠AFE＝60°得∠BAD＝∠CBE＝15°，由此依据“ASA”判定△ABD和△BCE全等得BD＝CE，进而得CD＝AE，过点E作EH⊥AF于点H，证明△AHE是等腰直角三角形得AH＝EH，由勾股定理得EHAE，在Rt△EFH中，根据∠AFE＝60°得∠FEH＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质及勾股定理可得出EF的长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°， ∵∠AFE是△ABF的外角， ∴∠AFE＝∠BAD+∠ABF， ∵∠BAD＝15°，∠AFE＝60°， ∴∠ABF＝∠AFE﹣∠BAD＝45°， ∴∠CBE＝∠ABD﹣∠ABF＝15°， ∴∠BAD＝∠CBE＝15°， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴BD＝CE， ∴BC﹣BD＝AC﹣CE， ∴CD＝AE， ∵CE， ∴AE， 过点E作EH⊥AF于点H，如图所示： ∴∠AHE＝90°， ∵∠HAE＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣15°＝45°， ∴△AHE是等腰直角三角形， ∴AH＝EH， 由勾股定理得：AEEH， ∴EHAE， 在Rt△EFH中，∠AFE＝60°， ∴∠FEH＝90°﹣∠AFE＝30°， ∴HFEF， 由勾股定理得：EHEF， ∴EFEH2， ∴EF的长为2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用含有30°角的直角三角形性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 2．（2026•碑林区校级模拟）如图，在等边△ABC中，三个内角的角平分线相交于点P，过点P作BC的平行线分别交AB，AC于点M，N．若AB＝8，则△AMN的周长为（　　） A．12 B．8 C．16 D．15 【分析】由等边三角形的性质推出AC＝AB＝8，由角平分线的定义和平行线的性质推出∠MBP＝∠MPB，得到MP＝MB，同理NP＝NC，于是得到△AMN的周长＝2AB＝16． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝8， ∵MN∥BC， ∴∠MPB＝∠PBC， ∵PB平分∠ABC， ∴∠MBP＝∠PBC， ∴∠MBP＝∠MPB， ∴MP＝MB， 同理：NP＝NC， ∴△AMN的周长＝AM+AN+PM+PN＝AM+BM+AN+NC＝AB+AC＝2AB＝2×8＝16． 故选：C． 【点评】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，关键是掌握等角对等边． 3．（2025春•南开区校级期中）如图，将边长为5cm的等边△ABC沿边BC向右平移2cm得到△A′B′C′，则四边形AA′C′C的周长为　14cm ． 【分析】因为△是边长为5cm的等边三角形，所以AC＝5cm，由平移的性质得A′C′＝AC＝5cm，AA′＝CC′＝2cm，则A′C′+AA′+AC+CC′＝14cm，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△是边长为5cm的等边三角形， ∴AC＝5cm， ∵将等边△ABC沿边BC向右平移2cm得到△A′B′C′， ∴A′C′＝AC＝5cm，AA′＝CC′＝2cm， ∴A′C′+AA′+AC+CC′＝5+2+5+2＝14（cm）， ∴四边形AA′C′C的周长为14cm， 故答案为：14cm． 【点评】此题重点考查等边三角形的性质、平移的性质等知识，推导出A′C′＝AC＝5cm，AA′＝CC′＝2cm是解题的关键． 4．（2024春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC外作等边△ACD，过点D作DE⊥BC．若AB＝5.4，CE＝3，则BE＝　7.8　 ． 【分析】过点C作CP⊥AB于P，根据∠ABC＝60°得∠BAC+∠BCA＝120°，再根据等边三角形性质得AC＝CD，∠ACD＝60°，则∠DCE+∠BCA＝120°，由此得∠BAC＝∠DCE，据此可依据“AAS”判定△APC和△CED全等，从而得AP＝CE＝3，则BP＝AB﹣AP＝2.4，进而在根据直角三角形性质得BC＝2BP＝4.8，据此可得BE的长． 【解答】解：过点C作CP⊥AB于P，如图所示： ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵△ACD为等边三角形， ∴AC＝CD，∠ACD＝60°， ∵∠DCE+∠BCA＝180°﹣∠ACD＝120°， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵CP⊥AB，DE⊥BC， ∴∠APC＝∠CED＝90°， 在△APC和△CED中， ， ∴△APC≌△CED（AAS）， ∴AP＝CE＝3， ∴BP＝AB﹣AP＝5.4﹣3＝2.4， 在Rt△BCP中，∠ABC＝60°， ∴∠BCP＝30°， ∴BC＝2BP＝2×2.4＝4.8， ∴BE＝BC+CE＝4.8+3＝7.8． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键． 5．（2024秋•廉江市期中）如图，等边△ABC的边长为6，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为 　12　 ． 【分析】根据等边三角形性质得AB＝AC＝6根据EF∥BC及角平分线定义得∠DBC＝∠EDB＝∠EBD，∠DCB＝∠FDC＝∠FCD，进而得BE＝DE，CF＝DF，则AE+DE＝AB＝6，AF+DF＝6，由此即可得出△AEF的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且边长为6， ∴AB＝AC＝6 ∵EF∥BC， ∴∠DBC＝∠EDB，∠DCB＝∠FDC， ∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点D， ∴∠DBC＝∠EBD，∠DCB＝∠FCD， ∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD， ∴BE＝DE，CF＝DF， ∴AE+DE＝AE+BE＝AB＝6，AF+DF＝AF+CF＝AC＝6， ∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+DE+AF+DF＝6+6＝12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，理解角平分线的定义，熟练掌握等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6．（2026•金华模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为　10　 ． 【分析】本题可运用割补法，构造包含△ABC 的平行四边形（或规则多边形），通过计算该规则图形的面积，再减去周围多余三角形的面积来求解△ABC的面积．具体地，先确定能完全覆盖△ABC的最小平行四边形，数出其中小等边三角形的个数得到其面积；再分别分析△ABC周围三个直角三角形（在等边三角形网格中表现为以小三角形为单位的区域）包含的小等边三角形数量并计算面积；最后用平行四边形的面积减去这三个三角形的面积，即可得到△ABC的面积． 【解答】解：构造外接平行四边形：通过观察顶点位置，可确定一个恰好包围△ABC的平行四边形， 其内部共包含20个小等边三角形， 故面积为20． 计算外围三个小三角形面积：左侧三角形：4； 右下三角形：3； 右上三角形：3； 目标三角形面积：S△ABC＝20﹣（4+3+3）＝10． 故答案为：10． 【点评】题目考查了等边三角形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 7．（2025春•太原月考）如图所示，在等边△ABC中，AB＝3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于O点，过O作OE∥AB，OF∥AC，交BC于点E，F，则△OEF的周长为　3　 ． 【分析】根据等边三角形得到BC＝AB＝3，再根据平行线和角平分线可得到△BEO、△CFO是等腰三角形，那么△OEF的周长为OE+EF+OF＝BE+EF+FC＝BC＝3． 【解答】解：∵在等边△ABC中，AB＝3， ∴BC＝AB＝3， ∵∠ABO＝∠CBO ∵过O作OE∥AB， ∴∠BOE＝∠ABO， ∴∠BOE＝∠CBO， ∴EB＝EO， 同理可得：FO＝FC， ∴OE+EF+OF＝BE+EF+FC＝BC＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，得到EB＝EO，FO＝FC是解题的关键． 8．（2024春•榆林期中）如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于点O，AB＝BC＝CD，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接DE，∠ABC＝70°，∠BCD＝170°． （1）求∠EBD的度数； （2）求证：∠EAD＝∠EDA． 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出∠CBD＝5°，再由等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，则∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBD＝5°； （2）利用SAS证明△EBD≌△CBD，得到DE＝CD，进而证明DE＝AE，据此可证明∠EAD＝∠EDA． 【解答】（1）解：∵BC＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠BCD＝170°， ∴， ∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠EBD＝∠ABC﹣∠ABE﹣∠CBD＝5°； （2）证明：∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE＝AE， ∵AB＝BC， ∴BE＝BC， 又∵∠EBD＝∠CBD＝5°，BD＝BD， ∴△EBD≌△CBD（SAS）， ∴DE＝CD， ∵CD＝AB， ∴DE＝AE， ∴∠EAD＝∠EDA． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握其性质是解题的关键． 9．（2024秋•平桥区期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，DF⊥BE，垂足为点F． （1）求证：△BDE是等腰三角形； （2）若CF＝4，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知∠ACB＝60°，再证明∠CBD＝∠E＝30°，即可得出结论； （2）由CF＝4可得出DC＝2CF＝8，故可得出AC的长，进而可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△ABC等边三角形，BD是中线； ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC， ∴， ∵∠ACB＝60°＝∠E+∠CDE， ∵CE＝CD，∠E＝∠CDE， ∴∠E+∠CDE＝∠ACB， 即2∠E＝60°， ∠E＝30°， ∴∠E＝∠DBC， ∴BD＝DE， ∴△BDE是等腰三角形； （2）解∵DF⊥BE，∠ACB＝60°， ∴∠FDC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°， ∴DC＝2FC＝2×4＝8，AC＝2DC＝2×8＝16， ∴△ABC周长：16×3＝48． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． 10．（2024秋•韩城市期中）如图，在等边△ABC中，点O为△ABC内部一点，过点O作OD∥AB交BC于点D，OE∥AC交BC于点E．试判定△ODE的形状，并说明你的理由． 【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，根据平行线的性质得出∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，进而即可得出结论． 【解答】解：△ODE是等边三角形；理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴根据等边三角形的性质，∠ABC＝∠ACB＝60°； ∵OD∥AB，OE∥AC， ∴根据平行线的性质，∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°， ∴OD＝OD＝DE， ∴△ODE是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 11．（2024春•文登区期末）如图1，等边△ABC，延长AB至点D，使BD＝AB，连接CD，点E是CD边上任意一点，以AE为边作等边△AEF，连接DF． （1）试判断△DEF的形状，并说明理由； （2）如图2，若点E在CD的延长线上，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【分析】（1）根据等边三角形的性质先证∠CAE＝∠BAF，再证△ACE和△ABF全等，得出∠ACE＝∠ABF，再证∠ACE＝90°，得出∠ABF＝90°，即可得出BF是AD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出AF＝FD，结合等边三角形的性质于是可推出FE＝FD，即可判断△DEF的形状； （2）方法同（1）． 【解答】解：（1）△DEF为等腰三角形，理由： 如图1，连接BF， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝FE，∠FAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠BAE＝∠FAE﹣∠BAE， 即∠CAE＝∠BAF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABF， ∵AB＝BC，BD＝AB， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝∠BDC＝30°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCD＝60°+30°＝90°， ∴∠ABF＝90°， 又BD＝AB， ∴BF是AD的垂直平分线， ∴AF＝FD， ∵AF＝FE， ∴FE＝FD， 即△DEF为等腰三角形； （2）成立，理由： ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠ACB＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝AF＝FE，∠FAE＝60°， ∴∠BAC+∠BAE＝∠FAE+∠BAE， 即∠CAE＝∠BAF， 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABF， ∵AB＝BC，BD＝AB， ∴BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC， ∵∠ABC＝∠BCD+∠BDC＝60°， ∴∠BCD＝∠BDC＝30°， ∴∠ACE＝∠ACB+∠BCD＝60°+30°＝90°， ∴∠ABF＝90°， 又BD＝AB， ∴BF是AD的垂直平分线， ∴AF＝FD， ∵AF＝FE， ∴FE＝FD， 即△DEF为等腰三角形， ∴当点E在CD的延长线上时，（1）中的结论仍成立． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 12．（2025秋•望城区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D是AC边上一点，延长BC至E，使CE＝AD．若点D是AC的中点． （1）求证：BD＝DE； （2）延长ED交AB于点F，若BF+CE＝15，求AF的长． 【分析】（1）根据等边三角形性质得∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC，再根据点D是AC的中点得AD＝CD＝CE，∠DBC＝∠DBA＝30°，再由三角形的外角性质求出∠E＝∠CDE＝30°得∠DBC＝∠E＝30°，据此可得出结论； （2）由（1）得∠E＝∠CDE＝30°，则∠ADF＝∠CDE＝30°，进而得∠AFD＝90°则△ADF和△EBF都是直角三角形，设AF＝a，根据含有30°角的直角三角形性质得AD＝2AF＝2a，进而得AD＝CD＝CE＝2a，AB＝BC＝AC＝4a，则BF＝AB﹣AF＝3a，然后根据BF+CE＝15得a＝3，据此即可得出AF的长． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝BC＝AC， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD，∠DBC＝∠DBA∠ABC＝30°， ∵CE＝AD， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， 在△DBE中，∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝DE； （2）解：由（1）得：∠E＝∠CDE＝30°， ∴∠ADF＝∠CDE＝30°， 在△ADF中，∠A＝60°， ∴∠AFD＝180°﹣（∠ADF+∠A）＝180°﹣（30°+60°）＝90° ∴△ADF和△EBF都是直角三角形， 设AF＝a，根据含有30°角的直角三角形性质得：AD＝2AF＝2a， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝2a， ∴CE＝AD＝2a，AC＝AD+CD＝4a， ∴AB＝BC＝AC＝4a， ∴BF＝AB﹣AF＝4a﹣a＝3a， ∵BF+CE＝15， ∴3a+2a＝15， 解得：a＝3， ∴AF＝a＝3， 即AF的长为3． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键． 【考点2】等边三角形的判定（第13-21题） · 选择题逐项按三种判定方法判断：三边相等、三角相等、60°的等腰三角形。 · 遇到(a−b)²+|b−c|＝0型条件：由非负性得a＝b＝c，直接判等边。 · 开放补充条件题：添加“∠BCE＝∠B”等角或边条件，使三角形为等边。 13．（2025秋•惠州期末）如图，小温将三角板30°角的顶点P落在圆上，量出另两个交点的距离AB＝6cm，则⊙O的半径为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D． 【分析】连接OA，OB，由圆周角定理得∠AOB＝2∠P＝60°，结合OA＝OB推出△AOB是等边三角形，即可求解． 【解答】解：如图，三角板30°角的顶点P落在圆上，AB＝6cm，，连接OA，OB， ∴∠AOB＝2∠P＝2×30°＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6cm， ∴⊙O的半径为6cm． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（2024秋•江北区期末）下列说法错误的是（　　） A．三点可以确定一个三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．三角形至少有两个锐角 D．三角形的外角和等于360° 【分析】由等边三角形的判定方法，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的概念，即可判断． 【解答】解：A、共线的三点不可以确定一个三角形，故A符合题意； B、C、D中的说法正确，故B、C、D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查等边三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形，关键是掌握等边三角形的判定方法，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的概念． 15．下列说法中，不能判定△ABC是等边三角形的是（　　） A．有两个角等于60°的三角形 B．有一个角等于60°的等腰三角形 C．三个角都相等的三角形 D．有两边相等且有两角相等的三角形 【分析】根据等边三角形的判定方法逐一判断即可解答． 【解答】解：根据两个角都等于60°的三角形是等边三角形可对选项A进行判断，故A不符合题意； 根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可对选项B进行判断，故B不符合题意； 根据三个角相等的三角形是等边三角形可对选项C进行判断，故C不符合题； 根据有两边相等可判断三角形为等腰三角形，但不一定是等边三角形，可对选项D进行判断，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定方法是解题的关键． 16．（2026春•博山区期末）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 　∠A＝60°（答案不唯一）　 使等腰△ABC成为等边三角形． 【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴括号内填上一个条件∠A＝60°（答案不唯一），使等腰△ABC成为等边三角形． 故答案为：∠A＝60°（答案不唯一）． 【点评】本题考查等边三角形的判定，等腰三角形的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 17．（2025秋•江北区期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|＝0，则△ABC是　等边　 三角形． 【分析】根据完全平方和绝对值的非负性，a﹣b＝0，b﹣c＝0，可求a＝b＝c，进而可得△ABC是等边三角形，然后作答即可． 【解答】解：∵（a﹣b）2+|b﹣c|＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， 解得，a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的判定等知识．熟练掌握绝对值的非负性，等边三角形的判定是解题的关键． 18．（2025秋•府谷县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥CB，∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E，∠E＝60°，求证：△ECD为等边三角形． 【分析】根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E，进而利用等边三角形的判定解答即可． 【解答】证明：∵AD∥CB， ∴∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E＝60°， ∵∠ADC的角平分线与CB的延长线交于点E， ∴∠ADE＝∠CDE＝60°， ∴∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠E＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠C＝∠CDE＝∠E＝60°． ∴△ECD为等边三角形． 【点评】此题考查等边三角形的判定，关键是根据平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠ADE＝∠E解答． 19．（2026春•榕城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA．若要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是　∠BCE＝60°（答案不唯一）　 ，请说明理由． 【分析】由等边三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：要使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是∠BCE＝∠B（答案不唯一），理由如下： ∵CE∥DA， ∴∠A＝∠BEC， ∵∠A＝∠B， ∴∠B＝∠BEC， ∵∠BCE＝60°， ∴△BCE 成为等边三角形． 故答案为：∠BCE＝60°（答案不唯一）． 【点评】本题考查等边三角形的判定，平行线的性质，关键是掌握等边三角形的判定方法：三条边都相等的三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 20．（2025秋•信阳校级月考）如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点E，∠ABD＝∠ADB． （1）如图1，求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，在图1的基础上，过点B作BF∥CD交CA的延长线于点F，如果AB＝AF，求证：△BCD是等边三角形． 【分析】（1）根据等角对等边可求AB＝AD，CB＝CD，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明AC垂直平分BD． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知∠BAC＝2∠F，再通过平行线性质和直角三角形性质可求∠BAC＝2∠ACB，利用三角形内角和求∠BCD＝60°，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． 【解答】证明：（1）∵∠ABD＝∠ADB，∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AB＝AD，∠ABC﹣∠ABD＝∠ADC﹣∠ADB， ∴A在BD的垂直平分线上，∠CBD＝∠CDB， ∴CB＝CD， ∴C在BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD； （2）证明：设∠F＝a， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F＝a（等边对等角）， ∵∠BAC是△ABF的外角， ∴∠BAC＝∠F+∠ABF＝2a（三角形外角的性质）， 由（1）得AC⊥BD，CB＝CD， ∴∠BCE＝∠DCE， ∵BF∥CD， ∴∠F＝∠DCE（两直线平行，内错角相等）， ∴∠F＝∠BCE＝a， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BCE+∠BAC＝90°， 即a+2a＝90°， 解得a＝30°， ∴∠DCB＝2∠BCE＝2×30°＝60°， 又∵BC＝CD， ∴△BCD是等边三角形． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 21．（2020秋•周至县期末）如图，在四边形ABCD中，点E是DC的中点，EC＝EB，∠ADC＝120°，DF∥BE，且DF平分∠ADC，求证：△BEC是等边三角形． 【分析】由角平分线的定义可得∠ADF＝∠CDF＝60°，再由平行线的性质可得∠BEC＝∠CDF＝60°，最后由等边三角形的判定定理即可得证． 【解答】证明：∵DF平分∠ADC，∠ADC＝120°， ∴∠ADF＝∠CDF＝60°． ∵DF∥BE， ∴∠BEC＝∠CDF＝60°． 又∵EC＝EB， ∴△BEC是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定定理、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【考点3】等边三角形的性质与判断（第22-31题） · 由“AB＝AD且∠A＝60°”先证△ABD为等边三角形，再展开计算。 · 构造辅助线（取中点、作平行）制造等边三角形或60°角。 · 坐标几何题：结合坐标系计算边长，判断三角形是否为等边。 22．（2025秋•开州区月考）如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点，且BDCD．点E，F分别在边AB，AC上，且∠EDF＝90°，M为边EF的中点，连接CM交DF于点N．若DF∥AB，则CM的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接MD，先求出BD，CD，证明△FDC是等边三角形得FD＝CFC＝CD，根据直角三角形斜边中线性质得MD＝MF＝MEEF，证明CM是线段FD的垂直平分线得CM⊥FD，DN＝FNFD，在Rt△CDN中，由勾股定理得CN，在Rt△BDE中，根据∠BDE＝30°得BE，由勾股定理得DE，再由勾股定理求出EF得MD＝MF＝MEEF√19/6，然后在Rt△MND中，由勾股定理求出MN，继而可得CM的长． 【解答】解：连接MD，如图所示： ∵△ABC是边长为2的等边三角形， ∴BC＝AC＝2，∠B＝∠ACB＝60°， ∵BDCD， ∴CD＝2BD， ∴BC＝BD+CD＝3BD＝2， ∴BD， ∴CD＝2BD， ∵DF∥AB， ∴∠FDC＝∠B＝60°， ∴∠FDC＝∠ACB＝60°， ∴△FDC是等边三角形， ∴FD＝CFC＝CD＝4/3， ∵∠EDF＝90°，M为边EF的中点， ∴MD是Rt△DEF斜边EF上的中线， ∴MD＝MF＝MEEF， ∴点M在线段FD的垂直平分线上， 又∵FC＝CD， ∴点C在线段FD的垂直平分线上， ∴CM是线段FD的垂直平分线， ∴CM⊥FD，DN＝FNFD， 在Rt△CDN中，由勾股定理得：CN， 在Rt△BDE中，∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（90°+60°）＝30°， ∴BEBD， 由勾股定理得：DE， 在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF， ∴MD＝MF＝MEEF， 在Rt△MND中，由勾股定理得：MN， ∴CM＝CN+MN． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，平行线的性质，直角三角形斜边中线的性质，灵活运用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 23．（2026•通化模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在边AD上，CE∥AB，连接BD，交CE于点F．若CE＝7，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】首先根据AB＝AD＝12、∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝5，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝5． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°， ∴AE＝CE＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣7＝5， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝5． 故选：B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 24．（2023秋•朝阳区校级期中）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图所示，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠BOA＝60°，如图②所示，则此时AB＝　18　 cm． 【分析】判定△OAB是等边三角形，得到AB＝OA＝18cm． 【解答】解：连接AB， ∵OA＝OB，∠BOA＝60°， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝18cm． 故答案为：18． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，关键是判定△OAB是等边三角形． 25．（2025秋•浦北县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE＝9，则CF长为　3　 ． 【分析】首先根据AB＝AD＝12，∠A＝60°，可证△ABD是等边三角形，连接AC交BD于点G，可证AC是线段BD的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证∠BAC＝∠DAC＝30°，根据平行线的性质可证∠ACE＝∠DAC＝30°，从而可得DE＝4，根据平行线的性质可证△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质可知EF＝DE＝4． 【解答】解：如图所示，连接AC交BD于点G， ∵AB＝AD＝12，∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AB＝AD＝BD＝12，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60°（等边三角形的性质）， ∵AB＝AD＝12，BC＝DC， ∴AG⊥BD，BG＝DG， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°÷2＝30°， ∵CE∥AB， ∴∠ACE＝∠BAC＝∠DAC＝30°（两直线平行，内错角相等）， ∴AE＝CE， ∴DEAD＝6， ∵EF∥AB， ∴∠EFD＝∠ABD＝60°，∠FED＝∠BAD＝60°（两直线平行，同位角相等）， ∴△DEF是等边三角形， ∴EF＝DE＝6（等边三角形的性质）， ∴CF＝9﹣6＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是利用角之间的关系找到边之间的关系． 26．（2025秋•高要区期末）由于木质的衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝15cm．若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点间的距离是　15　 cm． 【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答． 【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵OA＝OB＝15cm， ∴AB＝OA＝OB＝15cm． 故答案为：15． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定和性质，关键是相关性质和判定定理的熟练掌握． 27．（2024秋•义乌市期末）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，点P是AB边上一动点，连接AD，PD．当AP＝1时，PD＝BD，当AP＝3时，PD有最小值，则线段AD的长为 　　 ． 【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于点J，．求出AJ，DJ的长可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC， ∵当AP′＝1时，P′D＝BD， ∴△BDP′是等边三角形， ∴BD＝BP′， ∴CD＝AP′＝1， ∵当AP″＝3时，PD有最小值， ∴P′P″＝BP″＝2， ∴AB＝BC＝5， ∵AJ⊥BC， ∴BJ＝CJ＝2.5， ∴DJ＝CJ＝CD＝1.5， ∵AJ， ∴AD． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 28．（2023秋•南京期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝3，∠A＝60°．求证：∠C＝90．（用两种不同方法） 【分析】方法一：取AB的中点D，连接CD，由此可得AD＝BD＝3，再根据∠A＝60°，即可判定△ACD为等边三角形，然后由等边三角形的性质得∠ADC＝∠ACD＝60°，AD＝CD＝3进而得BD＝CD＝3，则∠B＝∠DCB，再根据三角形的外角定理可求出∠B＝∠DCB＝30°，据此可得出结论； 方法二：延长AC到E，使AC＝CE，连接BE，由此可得出AB＝AE＝6，再根据∠A＝60°即可判定△ABE为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得BC⊥AE，据此可得出结论． 【解答】证法一：取AB的中点D，连接CD，如图1所示： ∵AB＝6， ∴AD＝BDAB＝3， ∵AC＝3， ∴AD＝BD＝3， ∵∠A＝60°， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ADC＝∠ACD＝60°，AD＝CD＝3 ∴BD＝CD＝3， ∴∠B＝∠DCB， 又∵∠ADC＝∠B+∠DCB＝60°， ∴∠B＝∠DCB＝30°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝60°+30°＝90°． 证法二：延长AC到E，使AC＝CE，连接BE，如图2所示： ∵AB＝6，AC＝3， ∴CE＝AC＝3， ∴AE＝AC+CE＝6， ∴AB＝AE＝6， 又∵∠A＝60°， ∴△ABE为等边三角形，且BC为AE边上的中线， ∴BC⊥AE， 即∠ACB＝90°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造等边三角形是解决问题的关键． 29．（2024秋•闽侯县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，m），B（n，0），C（2n，m），m＞0，n＞0，且∠BAO＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）如备用图，AD∥BC，延长CB于点E，使得．连接EO并延长，交AD于点D，若OD＝OE，求BC﹣AD的值（用含n的式子表示）． 【分析】（1）根据A（0，m），B（n，0），C（2n，m）得OB＝n，AC∥x轴，AC＝2n，在Rt△AOB中，根据∠BAO＝30°得∠ABO＝60°，AB＝2OB＝2n，进而得AC＝AB＝2n，∠BAC＝∠ABO＝60°，据此即可得出结论； （2）过点E作EF⊥x轴于F，过点D作DH⊥y轴于H，根据∠OBE＝∠C＝60°得∠BEF＝30°，则BFBE，OF＝OB﹣BF，证明△ODH和△EOF全等得DH＝OF，再求出∠ADH＝30°得AD＝2DH＝2n/3，由此可得出BC﹣AD的值． 【解答】（1）证明：∵A（0，m），B（n，0），C（2n，m），m＞0，n＞0， ∴OB＝n，AC∥x轴，AC＝2n， 在Rt△AOB中，∠BAO＝30°， ∴∠ABO＝60°，AB＝2OB＝2n， AC＝AB＝2n， ∵AC∥x轴， ∴∠BAC＝∠ABO＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：过点E作EF⊥x轴于F，过点D作DH⊥y轴于H，如图所示： 则∠AHD＝∠OHD＝∠EFO＝∠EFB＝90°， ∵△ABC是等边三角形，AC∥x轴，AD∥BC， ∴∠OBE＝∠C＝60°，∠DAB＝∠ABC＝60°，BC＝2n， 在Rt△BEF中，∠BEF＝90°﹣∠OBE＝30°，BE， ∴BFBE， ∴OF＝OB﹣BF， ∵EF⊥x轴， ∴EF∥OH， ∴∠DOH＝∠OEF， 在△ODH和△EOF中， ， ∴△ODH≌△EOF（AAS）， ∴DH＝OF， ∵∠DAB＝60°，∠BAO＝30°， ∴∠ADH＝∠DAB﹣∠BAO＝30°， ∴AD＝2DH， ∴BC﹣AD． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，含有30°角的直角三角形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的判定与性质，含有30°角的直角三角形的性质，熟练掌握坐标与图形，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 30．（2025秋•同步）在等边三角形ABC内任取一点O，作OE∥AB，OF∥AC，分别交BC于点E，F，△OEF是等边三角形吗？为什么？ 【分析】根据等边三角形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【解答】解：是， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵OE∥AB，OF∥AC， ∴∠OEF＝∠B＝60°， ∴∠OFE＝∠C＝60°， ∴△OEF是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 31．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交直线 BC于点F． （1）求证：； （2）若CD＝2，求DF的长． 【分析】（1）先利用等边三角形的性质可得∠B＝∠C＝60°，再利用平行线的性质可得∠B＝∠EDC＝60°，然后根据垂直定义可得∠DEF＝90°，从而可得∠F＝30°，最后在Rt△DEF中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答； （2）先利用三角形内角和定理可得∠DEC＝60°，从而可得△DEC是等边三角形，进而可得CD＝DE＝2，然后利用（1）的结论，即可解答． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠B＝∠EDC＝60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°， ∴DEDF； （2）解：∵∠EDC＝∠C＝60°， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝60°， ∴△DEC是等边三角形， ∴CD＝DE＝2， ∵DEDF， ∴DF＝4． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第32-37题） · 动点题：用t表示运动路程，由全等或等边条件列方程。 · “等边＋中点＋延长”构造30°直角三角形，用斜边一半性质求线段。 · 新定义题先理解定义，再结合等边、全等、矩形等知识逐步推理。 32．（2024秋•寻乌县期末）如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． （1）当运动时间为t秒时，BQ的长为 t 厘米，BP的长为 　（6﹣t）　 厘米．（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形； （3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 【分析】（1）根据题意、结合图形解答； （2）分∠PQB＝90°、∠BPQ＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列式计算即可； （3）证明△ABQ≌△CAP，根据全等三角形的性质、等边三角形的内角是60°解答即可． 【解答】解：（1）由题意得，BQ＝t，BP＝6﹣t， 故答案为：t；（6﹣t）； （2）设时间为t，则AP＝BQ＝t，PB＝5﹣t， ①当∠PQB＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t＝4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）∠CMQ不变，理由如下： 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 33．（2023秋•百色期末）如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD． （1）求∠E的度数； （2）若DM⊥BC于点M，求证：M是BE的中点； （3）若MC＝1，求BE的长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°，因为∠ACB＝∠E+∠CDE，即可解答； （2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （3）根据含30°的直角三角形的性质得到CE＝CD＝4，然后根据BE＝2EM即可得到结果． 【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠A＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， 又∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠E＝∠ACB＝30°； （2）证明：连接BD， ∵AB＝AC＝BC，D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴DB＝DE， 又∵DM⊥BE， ∴M是BE的中点； （3）解：∵DM⊥BE，∠ACB＝60°， ∴∠MDC＝30°， ∴DC＝2MC＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴BE＝2ME＝2×（1+2）＝6． 【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键． 34．（2024秋•旬阳市期末）如图，在等边△ABC中，D是边AC上的一点，点E在边BC的延长线上，若BD＝ED，CD＝CE，求证：D为AC的中点． 【分析】由等边三角形的性质得∠ACB＝∠ABC＝60°，再由等腰三角形的性质得∠CED＝∠CDE，然后证∠ABD＝∠CBD，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵CD＝CE， ∴∠CED＝∠CDE， ∵∠ACB＝∠CED+∠CDE， ∴∠CED＝∠CDE∠ACB60°＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠CBD＝∠CED＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD是△ABC的角平分线， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD是△ABC的AC边上的中线， ∴D为AC的中点． 【点评】本题考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 35．（2025秋•东城区期末）如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，BE⊥BC，AE∥BD，CE交BD于点F． （1）求∠BAE的大小； （2）判断△BEF的形状，并证明． 【分析】（1）根据等边三角形性质得BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°，根据点D是AC的中点得∠ABD＝∠CBD＝30°，再根据AE∥BD得∠BAE＝∠ABD＝30°； （2）根据BE⊥BC得∠EBF＝60°，∠EBA＝30°，由此∠BAE＝∠EBF＝30°，则EA＝EB，由此可依据“SSS”判定△EAC和△EBC全等得∠ACE＝∠BCE∠BCA＝30°，再根据三角形外角性质得∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°，进而得∠EBF＝∠BFE＝60°，据此得△BEF是等边三角形． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵点D是AC的中点， ∴∠ABD＝∠CBD∠ABC＝30°， ∵AE∥BD， ∴∠BAE＝∠ABD＝30°； （2）△BEF是等边三角形，证明如下： ∵BE⊥BC， ∴∠EBC＝90°， ∴∠EBF＝∠EBC﹣∠CBD＝60°，∠EBA＝∠EBC﹣∠ABC＝30°， 在△EAB中，∠BAE＝∠EBF＝30°， ∴EA＝EB， 在△EAC和△EBC中， ， ∴△EAC≌△EBC（SSS）， ∴∠ACE＝∠BCE∠BCA＝30°， ∵∠BFE是△FBC的外角， ∴∠BFE＝∠CBD+∠BCE＝60°， 在△BEF中，∠EBF＝∠BFE＝60°， ∴△BEF是等边三角形． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 36．（2025秋•海淀区校级期中）如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，E是CB延长线上的一点，且∠BDE＝30°，DM⊥BC，垂足为M． 求证： （1）DE＝2DM； （2）M是CE的中点． 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可解答； （2）根据等边三角形的性质即可证明． 【解答】证明：（1）∵DM⊥BE， ∴∠DME＝90°， 在Rt△DME 中，∠BDE＝30°， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝180°﹣60°＝120°， ∴∠E＝180°﹣∠ABE﹣∠BDE＝30°， ∴DE＝2DM； （2）在等边三角形ABC中，D是AB的中点， ∴， ∵∠BDE＝30°，∠ABC＝60°，∠BMD＝90°， ∴∠BDM＝30°，∠EDM＝60°， ∴∠E＝180°﹣∠BMD﹣∠EDM＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠DCB＝∠E， ∴DE＝DC， ∵DM⊥BC， ∴M是CE的中点． 【点评】本题考查了直角三角形的性质及等边三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质及等边三角形的性质是解题的关键． 37．（2026•天宁区校级模拟）新定义题型构思巧妙，立意新颖，重在考查学生的学习能力，实践能力及创新精神，让我们试试吧！我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫作“等邻角四边形”． （1）定义理解：如图①，已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝126°，∠D＝120°，求∠C的度数． （2）定义运用：如图②，在五边形ABCDE中，DE∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形； （3）定义拓展：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC边上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N，试猜想，在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生改变，并说明理由． 【分析】（1）根据“等邻角四边形”的定义，再结合已知条件和四边形内角和定理，即可求解； （2）根据两直线平行，内错角相等，再结合角平分线的定义和“等邻角四边形”的定义即可证明． （3）作BQ⊥CD，垂足为Q，证明PM+PN＝BQ为定值即可． 【解答】（1）解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝126°，∠D＝120°， ∴根据“等邻角四边形”定义，∠B、∠C均不可能与∠A、∠D中的任意一个角相等，否则总内角和大于360°， ∴∠B＝∠C， ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°， ∴126°+120°+2∠C＝360°， 解得：∠C＝57°； （2）证明：∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC． ∴∠EDB＝∠ABD． ∴四边形ABDE为等邻角四边形； （3）解：PM+PN的值不会发生改变；理由如下： 在等邻角四边形ABCD中，PN⊥CD，如图③，作BQ⊥CD，垂足为Q，自P作PR⊥BQ，垂足为R， ∴四边形PNQR是矩形． ∴PN＝RQ，∠BRP＝90°，且PR∥CQ， ∴∠C＝∠RPB． ∵∠B（∠MBP）＝∠C， ∴∠MBP＝∠RPB． 在∠BMP和∠PRB中， ， ∴∠BMP≌∠PRB（AAS）， ∴PM＝BR， ∴BQ＝BR+RQ＝PM+PN． 故在点P的运动过程中，PM+PN的值不会发生改变，总等于BQ． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了新定义、平行线的性质、矩形的性质、全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是能灵活运用上面的知识点． 随堂检测 【练习 1】（2025秋•武汉期末）如图，D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，以CD为边作等边△CDE，使得点E在直线AC的右侧，若∠ADB＝m°，∠BDC＝n°，且△ADE是等腰三角形，则m与n的关系是 m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360　 ． 【分析】证明△BCD和△ACE全等得∠BDC＝∠AEC＝n°，则∠AED＝n°﹣60°，再分三种情况讨论如下：①当DA＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝n°﹣60°，进而得∠ADE＝300°﹣2n°，则∠ADC＝360°﹣2n°，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得m°+n°+360°﹣2n°＝360°，据此可得m与n的关系；②当DA＝EA时，则∠ADE＝∠AED＝n°﹣60°，进而得∠ADC＝n°，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得m°+n°+n°＝360°，据此可得m与n的关系；③当EA＝DE时，则∠ADE＝∠DAE（180°﹣∠AED），进而得∠ADC，然后根据∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°得，据此可得m与n的关系，综上所述即可得出答案． 【解答】解：连接AE，如图所示： ∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCD＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠BCA﹣∠ACD＝∠DCE﹣∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠BDC＝∠AEC＝n°， ∴∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝n°﹣60°， 当△ADE是等腰三角形时，有以下三种情况： ①当DA＝DE时，则∠DAE＝∠AED＝n°﹣60°， 在△DAE中，∠ADE＝180°﹣（∠DAE+∠AED）＝180°﹣（n°﹣60°+n°﹣60°）＝300°﹣2n°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝300°﹣2n°+60°＝360°﹣2n°， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴m°+n°+360°﹣2n°＝360°， ∴m＝n； ②当DA＝EA时，则∠ADE＝∠AED＝n°﹣60°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝n°﹣60°+60°＝n°， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴m°+n°+n°＝360°， ∴m+2n＝360； ③当EA＝DE时， 在△ADE中，∠ADE＝∠DAE（180°﹣∠AED）（180°﹣n°+60°）， ∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE， ∵∠ADB+∠BDC+∠ADC＝360°， ∴， ∴2m+n＝360， 综上所述：m与n的关系是m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360． 故答案为：m＝n或m+2n＝360或2m+n＝360． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【练习 2】（2026•柳江区模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 　　 ． 【分析】首先利用等边三角形的性质和已知条件得到∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，设BD＝x，然后用x分别表示DF、CD、DE，如图，过F作FH⊥⊥DE于H，在Rt△EFD中，用x表示FH，最后利用三角形的面积公式建立二次函数模型即可求解． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F， ∴∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°， 设BD＝x， ∴DFx， ∵BC＝6， ∴CD＝6﹣x， ∴DE（6﹣x）， 如图，过F作FH⊥DE于H， 在Rt△EFD中，FHFDxx， ∴S△DEFDE×FH x（6﹣x） （﹣x2+6x） （x﹣3）2， ∴当x＝3时，△DEF的面积最大值为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是建立二次函数的模型求出最值． 【练习 3】（2025春•峄城区校级月考）如图，直线1∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是 　39°　 ． 【分析】过点A作AF∥l，则l∥m∥AF，由平行线的性质得到∠BAF＝∠ABE＝21°，∠ACD＝∠CAF，再由等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，据此求出∠CAF的度数即可得到答案． 【解答】解：如图所示，过点A作AF∥l， ∵l∥m， ∴l∥m∥AF（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∵∠ABE＝21°， ∴∠BAF＝∠ABE＝21°，∠ACD＝∠CAF， 由等边三角形的性质可得∠BAC＝60°， ∴∠CAF＝60°﹣21°＝39°， ∴∠ACD＝39°， 故答案为：39°． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 【练习 4】（2024春•福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF，则CF的长为 　　 ． 【分析】过点D作DH⊥CE于点H，根据等边三角形性质及∠DFC＝60°得∠ECB＝∠DBA，进而可依据“ASA”判定△ECB和△DBA全等，则BE＝AD＝2，进而得CD＝AC﹣AD＝4，然后在Rt△DHF中求出∠FDH＝30°，则FHDF，DH，在Rt△CDH中再由勾股定理求出CH，继而可得CF的长． 【解答】解：过点D作DH⊥CE于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形，AB＝6， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA＝6， ∵∠DFC＝∠ECB+∠DBC＝60°，∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝60°， ∴∠ECB＝∠DBA， 在△ECB和△DBA中， ， ∴△ECB≌△DBA（ASA）， ∴BE＝AD＝2， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4， ∵DH⊥CE于点H， ∴△DHF和△DHC均为直角三角形， 在Rt△DHF中，∠DFC＝60°，DF， ∴∠FDH＝30°， ∴FHDF， 由勾股定理得：DH， 在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH， ∴CF＝CH+FH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地添加辅助线构造含有30°角的直角三角形，然后利用含有30°角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【练习 5】（2025秋•婺城区校级月考）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF． （1）若∠AED＝20°，求∠AFD的度数； （2）若AD＝3，求△BDE的周长． 【分析】（1）根据J题意，易得∠DAE＝∠AED＝20°，结合已知条件有∠DAF＝∠AFD，∠BAC＝60°，从而根据∠AFD＝∠DAF＝∠BAC﹣∠DAE求解即可； （2）由等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝60°，易得∠EBD＝∠DCF＝120°，结合已知条件，得∠EDB＝∠AFD，结合DE＝DF，证得△BDE≌△CFD（AAS），从而得到BE＝CD，即可得到△BDE的周长． 【解答】解：（1）∵AD＝DE，∠AED＝20°， ∴∠DAE＝∠AED＝20°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAE＝40°， ∵AD＝DF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴∠AFD＝∠DAF＝40°； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠EBD＝∠DCF＝120°， ∴∠AED+∠EDB＝60°， ∵∠DAE＝∠AED， ∴∠DAE+∠EDB＝60°， ∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°， ∴∠EDB＝∠DAF， ∵∠DAF＝∠AFD， ∴∠EDB＝∠AFD， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD， ∵等边三角形ABC的边长为4，AD＝3， ∴△BDE的周长为BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD＝4+3＝7． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等边对等角，证明△BDE≌△CFD是解题的关键． 课后巩固 ❤复习建议 牢记等边三角形“三边相等、三角60°”，求角度、线段时优先使用这两个性质。 判定等边三角形的三种途径：三边相等、三角相等、60°的等腰三角形，选择题要逐项核对。 三线合一是连接“中点、垂直、角平分线”的桥梁，出现中点或角平分线时优先考虑。 含30°直角三角形中“30°所对直角边等于斜边一半”常与等边三角形结合，务必熟练。 压轴题先识别手拉手、中点延长等模型，通过构造等边或全等转移线段再求解。 【作业 1】下列选项中的说法错误的是（　　） A．三个角相等的三角形是等边三角形 B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 C．有两个角相等的三角形是等边三角形 D．有两个角是60°的三角形是等边三角形 【分析】三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，据此可对A和B作出判断；有两个角是60°的三角形的三个角都是60°，故它一定是等边三角形，据此对D作出判断，再判断出C的正误，从而得到答案． 【解答】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，所以A选项正确； B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以B选项正确； C、有两个角相等的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以C选项错误； D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，所以D选项正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定定理是关键． 【作业 2】若一个三角形中有两个角的平分线分别垂直于该角所对的边，则这个三角形是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【分析】在△ABC中，∠BAC的平分线AD⊥BC，∠ABC的平分线BE⊥AC，则∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°，由此可依据“ASA”判定△ABD和△ACD中全等得AB＝AC，同理证明△ABE和△CBE全等得AB＝CB，由此得AB＝AC＝CB，据此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC的平分线AD⊥BC，∠ABC的平分线BE⊥AC，如图所示： ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠CBE，∠BEA＝∠BEC＝90°， 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（ASA）， ∴AB＝AC， 同理：△ABE≌△CBE（ASA）， ∴AB＝CB， ∴AB＝AC＝CB， ∴△ABC是等边三角形． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【作业 3】（2024秋•谯城区期末）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4在射线ON上，点B1，B2，B3在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4均为等边三角形．若OA1＝2，则A1A4的长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【分析】根据等边三角形性质及三角形外角性质证明△OA2B2是等腰三角形，得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，进而得OA2＝4，再证明△OA2B2是等腰三角形，得OA2＝A2B2＝A2A3＝4，进而得OA3＝8，同理可证明△OA3B3是等腰三角形，得OA3＝A3B3＝A3A4＝8，然后根据A1A4＝A1A2+A2A3+A3A4即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1A2＝A2B1＝A1B1，∠1＝60°， ∵∠1是△OA1B1的外角， ∴∠1＝∠2+∠MON， 又∵∠MON＝30°， ∴60°＝∠2+30°， ∴∠2＝30° ∴∠2＝∠MON＝30°， ∴△OA2B2是等腰三角形，即OA1＝A1B1＝2， ∴A1A2＝A2B1＝A1B1＝2， ∴OA2＝OA1+A1A2＝4， ∵△A2B2A3是等边三角形， ∴∠4＝60°，A2A3＝A3B2＝A2B2， ∴∠1＝∠4＝60°， ∴A1B1∥A2B2， ∴∠3＝∠2＝∠MON＝30°， ∴△OA2B2是等腰三角形，即OA2＝A2B2＝4， ∴A2A3＝A3B2＝A2B2＝4， ∴OA3＝OA2+A2A3＝4+4＝8， 同理可证明：△OA3B3是等腰三角形，即OA3＝A3B3＝8， ∵△A3B3A4是等边三角形， ∴A3A1＝A3B3＝8， ∴OA4＝OA3+A3A4＝2+4+8＝14． 故选：B． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定是解决问题的关键． 【作业 4】（2024春•龙华区期中）如图，△ABC是等边三角形，点E与点F分别在边BC与AC上，将△CEF沿直线EF折叠，使得C的对应点C′落到AB边上，当△C′BE为直角三角形时，∠FEC的度数为（　　） A．45°或75° B．45°或30° C．30°或75° D．45°或60° 【分析】先根据等边三角形性质得∠B＝60，因此当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠C′EB＝90时，则∠C'EC＝90°，由折叠的性质可得出∠FEC的度数；②当∠BC'E为直角时，则∠C'EB＝30°，进而得∠C'EC＝150，由折叠的性质可得出∠FEC的度数，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60， ∴当△C'BE为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠C′EB＝90时，如图1所示： 则∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝90°， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝45°， ②当∠BC'E为直角时，如图2所示： 则∠C'EB＝90﹣∠B＝30°， ∴∠C'EC＝180﹣∠C'EB＝150， 由折叠的性质得：∠FEC＝1/2∠C'EC＝75°， 综上所述：∠FEC的度数为 45°或75°． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠及其性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠及其性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 【作业 5】（2023秋•汉寿县期中）如图，△ABC为等边三角形，∠2＝∠3，则∠BEC的度数是 　120°　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质得∠BCA＝60°，再根据∠2＝∠3可得∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，由此得∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，然后再由三角形的内角和定理可得出∠BEC的度数． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BCA＝60°， 又∵∠2＝∠3， ∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2， ∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°， ∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°． 故答案为：120° 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，理解等边三角形的三个角都等于60°是解决问题的关键． 【作业 6】（2024秋•惠州期中）若等边三角形ABC的边长是10cm，则△ABC的周长是 　30　 cm． 【分析】根据等边三角形三条边相等得到AB＝BC＝AC＝10cm，据此根据三角形周长公式求解即可． 【解答】解：∵等边三角形ABC的边长是10cm， ∴AB＝BC＝AC＝10cm， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝30cm， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【作业 7】（2025春•鲁山县期末）在“玩转三角形”活动中，小明剪掉等边三角形的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2度数的和总是一个定值，那么∠1+∠2＝ 　240°　 ． 【分析】由等边三角形的性质得到∠A＝60°，由三角形的外角性质推出∠1+∠2＝∠A+∠AED+∠ADE+∠A＝240°． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE， ∴∠1+∠2＝∠A+∠AED+∠ADE+∠A＝180°+60°＝240°． 故答案为：240°． 【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和． 【作业 8】（2024春•上海期末）如图，点B是线段AE上一点，AB＝3BE，△ABC与△BDE都是等边三角形，联结AD、CE交于点P，过点B作BG⊥AD，BH⊥CE，垂足为G、H，联结GH，如果△ABC的面积是S，AD的长是a，那么GH＝　　 ．（用含字母S和a的代数式表示） 【分析】先求出∠CBD＝60°，进而得∠ABD＝∠CBE＝120°，由此可依据“SAS”判定△ABD和△CBE全等得∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a，再证明△ABG和△CBH全等得BG＝BH，∠ABG＝∠CBH，进而可得∠CBG＝∠DBH，由此得∠GBH＝60°，则△BGH为等边三角形，S△CBECE•BHa•GH，然后根据AB＝3BE得S△ABC＝3S△CBE，即，由此即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°，BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠CBD＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝120°，∠CBE＝∠CBD+∠DBE＝120°， 即∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE＝a， ∵BG⊥AD，BH⊥CE， ∴∠AGB＝∠CHB＝90°， 在△ABG和△CBH中， ， ∴△ABG≌△CBH（AAS）， ∴BG＝BH，∠ABG＝∠CBH， ∴∠ABC+∠CBG＝∠CBD+∠DBH， ∵∠ABC＝∠CBD＝60°， ∴∠CBG＝∠DBH， ∴∠GBH＝∠GBD+∠DBH＝∠GBD+∠CBG＝∠CBD＝60°， ∴△BGH为等边三角形， ∴GH＝BH＝BG， ∴S△CBECE•BHa•GH， ∵AB＝3BE，△ABC的面积是S， ∴S△ABC＝3S△CBE， 即， ∴GH． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点． 【作业 9】（2025秋•晋江市期末）如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，E为BC延长线上一点，且BC＝2CE，则∠E的大小为 　30°　 ． 【分析】由等边三角形性质得BC＝AC，∠ACB＝60°，根据点D为AC的中点得AC＝2CD，由此得CE＝CD，进而得∠E＝∠CDE，再根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，据此即可得出∠E的度数． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AC，∠ACB＝60°， ∵点D为AC的中点， ∴AC＝2CD， ∴BC＝2CD， ∵BC＝2CE， ∴CE＝CD， ∴∠E＝∠CDE， ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E， ∴2∠E＝60°， ∴∠E＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 【作业 10】（2026春•莲湖区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F，∠F＝30°． （1）求证：△ABC是等边三角形． （2）若BD＝2，EC＝3，求AC的长． 【分析】（1）由垂直的定义得到∠DEC＝90°，求出∠C＝60°，即可证明△ABC是等边三角形； （2）由含30度角的直角三角形的性质求出BE＝1，得到BC＝4，由等边三角形的性质得到AC＝BC＝4． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∵∠F＝30°， ∴∠C＝90°﹣30°＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AC＝BC， ∵DE⊥BC， ∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°， ∴BEBD2＝1， ∴BC＝BE+EC＝1+3＝4， ∴AC＝4． 【点评】本题考查等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形，关键是掌握等边三角形的判定方法，含30°角的直角三角形的性质． 【作业 11】如图，△ABC中，∠DAC是外角，∠DAC＝120°，AE平分∠DAC，AE∥BC．求证：△ABC为等边三角形． 【分析】根据角平分线的定义及平行的定义得到∠C＝∠B＝60°，即可得证． 【解答】证明：∵AE平分∠DAC，∠DAC＝120°， ∴∠EAC＝∠DAE＝60°， ∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C，∠DAE＝∠B， ∴∠C＝∠B＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 【点评】本题考查角平分线的定义，等边三角形的判定，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【作业 12】（2026春•同步）如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点O在△ABC内，OA＝OB＝OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义，进行判断即可． 【解答】解：∵OA＝OB＝OC， ∴△AOB，△BOC，△AOC是等腰三角形； ∵AB＝BC＝CA， ∴△ABC既是等腰三角形，也是等边三角形； 综上分析可知：等腰三角形有：△AOB，△BOC，△AOC，△ABC；等边三角形有：△ABC． 【点评】本题主要考查了等腰三角形和等边三角形的定义，熟练掌握等腰三角形定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；等边三角形定义：三边都相等的三角形是等边三角形． 【作业 13】（2024秋•市中区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的动点，BD＝CE，BE与CD交于点O． （1）求证：OB＝OC； （2）当△BDO是等腰三角形时，求∠ABE的度数． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：∠DBC＝∠ECB＝60°，证明△BCD≌△CBE，得到∠BCD＝∠CBE，即可得证； （2）由（1）得：∠BCD＝∠CBE，∠ABC＝60°，设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠ABE＝60°﹣x，∠BOD＝2x，在△BOD中，∠BDO＝∠A+∠ACD＞60°，∠DBO＜60°，推出OB≠OD，当△BDO是等腰三角形时，分两种情况：①BD＝OD，②BD＝OB，列方程即可求解． 【解答】（1）证明：由题意可得：∠DBC＝∠ECB＝60°， ∵BD＝CE， 在△BCD和△CBE中， ， ∴△BCD≌△CBE（SAS）， ∴∠BCD＝∠CBE， ∴OB＝OC； （2）由（1）得：∠BCD＝∠CBE，∠ABC＝60°， 设∠BCD＝∠CBE＝x，则∠ABE＝60°﹣x，∠BOD＝∠BCD+∠CBE＝2x， ∵∠BDO＝∠A+∠ACD＞60°，∠DBO＜60°， ∴∠BDO≠∠DBO， ∴OB≠OD， ①若BD＝OD，则∠ABE＝∠BOD， ∴60°﹣x＝2x， 解得：x＝20°， ∴∠ABE＝60°﹣20°＝40°； ②若BD＝OB，则∠BDO＝∠BOD＝2x， ∴∠ABE+∠BDO+∠BOD＝180°， ∴60°﹣x+2x+2x＝180°， ∴x＝40°， ∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°； ∴∠ABE的度数是20°或40°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． 【作业 14】如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝a，BD＝b，求CD的长． 【分析】以CD为边作等边△CDE，连接AE，证明△BCD≌△ACE（SAS），得出BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°，再结合勾股定理求解． 【解答】解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE， ∵△ABC和△CDE是等边三角形， ∴BC＝AC，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD 和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝AE＝b，∠ADC＝30°，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝90°， ∵AD＝a，AE＝b， ∴DE， ∴CD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【作业 15】（2025春•富平县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，且D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝CE． （1）∠ABC的度数． （2）求证：BE＝FE． 【分析】（1）根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，即可得出∠ABC的度数； （2）根据BE＝FE得出∠F＝∠CEF＝30°，再等边三角形的性质得出∠EBC＝30°，即可证明． 【解答】（1）解：∵BE⊥AC于E，E是AC的中点， ∴△ABC是等腰三角形，即AB＝BC， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°； （2）∵CF＝CE， ∴∠F＝∠CEF， ∵∠ACB＝60°＝∠F+∠CEF， ∴∠F＝30°， ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC， ∴∠EBC＝30°， ∴∠F＝∠EBC， ∴BE＝EF． 【点评】此题考查等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $