专题04 全等三角形模型之半角模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学讲义通过模型框架图系统梳理半角模型知识体系，涵盖正方形与等腰直角型、等边型等类型，聚焦旋转构造SAS全等的核心思想，用思维导图呈现“模型条件-辅助线作法-结论推导”的逻辑链条，突出动态几何探究的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与动态探究指导，基础题巩固模型应用（如正方形中EF=BE+DF的证明），压轴题结合旋转变式（如点在延长线时线段差关系），培养几何直观与推理能力。易错点口诀帮助学生规避错误，教师可依此实施分层教学，提升复习效率。

专题04 全等三角形模型之半角模型 半角模型是初中几何从静态全等过渡到动态旋转探究的代表模型。各地期末、模考、中考命题人十分青睐：条件简洁，辅助线套路固定，但变式繁多，可以很好考查学生几何构造能力。核心思想：通过旋转 / 截长补短构造两组 SAS 全等，完成线段的转移，求解线段和差、三角形周长定值、角度定值。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 2 模型2.半角模型（等边型） 8 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 33 半角模型本质来源于图形旋转不变性，是欧式几何经典构造模型。 该模型没有特定数学家命名，是后世教研基于旋转全等总结出的经典模型。 将图形一部分绕公共顶点旋转，让相等的边重合，把分散两条线段拼接为一条线段，再证明二次全等。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短或旋转构造全等三角形，解决角度和线段问题。 1）全等三角形 SAS 判定定理；正方形、等边三角形、等腰三角形边角性质； 2）旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 3）角度和差运算、邻补角； 勾股定理，利用勾股建立方程求线段； 4）截长补短辅助线思想；联动模型：手拉手旋转模型。 模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【典例2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点，分别在，上，，，连接，则的面积为 ． 【典例3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； (3)如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究之间的关系． 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类题的目的，下面是一个题目案例． 原题：如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，，连接．求证：． 【思路梳理】如图1，延长至点G，使，连接，通过及，可证； 【类比联想】（1）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若，试判断是否成立，并说明理由； （2）如图3，在中，，，点M、N在边上，且，，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程； 【引申拓展】（3）在等腰直角中，点P在斜边上，请直接写出、、所满足的数量关系． 【典例5】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 模型2.半角模型（等边型） 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 2）条件：如图2，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 3）条件：如图3，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【典例2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【典例3】（25-26湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【典例4】（25-26八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形，（依据1），． ，，， （依据2），． ，，， ，即，． ，，，． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务：(1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【典例5】（25-26七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 模型常见易错点 1）乱套半角结论，忽略三大条件 错误：只要看到 45° 就直接写（EF=BE+DF）。 解决方案：做题先核对：共顶点、两条边相等、大角的一半，三者缺一不可。 2）分不清线段 “和” 与 “差” 错误：点在延长线上，依旧使用（EF=BE+DF）。 解决方案：点在边上，线段相加；点在延长线上，线段相减，做题先观察动点位置。 3）解答题直接写 “由半角模型得” 错误：大题直接默写模型结论，无推导，直接扣分。 解决方案：选择填空可以直接用结论；解答题必须做辅助线，完整写出两次SAS全等证明。 4）辅助线构造出错 错误：随意作垂线、连接线段，不会旋转/截长补短。 解决方案：标准辅助线：延长边截取等线段，构造第一次全等。 5）半角模型与对角互补模型混淆 半角模型核心：共顶点等边+半角，求线段和差；对角互补核心：对角互补，垂线构造全等，重点处理角度。 解题方法总结 判定模型：检查条件：共顶点、两条边相等、内部存在半角； 作辅助线：延长其中一条边，截取线段等于已知短线段，实现旋转拼接； 第一次 SAS 全等：转移边、转移角；角度倒角：证明拼接得到的角等于半角； 第二次 SAS 全等：完成线段等量转化；根据点的位置，选用和或者差，求解线段、周长（可能会结合勾股）。 记忆口诀：共顶等边含半角，延长截线造全等； 两组 SAS 来证明，边上求和延求差； 选填可速算，大题要证全。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在，上，若，且，求的长． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． (1)写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 4．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 5.（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，点M， N分别在正方形的边，上，，点E在的延长线上，，连接．(1)求证：；(2)若， ，求的长． 6．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且， (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，． （1）若，则 ． （2）点D和点E是上的点且，若，则 ． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边上，，若，则F点的纵坐标是 ． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）． (1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． (2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    5．（2025·山东济宁·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）请依次完成以下三个问题： (1)如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长； (3)如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接 1．（2025·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）（1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，若，求证：，请将下面的证明思路补充完整． ①添加辅助线：延长至点，使，连接，； ②先证明______可得到，再证明____________可得到，从而得到：；③若，，求的长． （2）【迁移与应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），，分别在，上，交于点，，若，，直接写出的值． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．(3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知正方形中，，连接与，分别交于E，F点． (1)求证：；(2)若正方形边长是，，求的长； (3)设，，则的取值范围：________________．（直接写出答案） 5．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解答下列各题： (1)【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”如图1，点E，F分别在正方形的边上，，我们把绕点A逆时针旋转至，再通过证明与全等，从而发现之间的数量关系是_____（直接写出答案） (2)【探究引申】如图2，在等邻边四边形中，，，．点E，F分别在边上，则当与满足怎样的数量关系时，上面中的结论仍成立？请说明理由． (3)【问题解决】如图3，在等邻边四边形中，已知米，，，，在上分别取点E，F，且，米．求线段的长． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）问题背景  （1）在中，，，E，F分别是边所在直线上的两点，且．如图1，过点A作，且，连接，，可以证明，再可以证明．请直接写出，，之间的数量关系______． 尝试迁移  （2）在“问题背景”的条件下，将绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，，，求的周长． 拓展创新  （3）如图3，在中，，点D，E在边上，，，若，，请直接写出的长______． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为_______海里． 8.（2025·湖南湘潭·一模）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是： 将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系． （1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______；②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形模型之半角模型 半角模型是初中几何从静态全等过渡到动态旋转探究的代表模型。各地期末、模考、中考命题人十分青睐：条件简洁，辅助线套路固定，但变式繁多，可以很好考查学生几何构造能力。核心思想：通过旋转 / 截长补短构造两组 SAS 全等，完成线段的转移，求解线段和差、三角形周长定值、角度定值。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 2 模型2.半角模型（等边型） 8 易错点与方法总结 17 模型运用 18 A组（基础题） 18 B组（能力提升题） 24 C组（综合压轴题） 33 半角模型本质来源于图形旋转不变性，是欧式几何经典构造模型。 该模型没有特定数学家命名，是后世教研基于旋转全等总结出的经典模型。 将图形一部分绕公共顶点旋转，让相等的边重合，把分散两条线段拼接为一条线段，再证明二次全等。 ‌半角模型‌：90°含45°、120°含60°等特殊旋转，通过截长补短或旋转构造全等三角形，解决角度和线段问题。 1）全等三角形 SAS 判定定理；正方形、等边三角形、等腰三角形边角性质； 2）旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等； 3）角度和差运算、邻补角； 勾股定理，利用勾股建立方程求线段； 4）截长补短辅助线思想；联动模型：手拉手旋转模型。 模型1.半角模型（正方形与等腰直角型） 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 2）条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·山东日照·阶段练习）如图，在边长为5的正方形内作，交于点，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】解：如图，延长至使得，连接， ∵边长为5的正方形，∴，， ∴，，又∵，∴， ∴，，∵，∴， ∴，即，∴， 又∵，∴，∴， 设，则，， ∵在中，，∴，解得：，即．故选：A． 【典例2】（2025·湖南永州·模拟预测）如图，在边长为4的正方形中，点，分别在，上，，，连接，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：延长至点，使， ∵正方形，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∵，即：，∴垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴， 设，则：，，在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：或（舍去）；∴， ∴的面积；故答案为：． 【典例3】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知：正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交从（或它们的延长线）于点M、N．当绕点A旋转到时（如图1），易证． (1)当绕点A旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想 (2)当绕点A旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？猜想并加以证明； (3)如图4，若把（1）中的正方形改为等腰直角三角形，，E，F是底边上任意两点，且满足，试探究之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析(2)．理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下：如图2，把绕点A顺时针旋转得到， ∴，∴， ∴点E，点B，点C三点共线，∴，又∵， 在与中，，∴，∴， ∵，∴． （2）解：．理由如下：如图：在线段上截取， 在与中，，∴，∴，， 如图：连接，则， ∵∴， ∵，∴， ∵，∴． 在和中，，∴，∴， ∵∴． （3）解：，理由如下：∵是等腰直角三角形，，∴， 如图，以点D为旋转中心，将顺时针旋转得，则， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴． 【典例4】（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类题的目的，下面是一个题目案例． 原题：如图，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，，连接．求证：． 【思路梳理】如图1，延长至点G，使，连接，通过及，可证； 【类比联想】（1）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若，试判断是否成立，并说明理由； （2）如图3，在中，，，点M、N在边上，且，，猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程； 【引申拓展】（3）在等腰直角中，点P在斜边上，请直接写出、、所满足的数量关系． 【答案】（1）见解析；  （2）；    （3）； 【详解】解：（1）成立，理由如下：延长至点使， ∵，，∴， ∵，，，∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，又，∴∴， （2），理由如下：把绕点逆时针旋转至，可使和重合，连接．∴，∴， ∵，，∴∴ ∴∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴∴ （3），理由如下：过点C作于点Q， ∵在等腰直角中，，∴， ∵点P在斜边上，∴， ∴，即． 【典例5】（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：如图，∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴，故①正确， ∵全等于，全等于，∴，， ∴三角形的周长等于，故②正确， 将绕点B顺时针旋转90°得到，连接，∴， ∴，∴，∵，， ∴，∴，∵，∴，故③错误， 连接，，∵，，∴， ∴的最小值为，故④正确，故选：B． 模型2.半角模型（等边型） 【模型提炼与证明】 1）条件：如图1，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 2）条件：如图2，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 3）条件：如图3，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10 【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：； （2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G． ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 【典例2】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在等边三角形中，在边上取两点，使．若，则以为边长的三角形的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，，，，∵是等边三角形，∴， ∵ ，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∵ ，∴， 又∵，∴是以为边长的钝角三角形，故选：． 【典例3】（25-26湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图，∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴，∴，答：的长为． 【典例4】（25-26八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是莉莉同学的数学学习笔记的部分内容．请仔细阅读，并完成相应的任务． 神奇的“半角模型” 初中数学中存在一些常见模型，“半角模型”就是其中之一，“截长补短”法是解决这类问题的一种常用方法． 例题：如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 证明：如图，延长至点G，使得． 四边形是正方形，（依据1），． ，，， （依据2），． ，，， ，即，． ，，，． 拓展：如图，在四边形中，，， ，E，F分别是边上的点，且，． 求五边形的周长． 任务：(1)材料中的依据1是指________________，依据2是指________________． (2)根据例题中的方法，补全材料“拓展”中的辅助线． (3)在材料“拓展”中，五边形的周长为________． 【答案】(1)正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）． (2)见解析(3)18 【详解】（1）材料中的依据1是指正方形的四条边相等（或正方形的性质）；依据2是指全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质） 故答案为：正方形的四条边相等（或正方形的性质）；全等三角形的对应边相等（或全等三角形的性质）； （2）补全辅助线如图所示：将绕点顺时针旋转得到， （3）将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ，、、三点共线， ，，， ，，，，， 五边形的周长，故答案为：． 【典例5】（25-26七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析(3)210海里(4) 【详解】（1）解：；理由如下：如图1，延长到点G，使．连接， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， 即，在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， 即，在和中，，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，，∴， ∵，，∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立，即（海里）．∴此时两舰艇之间的距离为210海里． （4）解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴， 在中，，∴． 模型常见易错点 1）乱套半角结论，忽略三大条件 错误：只要看到 45° 就直接写（EF=BE+DF）。 解决方案：做题先核对：共顶点、两条边相等、大角的一半，三者缺一不可。 2）分不清线段 “和” 与 “差” 错误：点在延长线上，依旧使用（EF=BE+DF）。 解决方案：点在边上，线段相加；点在延长线上，线段相减，做题先观察动点位置。 3）解答题直接写 “由半角模型得” 错误：大题直接默写模型结论，无推导，直接扣分。 解决方案：选择填空可以直接用结论；解答题必须做辅助线，完整写出两次SAS全等证明。 4）辅助线构造出错 错误：随意作垂线、连接线段，不会旋转/截长补短。 解决方案：标准辅助线：延长边截取等线段，构造第一次全等。 5）半角模型与对角互补模型混淆 半角模型核心：共顶点等边+半角，求线段和差；对角互补核心：对角互补，垂线构造全等，重点处理角度。 解题方法总结 判定模型：检查条件：共顶点、两条边相等、内部存在半角； 作辅助线：延长其中一条边，截取线段等于已知短线段，实现旋转拼接； 第一次 SAS 全等：转移边、转移角；角度倒角：证明拼接得到的角等于半角； 第二次 SAS 全等：完成线段等量转化；根据点的位置，选用和或者差，求解线段、周长（可能会结合勾股）。 记忆口诀：共顶等边含半角，延长截线造全等； 两组 SAS 来证明，边上求和延求差； 选填可速算，大题要证全。 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在边长为5的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．交于点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 在和中，，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴，， 设，则，，， 在中，根据勾股定理，得，即，解得．故选：A． 2．（25-26八年级上·四川自贡·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在，上，若，且，求的长． 【答案】 【详解】解：把绕点C逆时针旋转得，此时E，B，三点共线， 则，连接，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，∴， 设，则，∵，∴， 在中，，∴，解得：， 在中，，，∴，解得：．即的长为． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”；小明为了解决线段之间的关系，将绕点A顺时针旋转后（如图2）解决了这个问题． (1)写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，等腰中，，，点E，F在边上，且，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：；理由如下： 四边形是正方形，； 绕点A顺时针旋转后得到，，； ，即点G在的延长线上； ，，，即； ，，，即； 故线段之间的数量关系为：； （2）解：；理由如下：，，； 把绕点A顺时针旋转后得到，如图， 则，； ，即，； ，，，即； ，，，． 4．（25-26九年级上·山西·期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故． 任务： 如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】成立，见解析 【详解】解：成立．证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ，、、三点共线， ，， ，，，，． 5.（25-26八年级下·河南商丘·期末）如图，点M， N分别在正方形的边，上，，点E在的延长线上，，连接．(1)求证：；(2)若， ，求的长． 【答案】(1)见解析(2)5 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴， 在与中，，∴，∴； （2）解：∵四边形是正方形，∴，∴，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴． 6．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）定义，我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型．常见的图形为正方形、正三角形、等腰直角三角形等，在解决“半角模型”的问题时，旋转是一种常用的方法． 已知，如图，四边形是正方形，，分别在边、上，且， (1)在图1中，连接，为了证明结论“”，小亮将绕点顺时针旋转后解答了这个问题，请按小亮的思路写出证明过程；(2)如图2，当绕点旋转到图位置时，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)见解析(2)． 【详解】（1）证明：如图1，由旋转可得，， 四边形为正方形 、、三点在一条直线上 在和中 ； （2）解：结论：． 理由：如图，把绕点逆时针旋转，使与重合，点与点对应，同（）可证得， ，且，． 1．（25-26八年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，． （1）若，则 ． （2）点D和点E是上的点且，若，则 ． 【答案】 【详解】解：（1）∵，∴， ∴；故答案为： （2）将绕点旋转，得到，连接，如图： 则：，，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，即：， 又∵，∴，∴；故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，在正方形中，点B的坐标是，点E、F分别在边上，，若，则F点的纵坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，根据正方形的性质可得，将绕点顺时针旋转，此时，点与点重合，点落在点处，连接， ∵四边形为正方形，，点B的坐标是， ∴,正方形的边长为6，∴，∴， 又∵，∴， 在中，由勾股定理得，，， 假设，则，，在中，由勾股定理得，， 即，解得，所以，F点的纵坐标是，故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）在正方形中，，绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于M，N两点，当绕点A旋转到时，如图1，易证：（不需证明）． (1)当绕点A旋转到时，如图2，线段，和之间有怎样的数量关系？并说明理由． (2)当绕点A旋转到如图3所示的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下：如图2，把绕点A顺时针旋转，得到， 由旋转的性质得：，，，， ∵四边形是正方形∴∵∴E，B，M三点共线， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． （2）解：，理由如下：如图3，在线段上截取， ∵四边形是正方形∴ 在和中，，∴，∴， ∵，∴ ∵∴， 在和中，，∴，∴， ∵∴． 4．（25-26八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型称为半角模型． 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点．则之间的数量关系为_________． 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，，，以A为顶点的，与边分别交于E，F两点，且，求五边形的周长． 【问题拓展】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E，F分别在射线上，且．当，，时，请直接写出的周长．    【答案】（1）；（2）22；（3）18 【详解】解：（1）， 理由：如图，将绕点顺时针旋转得到，    ， ，∴点在一条直线上， ∵四边形为正方形，， ，，， 在和中，，， ，，故答案为：； （2）解：将绕点顺时针旋转得到，   ， ，三点共线， ，，， ，，，， 五边形的周长； （3）解：在上截取，    ，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， ． 5．（2025·山东济宁·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到，∴， ∴，，，， ∵，∴点，，三点共线， ∵，∴，∴， ∴在和中，，∴，∴； （2）在上取点，使得， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，设， ∵，，，∴，，， ∴在中，，∴，解得：，∴； （3）在上取点，使得 ∵与互补，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∵，，，∴． 6．（24-25八年级下·广东深圳·期中）请依次完成以下三个问题： (1)如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ． (2)如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长； (3)如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接 【答案】(1)，(2)(3)， 【详解】（1）解：由旋转的性质可得：，，， ，， 在和中，，，， ，，故答案为：，； （2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，， 又∵在等腰直角中，，∴∴ ，， 在和中，，，， ∵，∴在中，∴ （3）直角中，，，∴，取中点，连接 ∴，∴是等边三角形，∵，∴， 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 是等边三角形，， 由旋转的性质可得：，，，， ，， ，，，， 作交的延长线于点，， ， ，，，， ∵，，∴ 设，则，，∴， ，， 在中，∴解得：，． 1．（2025·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】（1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】（2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】（3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到，∴， ∴，，，，，三点共线， ∵，∴，∴， ∴在和中，，∴，∴； （2）在上取点，使得， ∵，∴， ∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，设， ∵，，，∴，， ∴在中，，∴，解得：，∴． （3）在上取点，使得，∵与互补，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∵，，，∴． 2．（25-26八年级上·河南许昌·期末）（1）【操作与探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，若，求证：，请将下面的证明思路补充完整． ①添加辅助线：延长至点，使，连接，； ②先证明______可得到，再证明____________可得到，从而得到：；③若，，求的长． （2）【迁移与应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），，分别在，上，交于点，，若，，直接写出的值． 【答案】（1）①作图见解析；②；；；③；（2） 【详解】解：①画图如图所示： ②证明：∵正方形，∴，， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； ③设正方形边长为x，∵，，∴， 由②得，根据勾股定理得，，解得，正方形的边长． （2）作，连接，∵，，∴，∴， ∵，∴，∵，， ∴四边形是平行四边形，∴，设，则， 根据解析（1）可得：， 在中，根据勾股定理得，，，解得：， ∴，，∴． 3．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．(3)如图4，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3)40 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，，四边形为正方形，， ，，，， 在和中，，，， ，； （2）猜想：，证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，    ，，，， ，，，即，， 又，，，即， 在和中，，． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，    ，，，， ，，，，即， 又，， 在和中，， 过点D作，垂足为，∵，∴，∴， ． ∴，∴，∴． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，已知正方形中，，连接与，分别交于E，F点． (1)求证：；(2)若正方形边长是，，求的长； (3)设，，则的取值范围：________________．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）证明：过点A作交于点，如图所示：，， 四边形是正方形，，， ，，， ，， ，即，， 在和中，，， ，，， 在和中，，，，； （2）过点A作，过点作交于点，连接，如图所示： 正方形的边长为，，，， ，在中，由勾股定理得：， ，，，， 同（1）可证明：，， 在和中，，，，， 在和中，，，， 在中，由勾股定理得：，， 在和中，，， ，即， 在和中，，∴， 设，， ∵，，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去），； （3）由（1）可知：，，当且仅当时等号成立， 当时，为最小，此时为最小，， 在的延长线上取一点，使，在上取一点，使，连接，，如图所示： 由（2）可知：，，， 在和中，，， ，是等腰直角三角形，，由勾股定理得： ，，， ，，， ，即的最小值为， 当点与于点重合时，点与点重合，此时为最大， 的最大值为，的取值范围是：．故答案为：． 5．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）解答下列各题： (1)【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四边形，叫作“等邻边四边形”．正方形是一个特殊的“等邻边四边形”如图1，点E，F分别在正方形的边上，，我们把绕点A逆时针旋转至，再通过证明与全等，从而发现之间的数量关系是_____（直接写出答案） (2)【探究引申】如图2，在等邻边四边形中，，，．点E，F分别在边上，则当与满足怎样的数量关系时，上面中的结论仍成立？请说明理由． (3)【问题解决】如图3，在等邻边四边形中，已知米，，，，在上分别取点E，F，且，米．求线段的长． 【答案】(1)(2)当时，结论仍成立， 见解析 (3)线段的长为米 【详解】（1）解：，理由是： 如图，，，，． 又，即，． ，，D，G三点共线， 在和中，，．， 又，，．故答案为． （2）当时，结论仍成立，理由如下：如图，延长至M，使，连接， ，，， 在和中，，，，． ，，， 在和中，，， ，即． （3）如图，把绕点A逆时针旋转至，连接，过A作，垂足为H， ，，．又，是等边三角形， ．根据旋转的性质得到． 又，，即点G在CD的延长线上． 由旋转得，，，． 又，，∴，∴， ，∴， 又，根据上述推论有， 即线段的长为米； 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）问题背景  （1）在中，，，E，F分别是边所在直线上的两点，且．如图1，过点A作，且，连接，，可以证明，再可以证明．请直接写出，，之间的数量关系______． 尝试迁移  （2）在“问题背景”的条件下，将绕点A逆时针旋转至如图2所示位置，，，求的周长． 拓展创新  （3）如图3，在中，，点D，E在边上，，，若，，请直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）过点A作，且，连接，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴， 在中，，∴； （2）过点A作，且，连接，， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，设，则， ∵，∴，在中，，即，解得， ∴，∵，∴，∴； （2）作，，交于点，连接，，，作交的延长线于点，作于点，∵，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，∴，同理， ∴，∴四边形是平行四边形，∴，∴， 在中，，，∴，∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，∴， ∴是等腰直角三角形，且，∴，∴， 在中，，故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为_______海里． 【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【详解】解：【问题背景】，理由如下，如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴，∴，，， ∵，∴，∴点共线， ∵，，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴， ∵，∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点，∴， 在中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∴，即， 在中，，∴，∴， ∵，∴，故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下，如图所示，延长至点，使得，   ∵，，∴， 在中，，∴，∴，， ∵，∴， 即，∴， 在中，，∴， ∴，且，∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵，∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则， 在中，，∴，∴，， ∴， ∴在中，，∴， ∴，∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里，故答案为：． 8.（2025·湖南湘潭·一模）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系． 小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是： 将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系． （1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论： 在图②中，______度，之间的数量关系是______． 【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究： 如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想： ①线段的数量关系是______；②线段的数量关系是______； 请任选一个你的猜想说明理由． 【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①，②，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图2，∵在中，，∴， 由旋转性质得，，，，∴，∵， ∴，则， ∴，又，，∴，则， 在中，，∴，故答案为：，； （2）猜想：①；②；选择猜想②，证明过程如下： ∵四边形是正方形，∴，，如图③，将绕点B逆时针旋转，得到，则，，，， ∴，则G、D、F、C共线， ∵，∴， ∴，又，，∴，∴， ∵，∴；故答案为：①；②； （3）如图，在y轴正半轴上截取，连接，，则， 由（1）得，∵点，点，∴，， ∴，，∴，解得， ∴，则点C坐标为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $