第1讲 三角形中的线段和角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册

第1讲 三角形中的线段和角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 思维导图 课程目标 · 理解三角形的定义与分类，能根据角的特征准确判断三角形的形状 · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否组成三角形并求第三边的取值范围 · 认识三角形的角平分线、中线、高，能在图形中正确识别三类线段 · 会利用中线平分面积、角平分线平分角的性质进行面积与线段的计算 · 能运用三角形相关知识解决实际情境问题与图形探究类压轴题 知识梳理 ⭐️ 1. 三角形的概念与分类 · 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，用符号“△ABC”表示。 · 按角分类：锐角三角形（三个内角都小于90°）、直角三角形（有一个内角等于90°）、钝角三角形（有一个内角大于90°）。 · 按边分类：三边都不相等的三角形、等腰三角形（两边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 · 三角形具有稳定性：三条边确定后，三角形的形状与大小唯一确定。 【概念辨析·典型例题】 若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是____三角形。 答案：钝角 解析：三角形的外角与相邻的内角互补：外角为锐角，则相邻内角必为钝角（大于90°）。有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形，故△ABC一定是钝角三角形。 ⭐️ 2. 三角形三边关系 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 · 设三边为a、b、c，则第三边c满足 |a−b|＜c＜a+b。 · 判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边即可。 【概念辨析·典型例题】 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） 答案：12 解析：设第三边为x，由三边关系得 5−2＜x＜5+2，即3＜x＜7。x为奇数，故x＝5。周长＝2+5+5＝12。 ⭐️ 3. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 · 一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 · 三条中线交于三角形内部一点，该点称为重心。 【概念辨析·典型例题】 如图，AD是△ABC的中线，S△ABD＝4，则△ABC的面积是（　　） 答案：8 解析：AD是△ABC的中线，则BD＝DC，△ABD与△ACD等底同高，面积相等。故S△ACD＝S△ABD＝4，△ABC的面积＝S△ABD+S△ACD＝8。 ⭐️ 4. 三角形的角平分线与高 · 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于三角形内部一点（内心）。 · 高：从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。 · 注意：钝角三角形的两条高在三角形外部；直角三角形两条直角边互为高。 【概念辨析·典型例题】 如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） 答案：垂足在AC（或其延长线）上的选项 解析：三角形的高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段。作AC边上的高，应从顶点B向AC所在直线作垂线，垂足在直线AC上（可能在边AC上，也可能在延长线上），据此判断图形。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 三角形 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，记为△ABC 有3个顶点、3条边、3个内角 三角形分类 按角：锐角、直角、钝角三角形；按边：不等边、等腰三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 三边关系 任意两边之和大于第三边；|a−b|＜c＜a+b 判断能否构成三角形时比较较短两边之和 中线 顶点与对边中点间的线段 中线平分对边，且平分三角形面积 角平分线 顶点处内角的平分线段，交于对边 三条角平分线交于内部一点（内心） 高 顶点向对边所在直线所作的垂线段 钝角三角形的两条高在三角形外部 核心考点 【考点1】三角形概念与分类（第1-5题） · 按角判断三角形类型：外角为锐角时相邻内角为钝角，则该三角形为钝角三角形。 · 能识别图形计数、分形（如谢尔宾斯基三角形）中的三角形个数，注意归纳规律。 · 结合三角形外角性质、内角和定理求角的度数。 1．（2026春•上党区期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（　　） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 2．（2024秋•吴江区期末）谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．简单来说，就是一个有自身组成的三角形通过不断迭代而成．求经过3次迭代后的谢尔宾斯基三角形中总共有多少个三角形（　　） A．48 B．52 C．64 D．以上答案均错误 3．（2025秋•汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是_____ 角三角形． 4．（2026春•泰和县期末）如图，已知∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，点P是射线OM上一动点（P与B不重合），当以A、O、B三点中某两点与P点构成的三角形是等腰三角形时，∠OAP的度数为_________________ ． 5．（2020秋•贺兰县期末）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③． （1）图②有_____ 个三角形；图③有_____ 个三角形； （2）按上面的方法继续下去，第10个图有_______ 个三角形，第n个图形中有_________ 个三角形．（用含n的代数式表示） 【考点2】三角形三边关系（第6-17题） · 求第三边范围用 |a−b|＜c＜a+b，再结合题目条件（整数、奇数等）确定具体值。 · 判断三条线段能否构成三角形：较短两边之和大于第三边。 · 遇到非负式（绝对值、完全平方）先求边长，再代入三边关系求解。 6．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 7．（2025秋•平城区校级期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．3，3，5 D．7，7，15 8．（2025秋•辛集市期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 9．（2026春•上海期中）已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 10．（2025秋•德庆县期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 11．（2025秋•南昌期末）若三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm，则a的取值范围是___________ ． 12．（2026春•封丘县期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 _______ ． 13．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 __________ ． 14．（2026春•天府新区校级期中）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P．分别测得PA＝9m，PB＝7m，若A、B间的距离长度为偶数（单位：m），那么A、B间的最大距离是_______ m． 15．（2025秋•金湾区期末）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是__________ ． 16．（2025秋•西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞_______ ，PD+CD＞_______ ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞__________ ，即AB+AC＞__________ ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 17．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【考点3】三角形的角平分线、中线和高（第18-32题） · 中线平分对边且平分三角形面积，注意等底同高模型的转化。 · 角平分线把角分成相等的两部分，常与三角形内角和、外角性质联用。 · 识别高线时注意垂足落在对边所在直线上，钝角三角形的高可在外部。 18．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 19．（2024秋•醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•郑州校级期中）下列说法正确的有（　　）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．5 21．（2025秋•兴化市期末）如图，AD是△ABC的中线，S△ABD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 22．（2025春•二七区校级期末）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 23．（2025秋•朝阳区期末）下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 24．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 _______ ． 25．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝6，则△ABC的周长为 _________________ ． 26．（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的_____ 倍． 27．（2025秋•盐都区期中）△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°，BD为△ABC的中线，则∠ADB＝ ________ °． 28．（2024秋•临高县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数． （2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 29．（2025•丽水一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是AB边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长； （2）若CD⊥AB于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 30．（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 31．（2026春•正定县期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝4，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为_____ ； （2）若∠ABC＝70°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 32．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 随堂检测 【练习 1】（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【练习 2】（2025秋•广汉市校级期末）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域ABC内种植一片防护林．已知其中两边AB＝5km，AC＝3km，那么第三边BC的长度不可能是（　　） A．3km B．5km C．7km D．9km 【练习 3】（2025春•高碑店市期末）如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l．若l⊥BC，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【练习 4】（2025秋•巫山县期末）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【练习 5】（2025秋•晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 课后巩固 ❤复习建议 熟记三角形三边关系定理，判断能否构成三角形时优先比较较短两边之和与第三边。 弄清角平分线、中线、高的定义区别，特别注意钝角三角形的高可能在三角形外部。 掌握“中线平分面积”“角平分线平分角”的等量转化，并结合周长差、非负性条件列式计算。 归纳折叠、图形计数、实际情境等题型中三角形知识的应用，积累常见模型与解题套路。 【作业 1】（2026春•萍乡期末）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|2a+2b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　） A．2a B．a+3b﹣2c C．2（a+b） D．﹣2b 【作业 2】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【作业 3】（2026春•埇桥区校级期末）已知三角形的三边长分别为3，m，6，则整数m的最小值是_____ ． 【作业 4】（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为_____________ ． 【作业 5】（2024秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数． 【作业 6】（2025秋•靖边县期末）已知一个三角形的三边长为a，b，c，若a＝2，b＝5，求该三角形的周长C的取值范围． 【作业 7】（2025秋•禄劝县校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求c的值； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c|． 【作业 8】（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 【作业 9】（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 【作业 10】（2026春•鲤城区校级期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x． （1）求x的取值范围； （2）若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 三角形中的线段和角 优等生讲义 (知识梳理+典例+压轴+练习) 2026-2027学年 苏科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 思维导图 课程目标 · 理解三角形的定义与分类，能根据角的特征准确判断三角形的形状 · 掌握三角形三边关系定理，会判断三条线段能否组成三角形并求第三边的取值范围 · 认识三角形的角平分线、中线、高，能在图形中正确识别三类线段 · 会利用中线平分面积、角平分线平分角的性质进行面积与线段的计算 · 能运用三角形相关知识解决实际情境问题与图形探究类压轴题 知识梳理 ⭐️ 1. 三角形的概念与分类 · 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，用符号“△ABC”表示。 · 按角分类：锐角三角形（三个内角都小于90°）、直角三角形（有一个内角等于90°）、钝角三角形（有一个内角大于90°）。 · 按边分类：三边都不相等的三角形、等腰三角形（两边相等，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 · 三角形具有稳定性：三条边确定后，三角形的形状与大小唯一确定。 【概念辨析·典型例题】 若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是____三角形。 答案：钝角 解析：三角形的外角与相邻的内角互补：外角为锐角，则相邻内角必为钝角（大于90°）。有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形，故△ABC一定是钝角三角形。 ⭐️ 2. 三角形三边关系 · 定理：三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 · 设三边为a、b、c，则第三边c满足 |a−b|＜c＜a+b。 · 判断三条线段能否组成三角形：只需验证较短两边之和大于最长边即可。 【概念辨析·典型例题】 一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） 答案：12 解析：设第三边为x，由三边关系得 5−2＜x＜5+2，即3＜x＜7。x为奇数，故x＝5。周长＝2+5+5＝12。 ⭐️ 3. 三角形的中线 · 定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 · 一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 · 三条中线交于三角形内部一点，该点称为重心。 【概念辨析·典型例题】 如图，AD是△ABC的中线，S△ABD＝4，则△ABC的面积是（　　） 答案：8 解析：AD是△ABC的中线，则BD＝DC，△ABD与△ACD等底同高，面积相等。故S△ACD＝S△ABD＝4，△ABC的面积＝S△ABD+S△ACD＝8。 ⭐️ 4. 三角形的角平分线与高 · 角平分线：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；三条角平分线交于三角形内部一点（内心）。 · 高：从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段。 · 注意：钝角三角形的两条高在三角形外部；直角三角形两条直角边互为高。 【概念辨析·典型例题】 如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） 答案：垂足在AC（或其延长线）上的选项 解析：三角形的高是从顶点向对边所在直线所作的垂线段。作AC边上的高，应从顶点B向AC所在直线作垂线，垂足在直线AC上（可能在边AC上，也可能在延长线上），据此判断图形。 📋 知识总结表 核心概念 定义或公式 注意事项 三角形 不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，记为△ABC 有3个顶点、3条边、3个内角 三角形分类 按角：锐角、直角、钝角三角形；按边：不等边、等腰三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 三边关系 任意两边之和大于第三边；|a−b|＜c＜a+b 判断能否构成三角形时比较较短两边之和 中线 顶点与对边中点间的线段 中线平分对边，且平分三角形面积 角平分线 顶点处内角的平分线段，交于对边 三条角平分线交于内部一点（内心） 高 顶点向对边所在直线所作的垂线段 钝角三角形的两条高在三角形外部 【考点1】三角形概念与分类（第1-5题） · 按角判断三角形类型：外角为锐角时相邻内角为钝角，则该三角形为钝角三角形。 · 能识别图形计数、分形（如谢尔宾斯基三角形）中的三角形个数，注意归纳规律。 · 结合三角形外角性质、内角和定理求角的度数。 1．（2026春•上党区期末）长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（　　） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 【分析】根据三角形三条边的关系“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”即可求解． 【解答】解：设第三根木料的长度为x米， 根据三角形的三边关系，得8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形三条边的关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 2．（2024秋•吴江区期末）谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．简单来说，就是一个有自身组成的三角形通过不断迭代而成．求经过3次迭代后的谢尔宾斯基三角形中总共有多少个三角形（　　） A．48 B．52 C．64 D．以上答案均错误 【分析】取一个实心的三角形，挖去一个“中心三角形”，为1次迭代，然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，为2次迭代......推断出3次迭代后图中的三角形的个数即可． 【解答】解：1次迭代后三角形的个数为：1+4＝5， 2次迭代后三角形的个数为：5+4×3＝17， 3次迭代后三角形的个数为：17+4×9＝53， 故选：D． 【点评】本题考查有关三角形的猜想归纳．理解谢尔宾斯基三角形一次迭代的意义是解决本题的关键． 3．（2025秋•汉阴县期末）若△ABC中有一个外角是锐角，则△ABC一定是　钝　 角三角形． 【分析】利用三角形的外角与相邻的内角互补的性质即可求解． 【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角， ∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角， 故相邻的内角大于90度， 故△ABC是钝角三角形． 故答案为：钝． 【点评】本题主要考查了三角形的外角性质，掌握三角形的外角与相邻的内角互补是解题的关键． 4．（2026春•泰和县期末）如图，已知∠AOB＝30°，∠ABM＝60°，点P是射线OM上一动点（P与B不重合），当以A、O、B三点中某两点与P点构成的三角形是等腰三角形时，∠OAP的度数为　120°或75°或90°　 ． 【分析】先由三角形外角性质求出∠OAB＝30°，则∠OAB＝∠AOB＝30°，进而得OB＝AB，再分两种情况讨论如下： （1）当点P，A，O三点构成等腰三角形时，又有有以下三种情况：①当AO＝AP时，则∠APO＝∠AOB＝30°，由三角形内角和定理得∠OAP＝120°，②当AO＝PO时，则∠OAP＝∠OPA，由三角形内角和定理得∠OAP＝75°；③当OP＝AP时，由于OB＝AB，则点P与点B重合，不符合题意； （2）当点P，A，B三点构成等腰三角形时，由于∠ABM＝60°，则△ABP是等边三角形，由此得∠BAP＝60°，进而得∠OAP＝90°；综上所述即可得出∠OAP的度数． 【解答】解：∵∠AOB是△AOB的外角， ∴∠ABM＝∠AOB+∠OAB， ∵∠AOB＝30°，∠ABM＝60°， ∴∠OAB＝∠ABM﹣∠AOB＝60°﹣30°＝30°， ∴∠OAB＝∠AOB＝30°， 在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝30°， ∴OB＝AB， ∴△AOB是等腰三角形， ∵点O，B，P都在射线OM上， ∴当以A、O、B三点中某两点与P点构成的三角形是等腰三角形时，有以下两种情况： （1）当点P，A，O三点构成等腰三角形时，又有有以下三种情况： ①当AO＝AP时，如图1①所示， ∴∠APO＝∠AOB＝30°， 由三角形内角和定理得：∠OAP+∠APO+∠AOB＝180° ∴∠OAP＝180°﹣（∠APO+∠AOB）＝120°， ②当AO＝PO时，如图1②所示： ∴∠OAP＝∠OPA， 由三角形内角和定理得：∠OAP+∠OPA+∠AOB＝180°， ∴2∠OAP+30°＝180°， ∴∠OAP＝75°； ③当OP＝AP时， 由于OB＝AB， ∴点P与点B重合，不符合题意； （2）当点P，A，B三点构成等腰三角形时，由于∠ABM＝60°， ∴△ABP是等边三角形，如图2所示： ∴∠BAP＝60°， ∴∠OAP＝∠OAB+∠BAP＝30°+60°＝90°； 综上所述：∠OAP的度数为120°或75°或90°． 故答案为：120°或75°或90°． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理及三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理及三角形的外角性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 5．（2020秋•贺兰县期末）图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③． （1）图②有　5　 个三角形；图③有　9　 个三角形； （2）按上面的方法继续下去，第10个图有　37　 个三角形，第n个图形中有　4n﹣3　 个三角形．（用含n的代数式表示） 【分析】（1）首先根据所给的图形，正确数出三角形的个数； （2）根据（1）中数的过程中，就能够发现在前一个图的基础上依次多4个． 【解答】解：（1）由图得：图②有5三角形；图③有9个三角形； 故答案为：5，9； （2）∵发现每个图形都比起前一个图形依次多4个三角形， ∴第n个图形中有1+4（n﹣1）＝4n﹣3个三角形， 当n＝10时，4×10﹣3＝37， 故答案为：37，4n﹣3． 【点评】本题考查了图形变化类问题，此类题找规律的时候，主要应发现前后图形中的个数之间的联系． 【考点2】三角形三边关系（第6-17题） · 求第三边范围用 |a−b|＜c＜a+b，再结合题目条件（整数、奇数等）确定具体值。 · 判断三条线段能否构成三角形：较短两边之和大于第三边。 · 遇到非负式（绝对值、完全平方）先求边长，再代入三边关系求解。 6．（2025秋•徐闻县期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 7．（2025秋•平城区校级期末）下列长度的线段能组成三角形的是（　　） A．3，4，8 B．3，4，7 C．3，3，5 D．7，7，15 【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形，故A不符合题意； B、3+4＝7，不能组成三角形，故B不符合题意； C、3+3＞5，能组成三角形，故C符合题意； D、7+7＜15，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 8．（2025秋•辛集市期末）如图，为估计池塘岸边A，B两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝14m，OB＝9m，则点A，B间的距离不可能是（　　） A．5m B．10m C．15m D．20m 【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到5＜AB＜23，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：14﹣9＜AB＜14+9， ∴5＜AB＜23， ∴A，B间的距离不可能是5m． 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到5＜AB＜23， 9．（2026春•上海期中）已知三条线段的长分别为3cm、5cm、acm，若这三条线段首尾顺次连结能围成一个三角形，那么a的取值可以是（　　） A．2 B．6 C．8 D．9 【分析】根据三角形的三边关系确定a的取值范围即可求解． 【解答】解：依题意有5﹣3＜a＜5+3， 解得：2＜a＜8． 只有选项B在范围内． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系的知识，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 10．（2025秋•德庆县期末）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．3，4，5 B．4，5，9 C．5，12，18 D．7，15，23 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、∵3+4＝7＞5， ∴3，4，5三条线段能组成三角形，符合题意； B、∵5+4＝9， ∴4，5，9三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、∵5+12＝17＜18， ∴5，12，18三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵7+15＝22＜23， ∴7，15，23三条线段不能组成三角形，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 11．（2025秋•南昌期末）若三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm，则a的取值范围是　5＜a＜15　 ． 【分析】根据三角形的三边关系列不等式组求解即可． 【解答】解：∵三角形的三边分别为5cm，8cm，（a﹣2）cm， ∴根据三角形三边关系得，8﹣5＜a﹣2＜8+5， 即a的取值范围为：5＜a＜15． 故答案为：5＜a＜15． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形中任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边成为解题的关键． 12．（2026春•封丘县期末）已知a，b，c分别是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，c为奇数，则△ABC的周长为 　15　 ． 【分析】根据平方和绝对值的非负性，得到a＝7，b＝1，再结合三角形的三边关系，确定c＝7，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：根据平方和绝对值的非负性， ∵|a﹣7|+（b﹣1）2＝0， ∴a﹣7＝0，b﹣1＝0， ∴a＝7，b＝1， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴根据三角形三边关系，a﹣b＜c＜a+b， ∵a﹣b＝6，a+b＝8，且c为奇数， ∴c＝7， ∴△ABC的周长为a+b+c＝7+1+7＝15，即△ABC的周长为15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了非负数的性质，三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 13．（2025秋•长沙校级期末）已知△ABC的三边长为a、b、c，其中a＝3、b＝5，则边长c的取值范围是 　2＜c＜8　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8． 故答案为：2＜c＜8． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 14．（2026春•天府新区校级期中）如图，为估计池塘两岸A、B两点间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P．分别测得PA＝9m，PB＝7m，若A、B间的距离长度为偶数（单位：m），那么A、B间的最大距离是　14　 m． 【分析】根据三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即2m＜AB＜16m，再根据A，B间的距离长度为偶数，找出A，B间可取的偶数，即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，由三角形的三边关系可得：PA﹣PB＜AB＜PA+PB， ∵PA＝9m，PB＝7m， ∴（9﹣7）m＜AB＜（9+7）m，即2m＜AB＜16m． ∵A，B间的距离长度为偶数， ∴AB可取的数有：4m，6m，8m，10m，12m，14m， ∴其中最大的为14m， ∴A，B间的最大距离为14m． 故答案为：14． 【点评】本题考查了两点间的距离，三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 15．（2025秋•金湾区期末）三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是　5＜a＜9　 ． 【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围． 【解答】解：∵三角形的三边长分别为2、7、a， ∴a的取值范围是：7﹣2＜a＜7+2，即5＜a＜9． 故答案为：5＜a＜9． 【点评】此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系定理是解决问题的关键． 16．（2025秋•西乡塘区校级期中）【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD ，PD+CD＞PC ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC ，即AB+AC＞PB+PC ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形两边的和大于第三边得到AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．将不等式左边、右边分别相加，得到AB+AC＞PB+PC； （2）由三角形三边关系定理得到AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，将不等式左边、右边分别相加，得到AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【解答】解：（1）如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD，PD+CD＞PC． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞PB+PC， 故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC； （2）如图②，AD+BD+CD（AB+AC+BC）理由如下： 由三角形三边关系定理得到：AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC， ∴2（AD+BD+CD）＞AB+BC+AC， ∴AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 17．（2026春•西湖区校级期末）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到3＜c＜7，得到c＝5，即可求出△ABC的周长； （2）由三角形三边关系定理得到a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0，即可化简|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5， ∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 【考点3】三角形的角平分线、中线和高（第18-32题） · 中线平分对边且平分三角形面积，注意等底同高模型的转化。 · 角平分线把角分成相等的两部分，常与三角形内角和、外角性质联用。 · 识别高线时注意垂足落在对边所在直线上，钝角三角形的高可在外部。 18．（2025秋•嵩明县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（　　） A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△BDE的高 【分析】用已知条件和三角形中线即可判断出A选项的正误；利用已知条件和角平分线的定义即可判断出B选项的正误；利用角平分线的性质只能得到∠2＝∠3，但没有办法得到∠1＝∠2，这样就很容易判断出C选项的错误；由于∠C＝90°，结合“从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高”即可判断出BC是否是△BDE的高，这样也能得出D选项的正误． 【解答】解：A、由图可知：BE是△ABD的中线，正确，不符合题意； B、由图可知：BD是△BCE的角平分线，正确，不符合题意； C、∵BD是△BCE的角平分线， ∴∠3＝∠2， ∵BE是中线， ∴∠1≠∠2， ∴∠1＝∠2＝∠3不正确，符合题意． D、由图可知： ∵∠C＝90° ∴BC是△ABE的高，正确，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的中线等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 19．（2024秋•醴陵市期末）如图，在△ABC中，线段BE表示△ABC的边AC上的高的图是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，且垂足在直线AC上， 所以正确画出AC边上的高的是D选项， 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 20．（2025春•郑州校级期中）下列说法正确的有（　　）个 ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点 ⑤平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交 ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离 A．1 B．2 C．3 D．5 【分析】分别利用对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质分别分析得出即可． 【解答】解：根据对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质逐项分析判断如下： ①有公共顶点并且相等的两个角不一定是对顶角，故①说法错误，不符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②说法错误，不符合题意； ③平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③说法正确，符合题意； ④三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故④说法错误，不符合题意； ⑤平面内，两条直线的位置关系有两种，平行、相交，故⑤说法错误，不符合题意； ⑥从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故⑥说法错误，不符合题意． 综上所述，正确的有③，共一个； 故选：A． 【点评】此题主要考查了对顶角的定义、垂线的性质、平行线的判定和性质，正确把握相关知识是解题的关键． 21．（2025秋•兴化市期末）如图，AD是△ABC的中线，S△ABD＝4，则△ABC的面积是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】根据三角形的中线得出相等的边，然后根据等底同高得出三角形面积的关系． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵S△ABD＝4， ∴S△ABD＝S△ACD＝4， ∴S△ABD+S△ACD＝4+4＝8，即△ABC的面积是8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，解题的关键是掌握三角形的中线定理． 22．（2025春•二七区校级期末）如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【分析】根据三角形的中线的定义判断A、B；根据直角三角形的性质、三角形的角平分线的定义判断C、D． 【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意； B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意； C、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB， ∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意； D、∵∠ABC＝90°， ∴∠BFH＝90°﹣∠FCB， ∵BE⊥AC， ∴∠EHC＝90°﹣FCA， ∴∠BFH＝∠EHC， ∵∠BHF＝∠EHC， ∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形的角平分线、中线和高的定义是解题的关键． 23．（2025秋•朝阳区期末）下面四个图中，线段AD是△ABC的高线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】对于选项A，根据AD⊥BC得线段AD是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项B，根据AD⊥AC但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项C，根据AD⊥BD但AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断； 对于选项D，根据AD与BC不垂直得线段AD不是△ABC的高线，由此可对该选项进行判断，综上所述即可得出结论． 【解答】解：对于选项A， ∵AD⊥BC， ∴线段AD是△ABC的高线， 故选项A符合题意； 对于选项B， ∵AD⊥AC，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项B不符合题意； 对于选项C， ∵AD⊥BD，但是AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项C不符合题意； 对于选项D， ∵AD与BC不垂直， ∴线段AD不是△ABC的高线， 故选项D不符合题意， 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形高的定义，准确识图，熟练掌握三角形高的定义是解决问题的关键． 24．（2026•城关区校级二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E，若AC＝12，BC＝16，则AE的长为 　10　 ． 【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：， ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E， ∴， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一，解决本题的关键是掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 25．（2024秋•虹口区校级月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝6，则△ABC的周长为 　10　 ． 【分析】过B作BG∥AC，交AE延长线于G，得到∠G＝∠CAE，由角平分线定义得到∠BAE＝∠CAE，因此∠G＝∠BAE，推出BG＝AB，判定△ADF∽△GBF，推出AD：BG＝DF：BF＝1：3，得到AD：AB＝1：3，而ADAC，得到AC：AB＝2：3，由△ACE∽△GBE，推出CE：BE＝AC：BG＝AC：AB＝2：3，于是得到AC+CE（AB+BE）＝4，即可求出△ABC的周长． 【解答】解：过B作BG∥AC，交AE延长线于G， ∴∠G＝∠CAE， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE， ∴∠G＝∠BAE， ∴BG＝AB， ∵AD∥BG， ∴△ADF∽△GBF， ∴AD：BG＝DF：BF＝1：3， ∴AD：AB＝1：3， ∵D是AC中点， ∴ADAC， ∴AC：AB＝2：3， ∴ACAB， ∵AC∥BG， ∴△ACE∽△GBE， ∴CE：BE＝AC：BG＝AC：AB＝2：3， ∴CEBE， ∴AC+CE（AB+BE）64， ∴△ABC的周长＝AB+BE+AC+CE＝6410． 故答案为：10． 【点评】本题考查线相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形的角平分线，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出AB＝BG，由△ADF∽△GBF，推出AD：BG＝DF：BF，由△ACE∽△GBE，推出CE：BE＝AC：BG． 26．（2025秋•滨江区期末）如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　2　 倍． 【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AB•DEAC•DF， ∵DF＝2DE， ∴AB＝2AC， ∴AB是AC的2倍， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 27．（2025秋•盐都区期中）△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°，BD为△ABC的中线，则∠ADB＝ 　135　 °． 【分析】过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接DE，过点D作DPAB于点P，作AD的垂直平分线交AB于点H，垂足为F，先求出∠HDA＝∠A＝15°，则∠DHB＝30°，在Rt△HDP中，设DP＝a，则AH＝DH＝2a，HP，由此得AP，证明DP是△ACE的中位线得CD＝2DP＝2a，EP＝AP，证明△BCE是等腰直角三角形得BE＝CE＝2a，∠ECB＝45°，则EP＝BE+PB＝2a+PB＝2a+√3a，由此得PB＝2a＝BE，则∠BDE＝∠BED，根据直角三角形斜边中线性质得AD＝CD＝DE，进而得∠BDE＝∠BED＝∠A＝15°，再求出∠DEC＝∠DCE＝75°得∠CDE＝30°，继而得∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝45°，据此即可得出∠ADB的度数． 【解答】解：过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接DE，过点D作DPAB于点P，作AD的垂直平分线交AB于点H，垂足为F，如图所示： ∴∠DPH＝∠CEB＝90°，DP∥CE，AH＝DH， 在△ABC中，∠ABC＝135°，∠ACB＝30°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝15°， ∴∠HDA＝∠A＝15°， ∵∠DHB是△HAD的外角， ∴∠DHB＝∠HDA+∠A＝30°， ∴在Rt△HDP中，设DP＝a， ∴DH＝2a， ∴AH＝DH＝2a， 由勾股定理得：HP， ∴AP＝AH+HP， ∵BD为△ABC的中线， ∴点D是AC的中点， 又∵DP∥CE， ∴DP是△ACE的中位线， ∴CD＝2DP＝2a，EP＝AP， ∵∠ABC＝135°， ∴∠CBE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45°， ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝2a，∠ECB＝45°， ∴EP＝BE+PB＝2a+PB， ∵EP＝AP， ∵2a+PB， ∴PB＝2a＝BE， ∴∠BDE＝∠BED， ∵点D是AC的中点， ∴DE是Rt△ACE斜边AC上的中线， ∴AD＝CD＝DE， ∴∠BED＝∠A＝15°， ∴∠BDE＝∠BED＝∠A＝15°， ∵∠ACB＝30°， ∴∠DCE＝∠ACB+∠ECB＝30°+45°＝75°， ∴∠DEC＝∠DCE＝75°， 在△DEC中，∠CDE＝180°﹣（∠DEC+∠DCE）＝180°﹣（75°+75°）＝30°， ∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝15°+30°＝45°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝135°． 故答案为：135°． 【点评】此题主要考查了三角形的中线，直角三角形的斜边中线的性质，三角形内角和定理，理解直角三角形的斜边中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 28．（2024秋•临高县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． （1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数． （2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长． 【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE＝20°，再利用角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝40°，然后根据高的定义和互余两角的性质求出∠BAF的度数； （2）先根据题意得到BD＝DC＝AD＝5，然后利用三角形面积公式求AF的长． 【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE， ∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABE＝2×20°＝40°， ∵AF为高， ∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°， 所以∠BAF的度数为50°； （2）由（1）得∠BAD＝∠ABD＝40°， ∴BD＝DC＝AD＝5， ∴BC＝5+5＝10， ∵， ∴AF＝8， 所以AF的长为8． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的角平分线、中线和高和三角形的面积，三角形的内角和定理，关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． 29．（2025•丽水一模）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，点D在AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是AB边上的中线，BC﹣AC＝5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长； （2）若CD⊥AB于点D，∠ABC＝60°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）由三角形中线的概念可得AD＝BD，由△DBC的周长为25cm得BC+AD+CD＝25cm，再根据三角形的周长公式进行计算，即可得出答案； （2）由三角形的高的概念可得∠BDC＝90°，由三角形角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得∠BOC＝∠BDC+∠ABE，于是得解． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵△DBC的周长为25cm， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝25cm， ∴BC+AD+CD＝25cm， ∵BC﹣AC＝5cm， ∴AC＝BC﹣5cm， ∴△ADC的周长＝AC+AD+CD ＝BC﹣5+AD+CD ＝25﹣5 ＝20cm， 则△ADC的周长为20cm； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°（垂直的定义）， ∵BE是△ABC的角平分线，∠ABC＝60°， ∴， ∴∠BOC＝∠BDC+∠ABE＝90°+30°＝120°， 则∠BOC的度数为120°． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握相关概念是解题的关键． 30．（2026春•秦州区期末）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为∠BAC的角平分线时，若∠C＝66°，∠B＝36°，求∠DAE的度数． （2）当AD为边BC上的中线时，若AB＝10，△ADC的周长比△ABD的周长少2，求AC的长度． 【分析】（1）首先利用三角形的内角和求出∠BAC，进而求出∠BAD，然后根据两锐角互余求出∠BAE，最后利用角的和差关系即可求解； （2）首先结合已知条件和中线的性质确定AB，AC的数量关系，继而可以求解． 【解答】解：（1）由条件可知∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣66°﹣36°＝78°． 由角平分线定义可知： ． ∵AE为边BC上的高， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣36°＝54°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣39°＝15°． （2）∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD． 又∵△ADC的周长比△ABD的周长少2， ∴（AD+BD+AB）﹣（AD+DC+AC）＝2， ∴AB﹣AC＝2， ∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点是关键． 31．（2026春•正定县期末）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝4，AC＝3，则△BCD与△ACD的周长差为　1　 ； （2）若∠ABC＝70°，CD是△ABC的高，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形的中线的概念得到BD＝AD，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形的高的定义得到∠CDB＝90°，关键角平分线的定义求出∠OBD，再根据三角形的外角性质计算即可． 【解答】解：（1）∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， 则△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC＝4﹣3＝1， 故答案为：1； （2）∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∵BE是角平分线，∠ABC＝70°， ∴， ∵∠BOC是△OBD的外角， ∴∠BOC＝∠CDB+∠OBD＝90°+35°＝125°． 【点评】本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，正确理解三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键． 32．（2024秋•吐鲁番市期末）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． 四．随堂检测（共5小题） 【练习 1】（2025秋•大足区期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意； B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意； C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意； D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•广汉市校级期末）为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划在三角形区域ABC内种植一片防护林．已知其中两边AB＝5km，AC＝3km，那么第三边BC的长度不可能是（　　） A．3km B．5km C．7km D．9km 【分析】利用三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定BC的取值范围，据此逐项判断即可． 【解答】解：在△ABC中，AB＝5km，AC＝3km， 由AB+AC＞BC得：5+3＞BC，即BC＜8， 由AC+BC＞AB得：3+BC＞5，即BC＞2， 则BC的取值范围为2＜BC＜8， 选项A、B、C均满足2＜BC＜8，而D不满足2＜BC＜8，所以选项正确，不符合题意， 因此BC的长度不可能是9km，只有选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【练习 3】（2025春•高碑店市期末）如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l．若l⊥BC，则△ABC一定是（　　） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【分析】由折叠的性质得到BD＝CD，因此AD垂直平分BC，推出AB＝AC，判定△ABC是等腰三角形． 【解答】解：由折叠的性质得到：BD＝CD， ∵AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 故选：B． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，折叠问题，关键是由线段垂直平分线的性质推出AB＝AC． 【练习 4】（2025秋•巫山县期末）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【分析】根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5， 即：4＜x＜14， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解本题的关键． 【练习 5】（2025秋•晋安区期中）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5．求第三边c的取值范围； （2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系即可求解； （2）根据三角形的三边关系得3＜c＜7，求出c＝5，即可得到答案； （3）根据三角形的三边关系得a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，然后化简即可． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7； （2）由（1）知3＜c＜7， ∵第三边c为奇数， ∴c＝b＝5， ∴△ABC为等腰三角形； （3）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a＜b+c， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c| ＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+b﹣c﹣a+b+c ＝2b． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 课后巩固 ❤复习建议 熟记三角形三边关系定理，判断能否构成三角形时优先比较较短两边之和与第三边。 弄清角平分线、中线、高的定义区别，特别注意钝角三角形的高可能在三角形外部。 掌握“中线平分面积”“角平分线平分角”的等量转化，并结合周长差、非负性条件列式计算。 归纳折叠、图形计数、实际情境等题型中三角形知识的应用，积累常见模型与解题套路。 【作业 1】（2026春•萍乡期末）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，化简|2a+2b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（　　） A．2a B．a+3b﹣2c C．2（a+b） D．﹣2b 【分析】先利用三角形三边关系，判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质，去掉绝对值符号，化简即可． 【解答】解：∵a、b、c是△ABC的三边长， ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴2a+2b＞c，b﹣a﹣c＜0． ∴原式＝（2a+2b﹣c）﹣[﹣（b﹣a﹣c）] ＝2a+2b﹣c+b﹣a﹣c ＝a+3b﹣2c． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【作业 2】（2026•鲁山县二模）已知一个三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的第三边长可以是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．8cm 【分析】根据已知两边长2cm和5cm，求出第三边的取值范围，再判断选项是否在该范围内． 【解答】解：∵三角形的两边长分别为2cm和5cm， ∴根据三角形的三边关系，第三边x需满足：5﹣2＜x＜5+2， 解得3＜x＜7． 综上所述，只有C在3和7之间，满足条件． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的三边关系，关键掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【作业 3】（2026春•埇桥区校级期末）已知三角形的三边长分别为3，m，6，则整数m的最小值是　4　 ． 【分析】根据三角形的三边关系解答即可 【解答】解：根据题意得，6﹣3＜m＜6+3， 解得3＜m＜9， ∵m为整数， ∴整数m的最小值是4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键是相关知识的熟练掌握． 【作业 4】（2025秋•合川区期末）已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　22或24或26　 ． 【分析】整理a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0得（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，故a＝6，b＝8，结合三角形三边关系得2＜c＜14，又因为c为最长边且为偶数，故c＝8或c＝10或c＝12，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【解答】解：∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0， 解得a＝6，b＝8， ∵三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， ∴8﹣6＜c＜6+8， ∴2＜c＜14， ∵c为最长边， ∴8≤c＜14， ∵c为偶数， 故c＝8或c＝10或c＝12， 则6+8+8＝22或6+8+10＝24或6+8+12＝26， 综上所述，该三角形的周长为22或24或26， 故答案为：22或24或26． 【点评】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【作业 5】（2024秋•澄城县期中）如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝62°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝31°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长为：BC+CD+BD，△ACD的周长为：AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD． 又∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝3﹣2＝1，即△BCD与△ACD的周长差为1； （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝62°， ∴， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°． 【点评】本题主要考查了三角形中线和高，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•靖边县期末）已知一个三角形的三边长为a，b，c，若a＝2，b＝5，求该三角形的周长C的取值范围． 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得到第三边的取值范围，即可解答． 【解答】解：∵a，b，c分别是三角形的三边长，且a＝2，b＝5， ∴根据三角形的三边关系，三角形第三边长c的取值范围为5﹣2＜c＜5+2， 即3＜c＜7， ∴3+2+5＜C＜7+2+5，即周长C的取值范围为10＜C＜14． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，列代数式，熟练掌握三角形三边之间的关系定理是解答此题的关键． 【作业 7】（2025秋•禄劝县校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求c的值； （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c|． 【分析】（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求出c的取值范围即可得到答案； （2）根据三角形三边的关系可得a＜b+c，a+c＞b，则a﹣b﹣c＜0，据此去绝对值求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC的三边长分别为a，b，c，a＝2，b＝5， ∴b﹣a＜c＜b+a， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为奇数， ∴c＝5； （2）△ABC的三边长分别为a，b，c， ∴a＜b+c，a+c＞b， ∴a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|+|a﹣b﹣c| ＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+c﹣b）﹣（a﹣b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b﹣a+b+c ＝﹣a﹣a﹣a+b+b+b+c﹣c+c ＝﹣3a+3b+c． 【点评】本题主要考查了三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键． 【作业 8】（2023秋•丛台区校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 【分析】（1）由BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4， 即AB﹣AC＝4①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝18， 解得AB＝9， ②﹣①得，2AC＝10， 解得AC＝5， ∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5． （2）∵AB＝9，AC＝5， ∴AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即9﹣5＜BC＜9+5， ∴4＜BC＜14， ∴4+9+5＜AB+BC+AC＜14+9+5， ∴18＜△ABC周长＜28． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【作业 9】（2026春•红谷滩区校级期末）如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，． （1）当AC＝10时，求BD的长． （2）AC能否等于12？为什么？ （3）直接写出AC的取值范围． 【分析】（1）先根据AC＝10，，算出AB＝15，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，即可作答； （2）假设AC＝12，结合，得出AB＝18，再结合AD是BC边上的中线，进行计算，得BC＝3，运用三角形三边的关系进行分析，即可作答； （3）根据三角形的周长得，利用三角形三边的关系即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AC＝10，， ∴， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AB﹣AC＝33﹣15﹣10＝8， ∵AD是BC边上的中线， ∴； （2）AC不能等于12，理由如下： ∵， ∴当AC＝12时，， ∵△ABC的周长为33， ∴BC＝33﹣AC﹣AB＝33﹣12﹣18＝3， ∵12+3＝15＜18， ∴BC，AC，AB这三边不能构成三角形， ∴AC不能等于12； （3）∵， ∴， ∴， 当AB＞BC时，AB﹣BC＜AC＜AB+BC，即， 解得AC＜11； 当BC＞AB时，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即 解得， ∴． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 【作业 10】（2026春•鲤城区校级期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的边长为x． （1）求x的取值范围； （2）若x为整数，当x为何值时，组成的三角形周长最大？最大值是多少？ 【分析】（1）根据三角形三边关系，已知三角形的两边长分别为4和6，即可确定x的取值范围； （2）在（1）所求的取值范围内，找到最大的整数即为所求，计算出周长即可． 【解答】解：（1）∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴6﹣4＜x＜6+4， 即2＜x＜10； （2）由（1）得2＜x＜10 ∵x为整数且要求周长最大， ∴x＝9， 此时周长＝4+6+9＝19． 所以，当x＝9时，组成的三角形周长最大，最大值是19． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $