02 单元素养测评卷（二）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

单元素养测评卷(二) 1.A　[解析] 命题“∀x∈R,x+2≤0”的否定是“∃x∈R,x+2>0”.故选A. 2.A　[解析] 解不等式a2>1可得a>1或a<-1,据此可知“a>1”是“a2>1”的充分条件.故选A. 3.D　[解析] 对于A,“x>2”是“x>3”的必要且不充分条件,A选项错误;对于B,“x>3”是“x>3”的充要条件,B选项错误;对于C,“x≥3”是“x>3”的必要且不充分条件,C选项错误;对于D,“x>4”是“x>3”的充分且不必要条件,D选项正确.故选D. 4.B　[解析] “|x-2|≠1”等价于“x≠1且x≠3”.若x≠1,则x≠1且x≠3不成立,但若x≠1且x≠3,则必有x≠1.故“x≠1”是“|x-2|≠1”的必要且不充分条件.故选B. 5.D　[解析] 对于A,对任意x∈A,A⊆B,有x∈B,对任意x∈B,B⊆A,有x∈A,所以集合A,B的元素相同,即A=B,故A为真命题;对于B,若A∩B=A,则对任意x∈A,有x∈B,则A⊆B,故B为真命题;对于C,若A∪B=A,则对任意x∈B,有x∈A,则B⊆A,故C为真命题;对于D,当A={1,2},B={3,4,5}时,A∩B=⌀,但A≠⌀且B≠⌀,故D为假命题.故选D. 6.A　[解析] 由题意可得,“∀x∈[1,4],2x+a+1<0”是真命题,所以2×4+a+1<0,则a<-9.故选A. 7.C　[解析] 若“∀x∈[1,2],x2+x-a≤0”为真命题,则当x∈[1,2]时,a≥(x2+x)max,又x2+x=-,所以当x=2时,x2+x取得最大值6,故a≥6,结合选项知所求必要且不充分条件为a≥2.故选C. 8.B　[解析] ∵“∃x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,∴“∀x∈R,4x2+(a-2)x+≠0”是真命题,即方程4x2+(a-2)x+=0没有实数根,∴Δ=(a-2)2-4×4×=a2-4a=a(a-4)<0,∴0<a<4,∴集合A={a|0<a<4}.由题意知A⫋B,结合选项可知集合B可能是{a|0≤a≤4}.故选B. 9.BCD　[解析] 选项A中有存在量词“至少有一个”,是存在量词命题;选项B和C中都有全称量词“任意的”,是全称量词命题;选项D中“矩形的对角线垂直平分”省略了全称量词“任意的”,是全称量词命题.故选BCD. 10.ABD　[解析] 对于 A,假设x,y都不大于1,即x≤1,y≤1,则x+y≤2,所以假设不成立,原命题为真命题,故A正确;对于B,命题“对任意的x<1,都有x2<1”的否定为“存在x<1,使x2≥1”,故B正确;对于C,由x≥2,y≥2,得x2≥4,y2≥4,则x2+y2≥8,所以x2+y2≥4成立,即充分性成立,故C错误;对于D,当a≠0时,ab可能等于零,也可能不等于零,当ab≠0时,a一定不等于零,所以“a≠0”是ab≠0”的必要且不充分条件,故D正确.故选ABD. 11.BC　[解析] 对于A,因为当x=时,x2-x+=0,所以命题“∀x∈R,x2-x+>0”是假命题,故A错误;对于B,因为∀x∈R,x2+1≥1>0,所以命题“∃x∈R,x2+1=0”是假命题,故B正确;对于C,A⊆B⇔A∩B=A,即“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件,故C正确;对于D,因为当a=0时,方程ax2+x+1=0即为x+1=0,此时x=-1,A={-1},所以D错误.故选BC. 12.若一点在一条线段的垂直平分线上,则该点到这条线段两个端点的距离相等 [解析] 利用命题的条件与结论的关系得到“若一点在一条线段的垂直平分线上,则该点到这条线段两个端点的距离相等”. 13.(-∞,1)　[解析] “∃x∈R,x2+1≤m”是假命题等价于“∀x∈R,x2+1>m”为真命题,则m<(x2+1)min=1,所以实数m的取值范围是(-∞,1). 14.-≤a<0或0<a<1　[解析] 因为p是q的必要条件,所以B⊆A.当a>0时,B={x|ax+1≤0}=,由B⊆A,得 -<-1,故0<a<1;当a<0时,B={x|ax+1≤0}=,由B⊆A,得-≥3,故-≤a<0.综上所述,实数a的取值范围是-≤a<0或0<a<1. 15.解:(1)是假命题,例如空集只有一个子集,这个子集是它本身. (2)是假命题,例如取c=12,a=3,b=4,则ab是c的倍数,但a,b都不是c的倍数. (3)是真命题,因为A∩B≠⌀,所以存在a∈A∩B,则a∈A且a∈B, 又B⊆C,所以a∈C,所以a∈A∩C,所以A∩C≠⌀. 16.解:(1)因为p的否定是真命题,所以p是假命题, 即关于x的方程x2-2ax+a2+2a-8=0无实数根, 因此Δ=4a2-4(a2+2a-8)<0,解得a>4,所以实数a的取值范围是(4,+∞). (2)由(1)知,p:a≤4,因为p是q的必要且不充分条件,所以{a|m-2≤a≤m+8}是{a|a≤4}的真子集,因此m+8≤4,解得m≤-4,所以实数m的取值范围是(-∞,-4]. 17.解:(1)集合A={x||x-1|≤2}={x|-1≤x≤3},集合B={x|m-3<x≤m+2}, 若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,则A⫋B,所以解得1≤m<2,当m=1时,B={x|-2<x≤3},符合题意,所以m的取值范围是1≤m<2. (2)因为“∀x∈B,x∈∁RA”是真命题,所以B⫋∁RA,又∁RA={x|x<-1或x>3},B≠⌀,所以m+2<-1或m-3≥3,解得m<-3或m≥6,所以m的取值范围是m<-3或m≥6. (3)因为“∃x∈A,x∈B”是真命题,所以A∩B≠⌀.当A∩B=⌀时,m+2<-1或m-3≥3,解得m<-3或m≥6,所以当A∩B≠⌀时,-3≤m<6,所以m的取值范围是-3≤m<6. 18.解:(1)当p的否定为假命题时,p为真命题,∵p:∀x∈[-1,1],x2+2x≤k,当x∈[-1,1]时,x2+2x=(x+1)2-1∈[-1,3],∴k≥3,即实数k的取值范围为k≥3. (2)由(1)知,当p为真命题时,k≥3. 当q为真命题时,Δ=4k2-4(3k+4)≥0,解得k≤-1或k≥4. ∵p和q中至少有一个是真命题,∴实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[3,+∞). 19.解:(1)因为8=32-12,满足集合A中元素x的特征x=m2-n2,m,n∈Z,所以8∈A. 因为9=52-42,满足集合A中元素x的特征x=m2-n2,m,n∈Z,所以9∈A. 假设10=m2-n2,m,n∈Z,则(|m|+|n|)(|m|-|n|)=10,且|m|+|n|>|m|-|n|>0,因为10=1×10=2×5,所以或显然均无整数解,所以10∉A. (2)证明:集合B={x|x=2k+1,k∈Z},则恒有2k+1=(k+1)2-k2,即满足集合A中元素x的特征x=m2-n2,m,n∈Z,所以2k+1∈A,即一切奇数都属于A;反之集合A中的元素不一定全是奇数,如8∈A,但8∉B.所以“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件. (3)集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z},且m2-n2=(m+n)(m-n). ①当m和n同为奇数或同为偶数时,m-n,m+n均为偶数,所以(m+n)(m-n)为4的倍数.反之当(m+n)(m-n)=4k,k∈Z时,不妨令 可得满足集合A中元素x的特征x=m2-n2,m,n∈Z, 所以集合A中的所有偶数为4k(k∈Z). ②当m和n为一个奇数一个偶数时,m+n和m-n均为奇数,所以(m+n)(m-n)为奇数,不满足题意.综上所述,集合A中的所有偶数为4k(k∈Z). 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(二)  第2章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.命题“∀x∈R,x+2≤0”的否定是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.∃x∈R,x+2>0 B.∃x∈R,x+2≤0 C.∀x∈R,x+2>0 D.∀x∉R,x+2>0 2.设a∈R,则“a>1”是“a2>1”的 (　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.[2026·湖北襄阳四中高一期末] “x>3”的一个充分且不必要条件是 (　　) A.x>2 B.x>3 C.x≥3 D.x>4 4.已知x∈R,则“x≠1”是“|x-2|≠1”的 (　　) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.[2026·江苏南京师大附中高一调研] 对于任意两个集合A与B,下列命题中是假命题的是 (　　) A.若A⊆B,B⊆A,则A=B B.若A∩B=A,则A⊆B C.若A∪B=A,则A⊇B D.若A∩B=⌀,则A=⌀或B=⌀ 6.若“∃x∈[1,4],2x+a+1≥0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-9) B.(-∞,-3) C.(-9,+∞) D.(-3,+∞) 7.[2026·江西新余高一期末] “∀x∈[1,2],x2+x-a≤0”为真命题的一个必要且不充分条件是 (　　) A.a≤2 B.a≤6 C.a≥2 D.a≥6 8.已知“∃x∈R,4x2+(a-2)x+=0”是假命题,设满足条件的实数a的取值集合为A,若“a∈B”是“a∈A”的必要且不充分条件,则集合B可能是 (　　) A.{a|a<0} B.{a|0≤a≤4} C.{a|a≥4} D.{a|0<a<4} 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列命题中是全称量词命题的为 (　　) A.至少有一个x使x2+2x+1=0成立 B.对任意的x都有x2+2x+1=0成立 C.对任意的x都有x2+2x+1=0不成立 D.矩形的对角线垂直平分 10.[2026·福建长宁德拓荣一中高一月考] 下列说法中正确的是 (　　) A.“x,y∈R且x+y>2,则x,y至少有一个大于1”是真命题 B.命题“对任意的x<1,都有x2<1”的否定是“存在x<1,使x2≥1” C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要且不充分条件 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要且不充分条件 11.下列说法正确的是 (　　) A.命题“∀x∈R,x2-x+>0”是真命题 B.命题“∃x∈R,x2+1=0”是假命题 C.“A⊆B”是“A∩B=A”的充要条件 D.“a=”是“集合A={x|ax2+x+1=0}中只有一个元素”的充要条件 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.将命题“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”改写成“若p,则q”的形式: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　.  13.若“∃x∈R,x2+1≤m”是假命题,则实数m的取值范围是　　　　.  14.[2026·北京师大附中高一月考] 已知a≠0,集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0},设p:x∈A,q:x∈B,若p是q的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)判断下列命题是真命题还是假命题,并说明理由. (1)任何一个集合至少有两个子集; (2)a,b,c都是自然数,如果ab是c的倍数,那么a,b中至少有一个是c的倍数; (3)如果A∩B≠⌀,B⊆C,那么A∩C≠⌀. 16.(15分)已知p:关于x的方程x2-2ax+a2+2a-8=0有实数根,q:m-2≤a≤m+8. (1)若p的否定是真命题,求实数a的取值范围; (2)若p是q的必要且不充分条件,求实数m的取值范围. 17.(15分)[2026·安徽宿州灵璧中学高一期中] 已知m∈R,集合A={x||x-1|≤2},集合B={x|m-3<x≤m+2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,求m的取值范围; (2)若“∀x∈B,x∈∁RA”是真命题,求m的取值范围; (3)若“∃x∈A,x∈B”是真命题,求m的取值范围. 18.(17分)[2026·江苏泰州高一联考] 已知p:∀x∈[-1,1],x2+2x-k≤0,q:∃x∈R,x2+2kx+3k+4=0. (1)当p的否定为假命题时,求实数k的取值范围; (2)若p和q中至少有一个是真命题,求实数k的取值范围. 19.(17分)已知集合A={x|x=m2-n2,m,n∈Z}. (1)判断8,9,10是否属于集合A; (2)已知集合B={x|x=2k+1,k∈Z},证明:“x∈A”是“x∈B”的必要且不充分条件; (3)求集合A中的所有偶数,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $