3.3.1 从函数观点看一元二次方程(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1.D　[解析] 令x2+3x+2=0,解得x=-1或x=-2,所以y=x2+3x+2的零点是-1,-2.故选D. 2.C　[解析] ∵二次函数y=(a-1)x2-2x+1有零点,∴关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有实数根,则解得a≤2且a≠1.故选C. 3.C　[解析] 因为m,n是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,Δ=9+24=33>0,所以m,n是方程x2+3x-6=0的两个实数根,所以m+n=-3,mn=-6,故m2+n2=(m+n)2-2mn=9+12=21.故选C. 4.A　[解析] 由二次函数y=x2-ax+b有两个零点1和4,可得1,4为方程x2-ax+b=0的两个根,所以解得所以函数y=bx2-ax+1=4x2-5x+1,令4x2-5x+1=0,解得x=1或x=,则函数y=bx2-ax+1的零点为1或. 5.C　[解析] 当a=0时,函数y=2x-1只有一个零点;当a≠0时,若函数y=ax2+2x-1只有一个零点,则Δ=4+4a=0,解得a=-1.综上,若函数y=ax2+2x-1只有一个零点,则a=-1或a=0.所以“a=-1”是“函数y=ax2+2x-1只有一个零点”的充分且不必要条件.故选C. 6.C　[解析] 因为二次函数y=x2-6x+m的两个不同的零点都在区间[2,+∞)内,所以即得8≤m<9,故实数m的取值范围是[8,9).故选C. 7.1　[解析] 对于函数y=-x2+8x-16,因为Δ=64-64=0,所以该函数的图象与x轴相切,又因为该函数图象的对称轴为直线x=4,所以函数y=-x2+8x-16的图象在区间[3,5]上与x轴只有一个交点,即函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上只有1个零点. 8.<m<　[解析] 因为二次函数y=x2+3x+2m-1的两个零点都小于0,所以方程x2+3x+2m-1=0有两个不相等的负根,设这两个负根分别为x1,x2,则即可得<m<,所以实数m的取值范围是<m<. 9.解:(1)方法一:由题意知解得a<4,即a的取值范围为(-∞,4). 方法二:由题意得02-3×0+a-4<0,解得a<4,即a的取值范围为(-∞,4). (2)由题意知22-3×2+a-4<0,解得a<6,即a的取值范围为(-∞,6). (3)由题意知可得a≤4,即a的取值范围为(-∞,4]. 10.A　[解析] 因为关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,所以故m≤1,又α2+β2=(α+β)2-2αβ=12,所以4(m-1)2-2m2+2m=12,解得m=-1或m=4(舍去).故选A. 11.C　[解析] 由题意得解得1<a<.故选C. 12.BD　[解析] 若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则分以下三种情况讨论:①当a=0时,y=4x-1的唯一零点为x=,符合题意;②当a>0时,y=24ax2+4x-1的图象开口向上,对称轴方程为x=-<0,且24a×02+4×0-1=-1<0,为使y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,如图甲,只需可得0<a≤;③当a<0时,y=24ax2+4x-1的图象开口向下,对称轴方程为x=->0,且24a×02+4×0-1=-1<0,为使y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,如图乙、丙,只需或24a+4-1≥0,可得a=-或-≤a<0,经验证,当a=-时,满足题意.综上,若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则-≤a≤或a=-,故B正确,A错误.若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内有零点,则分以下两种情况:①y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,由以上分析可知,此时-≤a≤或a=-;②y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内有两个零点,则或解得a>或-<a<-.综上,若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内有零点,则a≥-,故D正确,C错误.故选BD. 13.(-12,-5)　[解析] 设函数的两个零点为x1,x2,x1≠x2,则由x1,x2∈(1,2),可得 所以9<(x1+2)(x2+2)<16,所以2m-n=-2(x1+x2)-x1x2=4-(x1+2)(x2+2)∈(-12,-5). 14.解:(1)证明:由题可得,Δ=4(m-1)2-4(m2-2m-3)=16>0,故对任意实数m,该二次函数有两个不同的零点. (2)因为该二次函数在(0,+∞)上有两个不同的零点x1,x2,所以因为+=,所以=,可得m=0或m=5. 当m=0时,二次函数的解析式为y=x2+2x-3,此时二次函数的两个零点为-3和1,不满足题意,舍去;当m=5时,二次函数的解析式为y=x2-8x+12,此时二次函数的两个零点为2,6,满足题意.所以所求二次函数的解析式为y=x2-8x+12. 15.BCD　[解析] 对于A,由x2+x-2=0,得(x+2)(x-1)=0,则方程的两根为-2,1,又-2≠2×1,-2×2≠1,所以方程x2+x-2=0不是“和谐方程”,故A错误.对于B,因为关于x的方程x2+ax+8=0是“和谐方程”,所以不妨设2x1=x2,则所以=4,解得x1=2,x2=4,或x1=-2,x2=-4,所以a=±6,故B正确.对于C,关于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和谐方程”,可设该方程的两根为x3,x4,且2x3=x4,又所以x3=1,x4=2,则x3·x4==2,即c=2b,则y=bx2+3bx+c=bx2+3bx+2b(b≠0),令bx2+3bx+2b=0,解得方程的两根为-1,-2,即函数y=bx2+3bx+c的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)和(-2,0),故C正确.对于D,因为mn=4,所以n=,m≠0,n≠0,则关于x的方程mx2+3x+n=0可化为mx2+3x+=0,则(mx+)=0,解得方程的两根为-,-,又-×2=-,所以关于x的方程mx2+3x+n=0是“和谐方程”,故D正确.故选BCD. 16.解:(1)设y=x2-x-3的不动点为x0,则-x0-3=x0,即-2x0-3=0,解得x0=-1或x0=3,所以y=x2-x-3的不动点为-1和3. (2)依题意得,2x2-(3+a)x+a-1=x有两个不相等的正实数根,即方程2x2-(4+a)x+a-1=0有两个不相等的正实数根,所以解得a>1. 所以+===-2=-2=-2=-2=-2=++3, 因为a>1,所以a-1>0,所以++3≥2+3=8,当且仅当=, 即a=6时等号成立,所以+的最小值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3　从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1.函数y=x2+3x+2的零点是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(1,0),(2,0) B.1,2 C.(-1,0),(-2,0) D.-1,-2 2.已知二次函数y=(a-1)x2-2x+1有零点,则a的取值范围是 (　 ) A.a≤2 B.a>2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 3.[2026·江苏南京一中高一段考] 若m,n是二次函数y=x2+3x-6的两个零点,则m2+n2的值是 (　 ) A.3　 B.9 C.21 D.33 4.若二次函数y=x2-ax+b有两个零点1和4,则函数y=bx2-ax+1的零点为 (　 ) A.1或 B.1或4 C.-1或- D.-1或-4 5.[2026·江苏常熟高一期中] “a=-1”是“函数y=ax2+2x-1只有一个零点”的 (　 ) A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 6.已知二次函数y=x2-6x+m的两个不同的零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,9) B.(8,9) C.[8,9) D.(8,+∞) 7.函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上的零点个数是　　　　.  8.若二次函数y=x2+3x+2m-1的两个零点都小于0,则实数m的取值范围是　　　　.  9.(13分)已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-4=0. (1)若该方程有一个正根,一个负根,求实数a的取值范围; (2)若该方程有一个根大于2,另一个根小于2,求实数a的取值范围; (3)若该方程有一个根大于2,另一个根不大于0,求实数a的取值范围. 10.[2026·江苏淮安淮阴中学高一期末] 关于x的方程x2+2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根α,β,且α2+β2=12,那么m的值为 (　 ) A.-1 B.-4 C.-4或1 D.-1或4 11.[2026·河北衡水高一调研] 已知关于x的方程x2-2ax+1=0的两个实数根为x1,x2,且满足0<x1<1<x2<2,则常数a的取值范围是 (　 ) A.(0,1) B.(1,+∞) C. D. 12.(多选题)已知函数y=24ax2+4x-1,a∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则-<a< B.若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则-≤a≤或a=- C.若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内有零点,则a>- D.若y=24ax2+4x-1在区间(-1,1)内有零点,则a≥- 13.已知函数y=x2+mx+n(m,n∈R)在区间(1,2)内有两个不同的零点,则2m-n的取值范围是 　　　　.  14.(15分)[2026·江苏南通高一期中] 已知二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3,其中m为实数. (1)求证:对任意实数m,该二次函数有两个零点; (2)设该二次函数在(0,+∞)上有两个不同的零点x1,x2,且+=,求此二次函数的解析式. 15.(多选题)[2026·广东八校联盟高一质检] 定义:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“和谐方程”,下列说法正确的是 (　 ) A.方程x2+x-2=0是“和谐方程” B.若关于x的方程x2+ax+8=0是“和谐方程”,则a=±6 C.若关于x的方程bx2-3bx+c=0(b≠0)是“和谐方程”,则函数y=bx2+3bx+c的图象与x轴交点的坐标是(-1,0)和(-2,0) D.若mn=4,则关于x的方程mx2+3x+n=0是“和谐方程” 16.(15分)[2026·江苏徐州高一期中] 对于二次函数y=mx2+nx+t(m≠0),若存在x0∈R,使得m+nx0+t=x0成立,则称x0为二次函数y=mx2+nx+t(m≠0)的不动点. (1)求二次函数y=x2-x-3的不动点; (2)若二次函数y=2x2-(3+a)x+a-1有两个不相等的不动点x1,x2,且x1>0,x2>0,求+的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $