3.2.1 基本不等式的证明(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

3.2　基本不等式≤(a,b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明 1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 2.函数y=2x+(x>0)有 (　 ) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值4 D.最大值4 3.若a>b>0,则下列不等式成立的是 (　 ) A.a>b>> B.a>>>b C.a>>b> D.a>>>b 4.函数y=2-3x-(x>0)的最大值是 (　 ) A.2-2 B.2-4 C.2+2 D.2+4 5.已知正数a,b满足ab=10,则的最大值是 (　 ) A. B. C. D. 6.若0<x<4,则有 (　 ) A.最小值0 B.最大值2 C.最大值2 D.不能确定 7.[2026·江苏南京高一期中] 已知x>0,y>0,且xy=4,则x+y的最小值为　　　　.  8.已知a为正数,比较大小:　　　4.(填“>”“<”“≥”“≤”中的一个)  9.(13分)(1)若x<0,求y=+3x的最大值; (2)已知0<x<,求y=x(1-3x)的最大值; (3)已知a>0,b>0,且a+b=ab,求a+b的最小值. 10.[2026·江苏泰州高一质检] 已知a>0,b>0且ab=1,则(a+1)(b+1)的最小值为 (　 ) A.4 B.6 C.2 D.8 11.[2026·江苏无锡高一期末] 已知实数x,y满足xy-3x-2y=0,则(x-2)2+(y-3)2的最小值为 (　 ) A.10 B.12 C.13 D.14 12.(多选题)[2026·江苏连云港高一期中] 设a,b均为正数,且ab=1,x=a+b,y=+,则下列说法中正确的是 (　 ) A.x的最小值为2 B.y的最小值为2 C.xy的最小值为9 D.x+y的最小值为6 13.[2026·江苏江阴二中高一月考] 若a>0,b>0且ab=a+b+3,则ab的取值范围为　　　　.  14.(15分)(1)已知a>0,b>0,ab=4,求证:+≥; (2)设a,b,c均为正实数,求证:++≥++. 15.已知x2-3xy+2y2=1(x,y∈R),则2x2+y2的最小值为　　　　.  16.(15分)我们都知道,∀a,b∈R,(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立,于是就有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,即得到重要的不等关系:∀a,b∈R,≥ab,当且仅当a=b时等号成立,其实这是基于完全平方公式和非负数的性质得出的.事实上,我们还能得出下列结论:∀a,b∈R,≥≥ab. (1)证明“∀a,b∈R,≥≥ab”. (2)若a,b∈R,=2,求a+b的最大值与最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　基本不等式≤(a,b≥0) 3.2.1　基本不等式的证明 1.D　[解析] 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±.故选D. 2.C　[解析] 因为x>0,所以y=2x+≥2=4,当且仅当2x=,即x=1时等号成立,故函数有最小值4,无最大值.故选C. 3.B　[解析] a=>>>=b,因此只有B项正确. 4.B　[解析] y=2-,∵x>0,∴由基本不等式得3x+≥2=4,当且仅当x=时取等号.∴y=2-≤2-4,故函数y=2-3x-的最大值是2-4.故选B. 5.A　[解析] 因为正数a,b满足ab=10,所以≤==,当且仅当a=2b=2时,等号成立.故选A. 6.C　[解析] 由基本不等式得,=·≤·=2,当且仅当x=4-x,即x=2时等号成立,故有最大值2,故C正确,B,D错误;令=0,解得x=0或x=4,又0<x<4,所以取不到0,故A错误.故选C. 7.4　[解析] 因为x>0,y>0,所以x+y≥2=2=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以x+y的最小值为4. 8.≥　[解析] 由a>0,得=a+2+≥2+2=4,当且仅当a=1时,等号成立. 9.解:(1)因为x<0,所以-x>0,所以-y=-+(-3x)≥2=2×6=12, 当且仅当-=-3x,即x=-2时取等号, 所以y=+3x≤-12,即y=+3x的最大值为-12. (2)因为0<x<,所以0<3x<1,则1-3x>0,所以y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤=, 当且仅当3x=1-3x,即x=时取等号, 所以y=x(1-3x)的最大值是. (3)由a>0,b>0,得a+b=ab≤,当且仅当a=b时取等号,可得a+b≥4,所以a+b的最小值为4. 10.A　[解析] 因为a>0,b>0且ab=1,所以(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+a+b≥2+2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.故选A. 11.B　[解析] 因为xy-3x-2y=0,所以(x-2)(y-3)=6,令a=x-2,b=y-3,则ab=6,所以(x-2)2+(y-3)2=a2+b2≥2ab=12,当且仅当a=b时取等号.故选B. 12.AC　[解析] 因为a,b均为正数,且ab=1,所以x=a+b≥2=2,当且仅当a=b=1时取等号,A正确;y=+≥2=4,当且仅当b=4a,即a=,b=2时取等号,B错误;xy=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a,即a=,b=时取等号,C正确;x+y=a+b++=a+b+b+4a=5a+2b≥2=2,当且仅当5a=2b,即b=,a=时取等号,D错误.故选AC. 13.[9,+∞)　[解析] 因为a>0,b>0且ab=a+b+3,所以ab-3=a+b≥2,当且仅当a=b=3时等号成立,可得≥3,所以ab≥9. 14.证明:(1)由a>0,b>0,得+==(2a+b)≥×2=,当且仅当2a=b,即a=,b=2时取等号,所以+≥. (2)++==. 因为a,b,c均为正实数,所以ab≤,bc≤,ac≤,当且仅当a=b=c时,等号同时成立,所以≥=++, 所以++≥++. 15.6-10　[解析] 因为x2-3xy+2y2=(x-y)(x-2y)=1,所以x≠y,设x-y=t(t≠0),则x-2y=,所以x=2t-,y=t-,所以2x2+y2=2+=9t2+-10≥6-10,当且仅当9t2=,即t4=时等号成立,所以2x2+y2的最小值为6-10. 16.解:(1)证明:因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以2a2+2b2≥a2+b2+2ab,即2(a2+b2)≥(a+b)2, 则≥. 因为a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,所以a2+b2+2ab≥4ab,即(a+b)2≥4ab,则≥ab. 综上可得≥≥ab. (2)由=2,得a+b>0且(a+b)2=4(+)2,即(a+b)2=8+4(a+b)+8·.因为2·≤a+1+b+1=a+b+2,当且仅当a=b时等号成立, 所以(a+b)2≤8+4(a+b)+4(a+b+2), 即(a+b)2-8(a+b)-16≤0,可得0<a+b≤4+4,当且仅当a=b=2+2时等号成立.又因为8·≥0,且(a+b)2=8+4(a+b)+8·, 所以(a+b)2≥8+4(a+b),即(a+b)2-4(a+b)-8≥0, 可得a+b≥2+2,当且仅当a=-1,b=3+2或a=3+2,b=-1时等号成立. 所以a+b的最大值为4+4,最小值为2+2. 学科网（北京）股份有限公司 $