3.2.2 基本不等式的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

3.2.2　基本不等式的应用 1.若x>1,则函数y=x+的最小值是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.4 C.2+1 D.4+1 2.若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是 (　 ) A.6 B.8 C.9 D.10 3.用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型,则这个模型的面积的最大值为 (　 ) A.9 cm2 B.16 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2 4.[2026·福建厦门六中高一段考] 已知0<x<1,则+的最小值是 (　 ) A.16 B.25 C.27 D.34 5.若实数x>0,y>0,且x+4y=xy,则x+y的最小值为 (　 ) A.7 B.8 C.9 D.10 6.[2026·上海浦东区高一期末] 若x>1,则有 (　 ) A.最小值-2 B.最大值4 C.最小值-4 D.最小值4 7.已知a>0,b>0,且=2,则b+的最小值为　　　　.  8.某公司欲购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器使用的时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器使用　　　　年时,年平均利润最大,最大值是　　　　万元.  9.(13分)某人准备在一块占地面积为1800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(示意图如图所示),大棚的总占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2. (1)试用x,y表示S; (2)若要使S的值最大,则x,y的值各为多少? 10.[2026·天津和平区高一期中] 已知x>0,y>0,且4x+y=1,则的最小值为 (　 ) A.6 B.4 C.4 D.6 11.[2026·江苏苏州高一调研] 已知3x>y>0,且7x+5y=1,则+的最小值为 (　 ) A.10 B.9 C.8 D.7 12.(多选题)[2026·江苏常州高一期末] 若a>0,b>0,且a+4b=1,则下列说法正确的是 (　 ) A.ab有最大值 B.+2有最大值2 C.+有最小值5 D.a2+16b2有最小值 13.已知正实数x,y满足x+y=1,则的最小值为　　　　.  14.(15分)[2026·江苏盐城中学高一月考] 已知正数a,b满足+=1. (1)求+的最小值; (2)求2a2+b2-4a-2b的最小值. 15.设正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为 (　 ) A.2 B. C.1 D. 16.(15分)一天早晨,同学们走进教室,发现黑板上有如下内容: 例:求x3-3x,x∈(0,+¥)的最小值. 解:因为当a,b,c都为正数时,a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时等号成立,所以当x∈(0,+∞)时,x3+1+1≥3x,当且仅当x=1时等号成立, 所以x3-3x=x3+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2, 当且仅当x=1时,取到最小值-2. (1)请你模仿例题,研究x4-4x,x∈(0,+∞)的最小值;(注:当a,b,c,d都为正数时,a+b+c+d≥4,当且仅当a=b=c=d时等号成立) (2)求x3-3x,x∈(0,+∞)的最小值; (3)当a>0时,求x3-ax,x∈(0,+∞)的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　基本不等式的应用 1.D　[解析] 因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1++1≥2+1=4+1,当且仅当x-1=,即x=2+1时等号成立,所以y的最小值为4+1.故选D. 2.C　[解析] +=(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当= ,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C. 3.C　[解析] 设矩形模型一条边的长为x cm,相邻边的长为y cm,则x>0,y>0,由题意可得2(x+y)=8,所以x+y=4.设矩形模型的面积为S cm2,则S=xy≤==4,当且仅当x=y=2时等号成立,故选C. 4.B　[解析] 由0<x<1,得1-x>0,因此+=[x+(1-x)]=17++≥17+2=25,当且仅当=,即x=时取等号,所以+的最小值为25.故选B. 5.C　[解析] 因为实数x>0,y>0,x+4y=xy,所以+=1,则x+y=(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当x=2y时等号成立,即x+y的最小值为9,故选C. 6.D　[解析] 由x>1,可得x-1>0,所以==(x-1)+≥2=4,当且仅当x-1=,即x=3时取等号,故有最小值4.故选D. 7.2　[解析] 因为a>0,b>0,且=2,即a=2b,所以b+=b+≥2=2,当且仅当b=1,a=2时取等号. 8.5　8　[解析] 每台机器使用x年的年平均利润为=18-,且x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元. 9.解:(1)由题意可得xy=1800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,所以S=(x-2)a+(x-3)b=(3x-8)a=(3x-8)·=1808-3x-y(x>3,y>3). (2)S=1808-3x-×=1808-≤1808-2=1808-240=1568,当且仅当3x=,即x=40时等号成立,此时y==45,所以当x=40,y=45时,S取得最大值. 10.D　[解析] 因为x>0,y>0,且4x+y=1,x2+y2≥2xy,所以==≥=6,当且仅当x=y=时等号成立,故的最小值为6.故选D. 11.B　[解析] 因为3x>y>0,且7x+5y=1,所以+=+=(3x-y+4x+6y)=5++≥5+2=9,当且仅当2(3x-y)=4x+6y,即x=,y=时取等号,故+的最小值为9.故选B. 12.AC　[解析] 对于A,ab=×4ab≤×=,当且仅当a=4b且a+4b=1,即b=,a=时取等号,所以ab有最大值,故A正确;对于B,因为(+2)2=a+4b+2≤a+4b+a+4b=2,所以+2≤,当且仅当a=4b=时取等号,所以+2有最大值,故B错误;对于C,+=+=1++≥1+2=5,当且仅当=且a+4b=1,即a=,b=时取等号,所以+有最小值5,故C正确;对于D,因为a2+16b2≥2×4ab,所以2(a2+16b2)≥a2+16b2+2×4ab=(a+4b)2,所以a2+16b2≥=,当且仅当a=4b且a+4b=1,即b=,a=时取等号,所以a2+16b2有最小值,故D错误.故选AC. 13.18　[解析] ∵正实数x,y满足x+y=1,∴==+=+=10++≥10+2=18,当且仅当y=2x=时等号成立,故的最小值为18. 14.解:(1)因为正数a,b满足+=1,所以a+b=ab且a>1,b>1,则(a-1)(b-1)=1, 又+=4++9+=13++≥13+2=25,当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为25. (2)2a2+b2-4a-2b=2(a2-2a)+(b2-2b)=2(a2-2a+1)+(b2-2b+1)-3=2(a-1)2+(b-1)2-3, 由(1)知(a-1)(b-1)=1且a-1>0,b-1>0, 所以2(a-1)2+(b-1)2≥2=2, 当且仅当2(a-1)2=(b-1)2时,等号成立, 所以2(a-1)2+(b-1)2-3≥2-3,即2a2+b2-4a-2b的最小值为2-3. 15.A　[解析] 因为正实数x,y,z满足x2-xy+4y2-z=0,所以z=x2-xy+4y2,所以==≤=,当且仅当=,即x=2y时,等号成立,此时z=x2-xy+4y2=6y2,当取得最大值时,+-=+-=-+=-+2,分析可得,当=2,即y=时,+-取得最大值2.故选A. 16.解:(1)因为当a,b,c,d都为正数时a+b+c+d≥4,当且仅当a=b=c=d时等号成立, 所以当x∈(0,+∞)时,x4+1+1+1≥4x,当且仅当x=1时等号成立, 所以x4-4x=x4+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3, 当且仅当x=1时,取得最小值-3. (2)因为当a,b,c都为正数时a+b+c≥3,当且仅当a=b=c时等号成立,所以当x∈(0,+∞)时,x3+3+3≥3x,当且仅当x=3时等号成立, 所以x3-3x=x3+3+3-6-3x≥3x-6-3x=-6, 当且仅当x=3时,取得最小值-6. (3)由题可得x3++≥ax,当且仅当x3=时等号成立,所以x3-ax=x3++--ax≥-,当且仅当x3=时,取得最小值-. 学科网（北京）股份有限公司 $