3.2.2 基本不等式的应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2 基本不等式 3.2.2 基本不等式的应用 同步练习 一、单项选择题 1. 某书店计划年进某类图书3万册，分若干次进货，每次进货量相同，每次进货运费150元，每年每册库存费3元．为使一年的运费和库存费之和最省，每次进货量应为（　　） A. 300册 B. 600册 C. 1500册 D. 3000册 1. 建造一个容积为18m³，深度为2m的长方体无盖养鱼池，若池底每平方米造价200元，池壁每平方米造价120元，则该养鱼池的最低总造价为（　　） A. 3600元 B. 4800元 C. 5400元 D. 6200元 1. 一批快递从甲地匀速运达乙地，路程为600km，快递车速度为v km/h．已知为保证安全，两辆快递车的间距不得小于 km（车辆长度忽略不计），则这批快递全部运到乙地最快需要（　　） A. 4小时 B. 5小时 C. 6小时 D. 7小时 1. 小李使用一架两臂不等长的天平称茶叶，先将15g的砝码放在天平左盘中，取出一些茶叶放在天平右盘中使天平平衡；再将15g的砝码放在天平右盘中，再取出一些茶叶放在天平左盘中使天平平衡．设小李两次称得的茶叶总重量为m g，根据力矩平衡原理（，其中分别为左右盘中物体的质量，分别为左右横梁的臂长），则m与30g的关系为（　　） A. 等于30g B. 小于30g C. 大于30g D. 与臂长有关 1. 已知某服装厂生产某款服装的年固定成本为600万元，每生产1万件该款服装需另投入200万元．设该服装厂一年内共生产该款服装万件并且全部销售完，每万件的收入为万元，则服装厂在该款服装生产中所获得的最大利润为（　　） A. 8000万元 B. 6500万元 C. 16000万元 D. 14000万元 1. 小张经常在两家水果店买苹果，现有两种购买方案：第一种方案，每次均买40斤苹果；第二种方案，每次均花300元买苹果．则苹果涨价时，（　　） A. 第一种方案更划算 B. 第二种方案更划算 C. 两种方案一样划算 D. 无法确定 1. 制作一个面积为4m²，形状为直角三角形的广告牌框架，较经济（够用且耗材最少）的铁管长度是（　　） A. 7m B. 8m C. 9m D. 10m 1. 某文具店义卖，文具进货价每件12元，当售卖价格（每件x元）在时，本次义卖售出的件数．若想在本次义卖中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为（　　） A. 15元 B. 18元 C. 21元 D. 24元 二、多项选择题 9.市场上有一种新型的强力清洁剂，特点是去污速度快．已知每投放，且个单位的清洁剂在一定量水中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．根据经验，当水中清洁剂的浓度不低于6克/升时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是（　　） · A. 一次投放6个单位的清洁剂，在4分钟时，清洁剂在水中释放的浓度为克/升 · B. 一次投放6个单位的清洁剂，有效去污时间可达10分钟 · C. 若第一次投放4个单位的清洁剂，8分钟后再投放4个单位的清洁剂，第10分钟清洁剂在水中释放的浓度为7克/升 · D. 若第一次投放4个单位的清洁剂，8分钟后再投放4个单位的清洁剂，接下来6分钟能够持续有效去污 10.已知，，且不等式恒成立，则的值可以是（　　） · A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、填空题 11.已知函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是________． 12.已知容值分别为均不为0的两种电容，连接成两个不同的电路，分别如图1（串联后并联）、图2（并联后串联）所示，它们的总容抗分别记为．若，则的最大值为________． 四、解答题 13.某奶茶店准备在某商铺外，利用其一侧原有墙面，建造一间墙高为3m，底面积为20m²，且背面靠墙的长方体形状的操作间（后背靠墙无需建造费用）．甲装修队给出的报价为：操作间前面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米250元，顶面和地面以及其他报价共计9000元.设操作间的左右两侧墙的长度均为 m（）． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲装修队报价最低？ （2）现有乙装修队也参与此操作间装修竞标，其给出的整体报价为元（）．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙装修队都能竞标成功，试求的取值范围． 14.某农场建造一个无盖的长方体储粮仓，其容积为8000m³，深度为5m．如果仓底每平方米的造价为150元，仓壁每平方米的造价为100元，怎样设计粮仓能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 15.某农场种植某作物，年固定成本为400万元，每种植1万亩该作物需另投入150万元．设该农场一年内共种植该作物万亩并且全部销售完，每万亩的收入为万元．求该农场在该作物种植中所获得的最大利润及此时的种植面积． 答案与解析 一、单项选择题 1. 答案：C 解析：设每次进货量为册。年进货3万册，分次进货，年运费为元；年库存费为元，总费用。由基本不等式，，当且仅当时取等号，解得。故选C。 1. 答案：C 解析：水池深度2m，容积18m³，底面积为²。设底面长为，则宽为。总造价。由基本不等式，，当时取等号，此时总造价最低为元。故选C。 1. 答案：B 解析：设运输时间为小时，路程600km，速度，则行驶时间为小时，安全间距产生的额外时间为小时，故。由基本不等式，，结合选项验证，最快需要5小时。故选B。 1. 答案：C 解析：设天平左臂长、右臂长。第一次左盘放10g砝码，右盘黄金，得，即；第二次右盘放10g砝码，左盘黄金，得，即。总重量，由基本不等式，，因，等号不成立，故。故选C。 1. 答案：A 解析：利润，代入²，得²。当时，²万元，结合选项验证此时利润最大。故选A。 1. 答案：B 解析：设两次苹果单价为、元/斤。方案1平均单价为；方案2平均单价为。由基本不等式，，故，而，涨价时方案2更划算。故选B。 1. 答案：B 解析：设直角三角形两直角边为、，面积，即。周长²²。由基本不等式，，²²，故，结合选项选B。 1. 答案：B 解析：筹集资金²。令，则，代入得²。令，则²，二次函数顶点在，即，。故选B。 二、多项选择题 9.答案：ACD 解析： 选项A：一次投放6个单位清洁剂，时，浓度，A正确； 选项B：令，解得，有效时间不足10分钟，B错误； 选项C：第10分钟时，第一次投放的浓度与第二次投放的浓度相加为7克/升，C正确； 选项D：接下来5分钟，浓度始终≥6克/升，能持续有效去污，D正确。 10.答案：AB 解析：令、，则不等式变为²²。展开后由基本不等式得最小值为12，故，即，选AB。 三、填空题 11.答案： 解析：由²，整理得。令，，试值得为最小值，故。 12.答案： 解析：由电容串并联公式，。已知，由基本不等式，故。 四、解答题 13.解析 （1）设甲装修队报价为元，操作间左右墙长，则前后墙长。 前面墙费用：元； 左右墙费用：元； 总报价。 由基本不等式，，当且仅当，即（范围内）时，报价最低。 （2）乙报价需低于甲报价，即，整理得²。令，则²，由基本不等式得右边最小值为18，故。 14.解析 储粮仓深度5m，容积8000m³，底面积为²。设底面长为，则宽为。 总造价。 由基本不等式，，当且仅当时取等号，此时最低总造价为元。 结论：设计成长40m、宽40m的正方形粮仓，最低总造价320000元。 15.解析 利润，代入²，得²²。 试值验证：当时，²万元，此时利润最大。 结论：最大利润为351100万元，此时种植面积为80万亩。 学科网（北京）股份有限公司 $