2.2 充分条件、必要条件、充要条件(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

2.2　充分条件、必要条件、充要条件 1.B　[解析] 由a2=1,得a=±1,所以充分性不成立;由a=1,得a2=1,所以必要性成立.所以“a2=1”是“a=1”的必要条件. 2.A　[解析] 当0<x<1时,一定有0<x<4,充分性成立;当0<x<4时,如x=3时,不满足0<x<1,即必要性不成立.所以“0<x<1”是“0<x<4”的充分且不必要条件.故选A. 3.C　[解析] 由“两个三角形相似”可得“两个三角形的三边对应成比例”,即充分性成立;反之,由“两个三角形的三边对应成比例”可得“两个三角形相似”,即必要性成立.所以“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的充要条件.故选C. 4.C　[解析] 由题意得q⇒p,对照选项,当x满足-3<x<1时,必满足-3<x≤2.故选C. 5.A　[解析] 由M={0,a},可知a≠0,结合N={-2,0,1},M⊆N,可得a=-2或a=1.当a=1时,可推出M⊆N;反之,由M⊆N不能得到a=1.所以“a=1”是“M⊆N”的充分且不必要条件.故选A. 6.AB　[解析] 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,A正确;由x2=1得x=1或x=-1,故“x=1”是“x2=1”的充分且不必要条件,B正确;在△ABC中,若AB2+AC2=BC2,则△ABC为直角三角形,但当△ABC为直角三角形时,无法判断直角是哪个角,从而AB2+AC2=BC2不一定成立,C错误;由2x+1>5可得x>2,由x>4能推出x>2,由x>2推不出x>4,故“x>4”是“2x+1>5”的充分且不必要条件,D错误.故选AB. 7.充分且不必要　[解析] 由x=2可以推出x2=4;由x2=4可得x=±2,不能推出x=2.故“x=2”是“x2=4”的充分且不必要条件. 8.-2　[解析] 由二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴方程是x=1,可得m=-2;反之也成立.所以“二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴方程是x=1”的充要条件是“m=-2”. 9.解:(1)因为|x|=|y|⇒/ x=y,但x=y⇒|x|=|y|,所以p是q的必要且不充分条件. (2)因为△ABC是直角三角形⇒/ △ABC是等腰三角形,△ABC是等腰三角形⇒/ △ABC是直角三角形,所以p是q的既不充分又不必要条件. (3)因为四边形的对角线互相平分⇒/ 四边形是矩形,但四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,所以p是q的必要且不充分条件. (4)因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件. (5)由ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,则p⇒q;反之,当a=0时,方程ax2+2x-1=0只有一个实数根,即q⇒/ p,所以p是q的充分且不必要条件. 10.解:(1)当a=3时,A={x|2≤x≤4},所以∁RA={x|x<2或x>4},又B={x|-2≤x≤5},所以(∁RA)∩B={x|-2≤x<2或4<x≤5}. (2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,所以A⫋B,又A是非空集合,所以a-1≤6a-14且 (等号不同时成立),解得≤a≤, 所以实数a的取值范围为≤a≤. 11.C　[解析] 因为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根,所以解得a<0,所以一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分且不必要条件可以是a<-1.故选C. 12.C　[解析] a2+b2+c2≤ab+bc+ca⇔2(a2+b2+c2)≤2(ab+bc+ca)⇔2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0⇔(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0 ⇔a=b=c,所以“a2+b2+c2≤ab+bc+ca”是“a=b=c”的充要条件.故选C. 13.BC　[解析] 对于A,易知p:a=0或b=0,q:a=0且b=0,则p⇒/ q,所以p不是q的充要条件;对于B,由|x|+|y|=|x+y|知,x,y要么同为正数,要么同为负数,要么至少有一个为零,均满足xy≥0,故p是q的充要条件;对于C,因为关于x的方程x2-x-m=0有实数根,所以Δ=1+4m≥0,即m≥-,所以p是q的充要条件;对于D,因为p⇒/q,所以p不是q的充要条件,故选BC. 14.m>0　[解析] p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题,则当a=0时,由2x+1=0,得x=-,符合题意.当a<0时,Δ=4-4a>0,设方程ax2+2x+1=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=->0,x1x2=<0,则此时方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,符合题意.当a>0时,若Δ=4-4a=0,则a=1,此时方程为x2+2x+1=(x+1)2=0,解得x=-1,符合题意;若Δ=4-4a>0,则0<a<1,设方程ax2+2x+1=0的两个实根分别为x1,x2,则x1+x2=-<0,x1x2=>0,则此时方程ax2+2x+1=0有两个负根,符合题意.综上所述,当p为真命题时,a的取值范围是a≤1.因为p为真命题的一个必要且不充分条件为a≤m+1,所以m+1>1,解得m>0. 15.0<a<3　[解析] 由“y∈B”是“y∈A”的必要条件,得A⊆B.又A中元素为整数,故A只可能为{1},{2},{1,2}.由点(x-1,x-a)不在第一、三象限,得或 则①或②.当a<1时,①无解,由②得a≤x≤1,此时A={x|a≤x≤1,x∈Z},故A={1},则0<a<1;当a=1时,x=1,则A={1},满足题意;当a>1时,②无解,由①得1≤x≤a,此时A={x|1≤x≤a,x∈Z},因为1∈A,3∉A,所以1<a<3.综上,实数a的取值范围是0<a<3. 16.解:△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. 证明:充分性:若a2+b2>c2,则△ABC不是直角三角形. 假设△ABC为钝角三角形,则∠C>90°, 过B作AC的延长线的垂线,垂足为D(如图①),由勾股定理知c2=BD2+(b+CD)2=BD2+CD2+b2+2·CD·b=a2+b2+2·CD·b>a2+b2,与a2+b2>c2矛盾, 故假设不成立,△ABC为锐角三角形,充分性成立. 必要性:过点A作边BC的垂线,垂足为D(如图②), 由勾股定理知,c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=b2-CD2+(a-CD)2=a2+b2-2·CD·a<a2+b2.故必要性成立.故△ABC为锐角三角形的充要条件为a2+b2>c2. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　充分条件、必要条件、充要条件 1.若a∈R,则“a2=1”是“a=1”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 2.“0<x<1”是“0<x<4”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.“两个三角形相似”是“两个三角形的三边对应成比例”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.[2026·江苏南京高一期中] 已知p:-3<x≤2,若p是q的必要条件,则q可以为 (　 ) A.-3≤x≤1 B.x<1 C.-3<x<1 D.x<-3 5.[2026·江苏无锡南菁中学高一月考] 已知a∈R,若集合M={0,a},N={-2,0,1},则“a=1”是“M⊆N”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 6.(多选题)[2026·云南昆明高一期中] 下列说法中正确的是 (　 ) A.已知A,B为非空集合,若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B B.“x=1”是“x2=1”的充分且不必要条件 C.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 D.“2x+1>5”的一个必要且不充分条件为“x>4” 7.已知x为实数,则“x=2”是“x2=4”的　　　　　　　　条件.(请填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分又不必要”中的一个)  8.“二次函数y=x2+mx+1的图象的对称轴方程是x=1”的充要条件是“m=　　　　”.   9.(13分)下列各题中,分别判断p是q的什么条件. (1)p:|x|=|y|,q:x=y; (2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形; (3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形; (4) p:A∪B=A, q:A∩B=B; (5)p:ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,q:a>-1. 10.(13分)已知非空集合A={x|a-1≤x≤6a-14},B={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(∁RA)∩B; (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分且不必要条件,求实数a的取值范围. 11. 一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分且不必要条件可以是 (　 ) A.a<0 B.a>0 C.a<-1 D.a>1 12.[2026·湖北百强高中名校高一月考] 设a,b,c∈R,则 “a2+b2+c2≤ab+bc+ca”是“a=b=c”的 (　 ) A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 13.(多选题)下列选项中,p是q的充要条件的是 (　 ) A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y| C.p:m≥-,q:关于x的方程x2-x-m=0有实数根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 14.[2026·陕西渭南高一期中] 已知p:方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根,若p为真命题的一个必要且不充分条件为a≤m+1,则实数m的取值范围是　　　　.  15.已知集合A={x|点(x-1,x-a)不在第一、三象限,x∈Z},集合B={t|1≤t<3},若“y∈B”是“y∈A”的必要条件,则实数a的取值范围是　　　　　.  16.(15分)设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,且a≤b≤c,则“△ABC为直角三角形”的充要条件是“a2+b2=c2”.试用边长a,b,c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件,并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $