4.2.1 对数的概念(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

4.2　对数 4.2.1　对数的概念 【学习目标】 　　能够在具体的数学情境中,得出对数的概念. ◆ 知识点一　对数的概念 1.定义:一般地,如果ab=N(a>0,a≠1),那么就称b是以　　　　的对数,记作　　　　,其中,a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　.  2.通常将以10为底的对数称为　　　　　　.为了方便起见,对数log10N简记为　　　　.  在科学技术中,常常使用以e为底的对数,这种对数称为　　　　　　.e=2.718 28…是一个无理数.正数N的自然对数logeN一般简记为　　　　.  3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,ab=N⇔b=　　　　　.  对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.具体对应如图所示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)logaN表示loga与N的乘积. (　 ) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　 ) (3)对数式log32与log23的意义一样. (　 ) ◆ 知识点二　对数的性质与对数恒等式 1.对数的性质:如果a>0,且a≠1,那么 (1)logaa=　　　　,语言表述为　　　　　　　　　　　　;  (2)loga1=　　　　,语言表述为　　　　　　　　　　　　;  (3)　　　　　没有对数.   2.对数恒等式为　　　　　　　　　　.   3.logaab=　　　　(a>0,且a≠1).  ◆ 探究点一　对数的概念 例1 (1)使对数log2(-2x+3)有意义的x的取值范围为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)在对数式b=log(a-4)(a2-2a-8)中,实数a的取值范围是 (　 ) A.a<-2或a>4 B.-2<a<4 C.4<a<5或a>5 D.4<a<5 [素养小结] 对数有意义的两个条件:①底数大于0且不等于1;②真数必须大于0. ◆ 探究点二　指数式与对数式的互化 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. (1)3-4=;(2)5x=20;(3)7b=1; (4)=;(5)b=log210; (6)x=ln 5;(7)4=lg x. 变式 (1)已知logx16=2,则x等于 (　 ) A.4 B.±4 C.256 D.2 (2)(多选题)下列指数式与对数式的互化正确的是 (　 ) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=- C.log39=2与=3 D.log55=1与51=5 (3)已知a>0且a≠1,loga2=p,loga3=q,则a2p+q=　　　　.  [素养小结] 对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如表: 式子 名称 意义 a x N 指数式ax=N 底数 指数 幂 a的x次幂等于N 对数式logaN=x 底数 对数 真数 以a为底N的对数等于x ◆ 探究点三　求对数值 例3 求下列各式的值: (1)log232;(2)log4;(3)lo(3-2). 变式 求下列各式的值: (1)lo2;(2)log7;(3)log2(log93). [素养小结] 求对数式logaN的值的步骤:(1)设logaN=m;(2)将logaN=m写成指数式am=N;(3)将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b. ◆ 探究点四　利用对数性质或对数恒等式求值 例4 (1)求下列各式的值: ①log330=　　　　;②log77=　　　　;  ③lg(lg 10)=　　　　;④lg(ln e)=　　　　;  ⑤ln(lg 10)=　　　　;⑥ln(ln e)=　　　　;  ⑦0.=　　　;⑧+e2ln 4=　　　.  (2)求下列各式中x的值. ①logx81=4;②=x; ③log8[log7(log2x)]=0;④log2[log3(log2x)]=1; ⑤=27. 变式 (1)有以下四个结论:①log2(log216)=2;②若1=log5M,则M=5;③若e=ln x,则x=e2.其中正确的是　　　　(把正确结论的序号都填上).  (2)已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值. [素养小结] 运用对数恒等式时的注意事项 (1)对于对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)要注意格式:①它们是同底的;②指数中含有对数形式;③其值为对数的真数. (2)对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　对数 4.2.1　对数的概念 【课前预习】 知识点一 1.a为底N　logaN=b　底数　真数 2.常用对数　lg N　自然对数　ln N　3.logaN 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 知识点二 1.(1)1　底数的对数等于1　(2)0　1的对数等于0 (3)0和负数 2.=b(a>0,且a≠1)　3.b 【课中探究】 探究点一 例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)要使对数log2(-2x+3)有意义,只要使真数-2x+3>0即可,可得x<,所以x的取值范围为,故选C. (2)由题意,得解得4<a<5或a>5,故选C. 探究点二 例2　解:(1)log3=-4;(2)log520=x;(3)log71=b; (4)log2=-;(5)2b=10;(6)ex=5;(7)104=x. 变式　(1)A　(2)ABD　(3)12　[解析] (1)由题知x2=16(x>0且x≠1),所以x=4.故选A. (2)当a>0,且a≠1时,由ax=N⇔x=logaN可知,A,B,D都正确;C中,log39=2⇔9=32.故选ABD. (3)由loga2=p,loga3=q,得ap=2,aq=3,所以a2p+q=a2p·aq=(ap)2·aq=22×3=12. 探究点三 例3　解:(1)∵25=32,∴log232=5. (2)设x=log4,则4x=,则22x=2-5, ∴2x=-5,∴x=-. (3)∵(-1)2=3-2,∴lo(3-2)=2. 变式　解:(1)设lo2=x,则=2,即2-4x=2, ∴-4x=1,x=-,即lo2=-. (2)设log7=x,则7x==, ∴x=,即log7=. (3)设log93=x,则9x=3,即32x=3,∴x=,设log2=y,则2y==2-1,∴y=-1,∴log2(log93)=-1. 探究点四 例4　(1)①0　②1　③0　④0　⑤0　⑥0　⑦8　⑧ [解析] ①log330=log31=0. ②log77=1. ③lg(lg 10)=lg 1=0. ④lg(ln e)=lg 1=0. ⑤ln(lg 10)=ln 1=0. ⑥ln(ln e)=ln 1=0. ⑦由对数恒等式=N(a>0且a≠1,N>0),得0.=8. ⑧+e2ln 4=()-1+(eln 4)2=3-1+42=+16=. (2)解:①因为logx81=4,所以x4=81=34,又x>0且x≠1,所以x=3. ②x==(==5. ③因为log8[log7(log2x)]=0,所以log7(log2x)=1, 所以log2x=7,解得x=27=128. ④因为log2[log3(log2x)]=1,所以log3(log2x)=2, 所以log2x=9,解得x=29=512. ⑤因为=27,所以2x+1=27,解得x=13. 变式　(1)①②　[解析] log2(log216)=log24=2,故①正确;若1=log5M,则M=5,故②正确;若e=ln x,则x=ee,故③错误.故填①②. (2)解:因为log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.同理可求得y=16,所以x+y=80. 学科网（北京）股份有限公司 $