4.2.1 对数的概念(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

4.2 对数 1 4.2.1 对数的概念 2 探究点一 对数的概念 探究点二 指数式与对数式的互化 探究点三 求对数值 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 能够在具体的数学情境中，得出对数的概念. 4 知识点一 对数的概念 1.定义:一般地,如果,那么就称 是以________的 对数,记作__________,其中，叫作对数的______, 叫作______. 为底 底数 真数 2.通常将以10为底的对数称为__________.为了方便起见，对数 简记为_____. 在科学技术中，常常使用以 为底的对数，这种对数称为_________ 是一个无理数.正数的自然对数 一般简记为 _____. 常用对数 自然对数 课 前 预 习 5 3.根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当,且 时, _______. 对数式与指数式是同一种数量关 系的两种不同表达形式.具体对应 如图所示. 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）表示与 的乘积.( ) × （2）可化为 .( ) × （3）对数式与 的意义一样．( ) × 课 前 预 习 7 知识点二 对数的性质与对数恒等式 1.对数的性质：如果,且 ，那么 （1） ___,语言表述为_________________； （2） ___,语言表述为______________； （3）_________没有对数. 1 底数的对数等于1 0 1的对数等于0 0和负数 2.对数恒等式为__________________________. 3.___，且 . ，且 课 前 预 习 8 探究点一 对数的概念 例1（1）使对数有意义的 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 要使对数有意义，只要使真数 即 可，可得，所以的取值范围为 ，故选C. √ 课 中 探 究 9 （2）在对数式中,实数 的取值范围是 ( ) A.或 B. C.或 D. [解析] 由题意,得解得或 ,故选C. √ 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 对数有意义的两个条件：①底数大于0且不等于1；②真数必须大于0． 课 中 探 究 11 探究点二 指数式与对数式的互化 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （1） ； 解： ； （2） ； 解： ； （3） ； 解： ； 课 中 探 究 12 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （4） ； 解： ； （5） ； 解： ； 课 中 探 究 13 例2 把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式. （6） ； 解： ； （7） . 解： . 课 中 探 究 14 变式（1）已知，则 等于( ) A.4 B. C.256 D.2 [解析] 由题知且，所以 .故选A. √ 课 中 探 究 15 （2）（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 当,且时，由 可知,A,B,D都 正确; C中,.故选 . √ √ √ 课 中 探 究 16 （3）已知且，,,则 ____. 12 [解析] 由,,得, , 所以 . 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 对数式与指数式的关系：由对数的定义知,对数式与指数式是同一种 数量关系的两种不同表达形式.其关系如表: 式子 名称 意义 指数式 底数 指数 幂 的次幂等于 对数式 底数 对数 真数 以为底的对数等于 课 中 探 究 18 探究点三 求对数值 例3 求下列各式的值： （1） ; 解：, . （2） ; 解：设,则,则 ,， . （3） . 解：, . 课 中 探 究 19 变式 求下列各式的值： （1） ； 解：设，则，即 ， ，，即 . （2） ； 解：设，则 ，，即 . 课 中 探 究 20 变式 求下列各式的值： （3） . 解：设，则，即，， 设 ，则， ， . 课 中 探 究 21 ［素养小结］ 求对数式<m></m>的值的步骤：（1）设<m></m>;（2）将<m></m> 写成指数式<m></m>;（3）将<m></m>写成以<m></m>为底的指数幂<m></m>,则<m></m>, 即<m></m>. 课 中 探 究 22 探究点四 利用对数性质或对数恒等式求值 例4（1）求下列各式的值: ① ___; 0 [解析] . ② ___; 1 [解析] . 课 中 探 究 23 例4（1）求下列各式的值: ③ ___； 0 [解析] . ④ ___； 0 [解析] . 课 中 探 究 24 例4（1）求下列各式的值: ⑤ ___； 0 [解析] . ⑥ ___； 0 [解析] . 课 中 探 究 25 例4（1）求下列各式的值: ⑦ ___; 8 [解析] 由对数恒等式且, , 得 . ⑧ _ __. [解析] . 课 中 探 究 26 （2）求下列各式中 的值. ① ; 解：因为,所以,又且,所以 . ② ; 解： . ③ ； 解：因为，所以 ， 所以，解得 . 课 中 探 究 27 （2）求下列各式中 的值. ④ ； 解：因为，所以 ， 所以，解得 . ⑤ . 解：因为，所以，解得 . 课 中 探 究 28 变式（1）有以下四个结论：；②若 ， 则；③若，则 .其中正确的是______（把正确结 论的序号都填上）. ①② [解析] ，故①正确； 若 ，则，故②正确； 若，则 ，故③错误.故填①②. 课 中 探 究 29 （2）已知,求 的值. 解：因为,所以,所以 , 所以. 同理可求得,所以 . 课 中 探 究 30 ［素养小结］ 运用对数恒等式时的注意事项 （1）对于对数恒等式<m></m>，且<m></m>，<m></m>要注意格 式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数． （2）对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等 式的应用. 课 中 探 究 31 对数的发明 十六、十七世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速 发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高 计算速度和准确度成了当务之急．苏格兰数学家纳皮尔 在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终 找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定 律说明书》，标志着对数的诞生. 把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友，英国数学 家布里格斯 .他通过研究 《奇妙的对数定律说明书》， 数 学 文 化 32 感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为 0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对 数．由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性． 1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含 及 的14位常用对数表. 18世纪，瑞士数学家欧拉 发现指数与对数的互逆 关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用 来定义 ．他指出“对数源于指数”.对数的发明先于指数，这成为数 学史上的珍闻. 数 学 文 化 课后习题 34 1.已知,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,所以 ,故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 2.已知，则 ( ) A.2 B. C.3 D.4 [解析] 因为，所以，且 ， 所以 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 3.已知对数式有意义，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由有意义可知解得 且 ,所以的取值范围为 .故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 4.计算 ( ) A. B.7 C. D. [解析] .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 5.（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是( ) A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 将指数式化成对数式为 ,故A正确; 将指数式化成对数式为,故B错误; 将指数式 化成对数式为,故C正确; 将指数式化成对数式为 , 故D正确.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 6.有以下四个结论，其中正确的是( ) A. B. C.若，则 D.若，则 [解析] 对于A，由于，而0和负数没有对数，则 无 意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，由，得，C错误； 对于D，由，得 ，D错误.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 7.计算 ___. 6 [解析] . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 8.关于的方程 的解集为________. [解析] 因为，所以，所以方程 的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.（13分）将下列指数式改写成对数式，对数式改写成指数式： （1） ； 解： . （2） ； 解： . （3） ； 解： . （4） . 解： . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 10.（13分） （1）求下列各式中 的值． ； 解：①由，得 ，所以 . 解：②因为，所以，所以 . . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 （2）已知，，求 的值. 解：因为，所以 ， 又，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 （3）已知，求 的值. 解：由，得，则 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 11.若，则 的值为( ) A.2 B.3 C.5 D.8 [解析] 由，得，解得， 由 ，得，解得，所以 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 12.[2026·江苏无锡高一期末]已知， ， ，则实数 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则 ， ，， 所以 ，可得， 又，，所以 ，所以 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 13.若,,则 _ _. [解析] ,,， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 14.若满足，则 _ _____. 或8 [解析] 设，则原方程可化为，解得 或，所以或，解得或 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 15.[2026·江苏扬州中学高一期中] 已知,为正实数， ， ，则 __. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 [解析] 因为,为正实数， ， 所以，所以 ， 故. 因为，所以 . 又，，所以， 当且仅当 时，等号成立. 综上，，则，可得 ， 则 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知，且； ，且 ．求证：或 . 证明：设，则， ， ，且，，即 . 当时，；当时，.故或 ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 $