4.1.1 根式(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

第4章　指数与对数 4.1　指数 4.1.1　根式 【学习目标】 　　1.能够在具体的数学情境中,了解n次方根及根式的含义. 　　2.理解并掌握n次方根的性质. 　　3.利用n次方根的性质解决有关问题,并培养学生数学运算的核心素养. ◆ 知识点一　n次方根的概念 一般地,如果xn=a(n>1,n∈N*),那么称x为a的　　　　　　.   (1)当n为奇数时,正数的n次方根是　　　　,负数的n次方根是　　　　.   (2)当　　　　　　时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数.   (3)需要注意的是,0的n次方根等于0. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)任意实数的奇次方根只有1个. (　 ) (2)正数的偶次方根有两个,且互为相反数. (　 ) (3)-32的5次方根为±2. (　 ) (4)=π-4. (　 ) ◆ 知识点二　根式的概念及其性质 1.根式的定义:式子　　　　叫作根式,其中n叫作根指数,a叫作被开方数.   2.根式的性质:对于n∈N*,n>1,当n为奇数时,=　　　　;当n为偶数时,=　　　　　　　　.   【诊断分析】 我们已经知道,若x2=3,则x=±,那么()2等于什么?呢?呢? ◆ 探究点一　n次方根的概念 例1 (1)(多选题)若n∈N*,a∈R,则下列四个式子中有意义的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)的3次方根是　　　　.  变式 (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.的运算结果是±3 B.16的4次方根是2 C.当n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义 D.当n为大于1的奇数时,对任意a∈R都有意义 [素养小结] (1)方根的个数:正数的偶次方根有两个,且互为相反数,负数没有偶次方根;0的偶次方根只有一个,为0;任意实数的奇次方根只有一个. (2)符号:根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. ①当n为偶数,且a≥0时,为非负实数; ②当n为奇数时,的符号与a的符号一致. (3)对于根式(a>0,b>0),若存在x>y>0,xy=b,x+y=a,则=±. ◆ 探究点二　利用根式的性质化简与求值 例2 (1)式子+的值为 (　 ) A.7-2π B.2π-7 C.-1 D.1 (2)化简:+=　　　　.  (3)已知a=,b=,则a+b=　　　　.  变式 化简下列各式: (1)+-; (2)-(其中m<n<0); (3)·(a<1). [素养小结] 根式化简与求值的思路及注意点 思路:用根式的性质将根式化简,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,其次选用相应公式化简. 注意点:①解题时要注意公式的适用范围,特别是在化简含有字母的根式时要注意字母的取值范围; ②正确区分()n与; ③运算时注意变形与整体代换,以及平方差、立方差、完全平方式的运用,必要时要进行分类讨论. ◆ 探究点三　有限制条件的根式的化简 例3 若代数式+有意义,化简+2. 变式 [2026·江苏扬州高一期中] 若1<a<2,则+的化简结果是 (　 ) A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章　指数与对数 4.1　指数 4.1.1　根式 【课前预习】 知识点一 n次方根　(1)一个正数　一个负数　(2)n为偶数 诊断分析 1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 知识点二 1.　2.a　|a|= 诊断分析 解:()2=3;==3;==3. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)ACD　(2)　[解析] (1)因为n∈N*,所以4n为正偶数,则(-5)4n>0,所以有意义,A正确;取n=1,则(-5)3<0,此时无意义,B错误;因为的根指数为奇数,所以有意义,C正确;对任意a∈R,a2+1>0恒成立,则有意义,D正确.故选ACD. (2)因为=,所以的3次方根是. 变式　CD　[解析] 对于A,偶次根式的结果只能是正数,故A错误;对于B,正数的偶次方根的结果有正有负,故B错误;对于C,D,根据根式的性质可知C,D正确.故选CD. 探究点二 例2　(1)A　(2)2　(3)2　[解析] (1)+=|π-4|+3-π=4-π+3-π=7-2π.故选A. (2)+=1++-1=2. (3)方法一:因为a===-2,b===+2,所以a+b=2. 方法二:a+b====2. 变式　解:(1)原式=-8+|-2|-(2-)=-8+(2-)-(2-)=-8. (2)-=|m-n|-|m+n|. 因为m<n<0,所以m-n<0,m+n<0. 所以原式=n-m+m+n=2n. (3)因为a<1,所以a-1<0,所以原式=·=-(a+1)3·(a-1)3=-(a2-1)3. 探究点三 例3　解:由+有意义,得即≤x≤2,故+2=+2=|2x-1|+2|x-2|=2x-1+2(2-x)=3. 变式　D　[解析] 因为1<a<2,所以1-a<0,a-2<0,所以+=|1-a|+(a-2)=a-1+a-2=2a-3.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $