4.1.1 根式-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“n次方根、n次根式”核心知识点，从毕达哥拉斯学派无理数发现的历史情境切入，通过“x²=3”的问题驱动，系统梳理n次方根定义、性质（n奇偶数分类）及根式运算性质，衔接平方根基础，为指数运算构建学习支架。 资料以历史故事激发兴趣，问题链引导数学抽象，题型分类（概念理解、性质化简、条件限制）强化数学运算，母题探究培养分类讨论思维。课中助力教师系统授课，课后练习题与解析帮助学生巩固知识，查漏补缺。

4.1　指数 4.1.1　根式 课标 要求 理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值（数学抽象、数学运算）. 　　 公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一名成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生. 【问题】　若x2＝3，这样的x有几个？它们叫作3的什么？怎样表示？ 　 知识点　n次方根 1.n次方根 定义 一般地，如果xn＝a（n＞1，n∈N*），那么称x为a的　n次方根　 性质 n是奇数 a∈R x＝　　 n是偶数 a＞0 x＝　±　 a＜0 x不存在 0的n次方根等于0 2.根式：式子叫作　根式　，其中n叫作　根指数　，a叫作　被开方数　. 3.根式的性质 （1）　负数　没有偶次方根； （2）0的任何次方根都是0，记作＝　0　； （3）（）n＝　a　（n∈N*，且n＞1）； （4）①当n为奇数时，＝　a　； ②当n为偶数时，＝｜a｜＝ 1.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是（　　） A.　　　　　　 B. C. D. 解析：C　选项C中，m＜0时，没有意义.故选C. 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.16的4次方根是2 B.的运算结果是±2 C.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 D.当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义 解析：CD　16的4次方根应是±2；＝2；易知C、D正确.故选C、D. 3.＝　2　；＝　－2　. 解析：当n为偶数时，＝｜a｜，∴＝2；当n为奇数时，＝a，∴＝－2. 4.（2026·高邮期中）若1＜a＜2，化简：＋. 解：因为1－a＜0，a－2＜0，所以＋＝a－1＋a－2＝2a－3. 　 题型一　n次方根的概念 （1）已知x7＝8，则x＝　　； （2）若有意义，则实数x的取值范围是　[2，＋∞）　. 解析：（1）∵7为奇数，∴8的7次方根只有一个. （2）∵有意义，∴x－2≥0，∴x≥2，即x的取值范围是[2，＋∞）. 通性通法 1.方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个. 2.符号：根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定. （1）当n为偶数，且a≥0时，为非负实数； （2）当n为奇数时，的符号与a的符号一致. 1.若有意义，则x的取值范围为　R　. 2.若16的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝　－6或2　. 解析：16的平方根为－4或4，即a＝－4或4，－8的立方根为－2，即b＝－2，∴a＋b＝－6或2. 题型二　利用根式的性质化简或求值 （链接教科书第82页例1）化简或求值： （1）（）2；　（2）（）3；　（3）（）2； （4）；　（5）； （6）（a＞b）. 解：（1）（）2＝3.（2）（）3＝－5. （3）（）2＝a－1.（4）＝－4. （5）＝｜3－π｜＝π－3. （6）∵a＞b，∴＝｜a－b｜＝a－b. 通性通法 正确区分与（）n （1）（）n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围； （2）中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性. 化简或求值： （1）＋（）5；（2）＋（）6； （3）. 解：（1）原式＝（－2）＋（－2）＝－4. （2）原式＝｜－2｜＋2＝2＋2＝4. （3）原式＝｜x＋2｜＝ 题型三　有限制条件的根式的化简 设－3＜x＜3，化简－. 解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜. ∵－3＜x＜3，∴当－3＜x＜1时，原式＝－（x－1）－（x＋3）＝－2x－2； 当1≤x＜3时，原式＝（x－1）－（x＋3）＝－4. ∴原式＝ 【母题探究】 （变条件）本例中，若将“－3＜x＜3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 解：原式＝－＝｜x－1｜－｜x＋3｜. ∵x≤－3，∴x－1＜0，x＋3≤0， ∴原式＝－（x－1）＋（x＋3）＝4. 通性通法 有限制条件的根式的化简 （1）有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简； （2）有限制条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.当n为偶数时，先化为｜a｜，再根据a的正负去绝对值符号. （2026·盐城质检）若2＜x＜3，则＋的化简结果是（　　） A.1 B.－1 C.5－2x D.2x－5 解析：C　因为2＜x＜3，则2－x＜0，x－3＜0，所以＋＝2－x＋｜x－3｜＝2－x＋3－x＝5－2x.故选C. 1.〔多选〕若n∈N，a∈R，则下列式子有意义的是（　　） A. B. C. D. 解析：AC　（－4）2n＞0，故A有意义；（－4）2n＋1＜0，故B无意义；C显然有意义；当a＜0时，a5＜0，此时无意义. 2.（2026·宝应中学期中）下列各式正确的是（　　） A.＝ B.＝3－π C.＝｜a｜（n＞1，n∈N*） D.＝a（n＞1，n∈N*） 解析：D　对于A，＝＞0，＜0，故A错误；对于B，＝｜3－π｜＝π－3，故B错误；对于C，当n为奇数时，＝a（n＞1，n∈N*），故C错误；对于D，＝a（n＞1，n∈N*），故D正确.故选D. 3.若x≠0，则｜x｜－＋＝　1　. 解析：∵x≠0，∴原式＝｜x｜－｜x｜＋＝1. 4.当有意义时，化简－＝　－1　. 解析：因为有意义，所以2－x≥0，即x≤2，所以原式＝－＝（2－x）－（3－x）＝－1. 　　 1.若＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.[2，4）∪（4，＋∞） C.（－∞，2）∪（2，＋∞） D.（－∞，4）∪（4，＋∞） 解析：B　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a的取值范围是a≥2且a≠4.故选B. 2.下列各式正确的是（　　） A.＝－3 B.＝a C.＝2 D.＝7 解析：C　由于＝3，＝｜a｜，＝－7，故A、B、D错误.故选C. 3.已知m10＝2，则m＝（　　） A. B.－ C. D.± 解析：D　因为m10＝2，所以m是2的10次方根.又10是偶数，所以2的10次方根有两个，且互为相反数.所以m＝±. 4.已知a＜1，则＋＝（　　） A.－1 B.1 C.2a－1 D.1－2a 解析：B　因为a＜1，所以＋＝｜a－1｜＋a＝1－a＋a＝1.故选B. 5.〔多选〕下列运算正确的是（　　） A.＝4－π B.（）2＝4a－1 C.＝a－b D.＝· 解析：ABC　对于A，＝｜4－π｜＝4－π，故A正确；对于B，（）2＝4a－1成立，故B正确；对于C，＝a－b成立，故C正确；对于D，由可取a＝－1且b＝－1，此时和无意义，故D错误.故选A、B、C. 6.〔多选〕下列选项中正确的是（　　） A.＝5 B.64的6次方根是±2 C.＝±3 D.＝｜x＋y｜ 解析：BD　n为奇数时，负数的n次方根是一个负数，＝－5，故A错误；64的6次方根有两个，为±2，故B正确；＝3，故C错误；是非负数，故＝｜x＋y｜，故D正确.故选B、D. 7.若＝，则实数a的取值范围为　　. 解析：＝｜2a－1｜，＝1－2a.因为｜2a－1｜＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤. 8.已知y＝－｜2－x｜，则当2＜x＜3时，y＝　5－2x　；当x＞3时，y＝　－1　. 解析：y＝－｜2－x｜＝－｜2－x｜＝｜x－3｜－｜2－x｜，当2＜x＜3时，y＝3－x＋2－x＝5－2x；当x＞3时，y＝x－3＋2－x＝－1. 9.〔一题多解〕计算：＋＝　2　. 解析：法一　原式＝＋＝＋＝＋1＋－1＝2. 法二　令x＝＋，两边平方得x2＝6＋2＝8.因为x＞0，所以x＝2. 10.化简：（1）（a≤－）； （2）（x＜y，n＞1，n∈N*）. 解：（1）∵a≤－， ∴2a＋1≤0，∴＝＝｜2a＋1｜＝－2a－1. （2）∵x＜y，∴x－y＜0， ∴当n为大于1的偶数时，＝｜x－y｜＝y－x； 当n为大于1的奇数时，＝x－y. 11.（2026·海安月考）设x∈R，若＋为定值，则实数x的取值范围为（　　） A. B. C. D. 解析：B　因为x∈R，当x＞1时，＋＝x－1＋x＝2x－1不为定值；当x≤1时，＋＝1－x＋x＝1为定值.所以满足题意的实数x的取值范围为.故选B. 12.化简（）2＋＋的结果是（　　） A.1－a B.2（1－a） C.a－1 D.2（a－1） 解析：C　∵有意义，∴a－1≥0，即a≥1.∴（）2＋＋＝（a－1）＋｜1－a｜＋（1－a）＝（a－1）＋（a－1）＋（1－a）＝a－1，故选C. 13.已知＋＝－a－b，则＋＝　0　. 解析：因为＋＝－a－b.所以＝－a，＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝｜a＋b｜＋a＋b＝－（a＋b）＋a＋b＝0. 14.已知a＜b＜0，n＞1，n∈N*，化简＋. 解：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0. 当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a； 当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a. ∴＋＝ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $