3.2.2 基本不等式的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

3.2.2　基本不等式的应用 【学习目标】 　　结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题,从中领会基本不等式≤(a,b>0)成立时的三个限制条件(一正、二定、三相等)在求解实际问题的最值中的作用. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 探究点一　利用基本不等式的变形求最值 角度1　配凑法求最值 例1 (1)[2026·江苏无锡高一期中] 已知实数x>1,则y=2x+的最小值为 (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)[2026·江苏扬州高一期中] 已知a>0,b>0,2a+3b=5,则(2a+2)(3b+1)的最大值是　　　　.  变式 利用基本不等式求以下最值: (1)若0<x<4,求y=x(12-3x)的最大值; (2)若x>-3,求y=的最小值; (3)当x<时,求y=3x-1+的最大值. 角度2　常数代换求最值 例2 (1)若m>0,n>0,且3m+2n-1=0,则+的最小值为 (　 ) A.20 B.12 C.16 D.25 (2)[2026·河北唐山海港中学高一月考] 设正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值为　　　　.  变式 (1)已知正实数a,b满足+=2,则3a+b的最小值为　　　　.  (2)[2026·江苏丹阳高一期中] 已知a>0,b>0,a+4b=ab,则a+4b的最小值为 (　 ) A.36 B.25 C.16 D.9 角度3　消元法求最值 例3 已知b>2,且2a+b=ab+1,则a+2b的最小值是 (　 ) A.5+2 B.3+ C.3- D.5-2 变式 [2026·北京大兴区高一期中] 已知a,b∈R,且ab=2,则+的最小值为 (　 ) A. B. C.1 D.2 [素养小结] 若是求和的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分项或配凑因式. ◆ 探究点二　基本不等式在实际问题中的应用 例4 [2026·江苏常州中学高一期中] 已知某商品每件的成本为8元,每月销量y(万件)与每件售价x(元)的函数关系近似为y=-1,若使每月的净利润最高,则每件售价应定为　　　　元.(注:净利润=销售总额-总成本)  变式 如图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积(图中阴影部分)为72 dm2,上、下空白各宽2 dm,左、右空白各宽1 dm,则四周空白部分面积的最小值是　　　　dm2.  [素养小结] 在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法: (1)理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数值; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)在自变量的取值范围内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2　基本不等式的应用 【课中探究】 探究点一 例1　(1)B　(2)16　[解析] (1)∵实数x>1,∴y=2x+=2(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=2时等号成立,∴y=2x+的最小值为6.故选B. (2)因为a>0,b>0,2a+3b=5,所以(2a+2)+(3b+1)=8,所以(2a+2)(3b+1)≤=42=16,当且仅当即时等号成立,所以(2a+2)(3b+1)的最大值为16. 变式　解:(1)∵0<x<4,∴12-3x>0,∴y=x(12-3x)=×3x×(12-3x)≤×=12, 当且仅当3x=12-3x,即x=2时等号成立,∴y=x(12-3x)的最大值为12. (2)∵x>-3,∴x+3>0,令t=x+3,则t>0,x=t-3, ∴y=可化为y==t+,∵y=t+≥2=2,当且仅当t=,即t=,即x=-3时等号成立,∴y=的最小值为2. (3)当x<时,3x-4<0,4-3x>0,∴y=3x-4++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当4-3x=,即x=1时等号成立, ∴y=3x-1+的最大值为1. 例2　(1)D　(2)5　[解析] (1)因为3m+2n-1=0,所以3m+2n=1,所以+=(3m+2n)=9+++4≥13+2=13+12=25,当且仅当=且3m+2n-1=0,即m=n=时取等号,所以+的最小值为25.故选D. (2)因为正实数x,y满足x+y=1,所以+=+=++1≥2+1=5,当且仅当=,即x=,y=时,等号成立,故+的最小值为5. 变式　(1)6　(2)C　[解析] (1)由题意知3a+b=(3a+b)=≥=6,当且仅当a=1,b=3时取等号,即3a+b的最小值为6. (2)由a>0,b>0,a+4b=ab,得+=1,所以a+4b=(a+4b)=8++≥8+2=16,当且仅当a=4b且a+4b=ab,即a=8,b=2时等号成立,所以a+4b的最小值为16.故选C. 例3　A　[解析] 因为b>2,所以b-2>0,由2a+b=ab+1,得a=,则a+2b=2b+=2b+=2(b-2)++5≥5+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,且a=,b>2,即b=+2,a=1+时取等号.故选A. 变式　C　[解析] 因为ab=2,所以b=,a≠0,a2>0,所以+=+=+≥2=1,当且仅当=,即a=±,b=±时,等号成立,所以+的最小值为1.故选C. 探究点二 例4　12　[解析] 净利润L(万元)的表达式为 L=(x-8)y=(x-8),其中x>8且-1>0,故x∈(8,18),故L=(x-8)=26-x-=26-,x∈(8,18).因为x+≥2=24,当且仅当x=,即x=12时等号成立,且12∈(8,18),所以当x=12时,L取得最大值,故每件售价应定为12元. 变式　56　[解析] 设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,设四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)-72=8+2≥8+2×2=56,当且仅当x=,即x=12时等号成立,故四周空白部分面积的最小值为56 dm2. 学科网（北京）股份有限公司 $