3.2.2 基本不等式的应用-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“基本不等式的应用”核心知识点，系统梳理求最值（和定积最大、积定和最小）及解决实际问题的方法，通过知识点解析、题型分类（和为定值、积为定值、附加条件）、例题与练习构建从理论到应用的学习支架。 资料以牧场围栏、海报印刷等实际问题为情境，结合一题多解（如矩形面积用不等式与函数法）和通性通法总结（如“1的代换”步骤），培养数学建模、逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师系统教学，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化应用能力。

3.2.2　基本不等式的应用 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用（数学运算）. 2.会用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（逻辑推理、数学运算）. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（数学建模、数学运算）. 　　 　　一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a，b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏. 【问题】　如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？ 　 知识点一　用基本不等式求最值 　已知x，y都是正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当　x＝y　时，和x＋y有最小值　2　； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当　x＝y　时，积xy有最大值　S2　. 知识点二　利用基本不等式解决实际问题的步骤 1.先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. 2.建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. 3.在定义域内求出函数的最大值或最小值. 4.正确写出答案. 1.若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A.　　　B.1 C.2　　　D.4 解析：D　若a＞0，b＞0且a＋b＝1，则＋＝（a＋b）（＋）＝2＋＋≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以＋的最小值为4.故选D. 2.已知直角三角形面积为50，则两直角边和的最小值是　20　. 解析：设直角边分别为a，b，则ab＝50，即ab＝100.∴a＋b≥2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号.∴两直角边和的最小值是20. 3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应都购买　20　吨. 解析：设总运费与总存储费用之和为y，则y＝4x＋×4＝4x＋≥2＝160，当且仅当4x＝，即x＝20时取等号.故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应都购买20吨. 　　 题型一　求“和为定值”模型的最值 〔一题多解〕（链接教科书第59页例3）用一段长为40 m的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，矩形菜园的长、宽分别设计为多长，才能使得矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：法一　设矩形菜园的长为x m，宽为 m，且x＞0，＞0，即0＜x＜40， 矩形菜园的面积为S＝x（）＝x·（40－x）≤（）2＝200，当且仅当x＝40－x，即x＝20时，取得等号.由此可知，当x＝20，＝10时，S＝x（）取得最大值200. 所以当矩形菜园的长为20 m，宽为10 m时，矩形菜园的面积最大，最大面积是200 m2. 法二　设矩形菜园的长为x m，宽为 m，且x＞0，＞0，即0＜x＜40， 矩形菜园的面积为S＝x·＝－x2＋20x＝－（x－20）2＋200， 所以当x＝20时，S＝x（）取得最大值200. 所以当矩形菜园的长为20 m，宽为10 m时，矩形菜园的面积最大，最大面积是200 m2. 通性通法 两个正数和为定值，求它们积的最大值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备和为定值的形式，可利用重要不等式ab≤（）2，求出积的最大值； （3）若所给代数式不具备和为定值的形式，应配凑出和为定值的形式后再求解. 　如图，在半径为4（单位：cm）的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为　16　（单位：cm2）. 解析：如图，连接OC，设OB＝x（0＜x＜4），则BC＝＝，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤（16－x2）＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2时等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16. 题型二　求“积为定值”模型的最值 （链接教科书第60页例6）如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2（图中阴影部分），上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是　56　dm2. 解析：设阴影部分的高为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积为y dm2.由题意，得y＝（x＋4）·－72＝8＋2≥8＋2×2＝56.当且仅当x＝，即x＝12时等号成立. 通性通法 两个正数积为定值，求它们和的最小值 （1）应满足基本不等式成立的条件； （2）若所给代数式具备积为定值的形式，可利用基本不等式的变形a＋b≥2，求出和的最小值； （3）若所给代数式不具备积为定值的形式，应化简（或配凑）出积为定值的形式后再求解. 做一个体积为8 m3，高为2 m的长方体包装箱，则所用材料表面积的最小值为（　　） A.4 m2 B.8 m2 C.16 m2 D.24 m2 解析：D　设底面的长和宽分别为a m，b m（a＞0，b＞0），因为体积为8 m3，高为2 m，所以底面积为4 m2，即ab＝4，所用材料的表面积S＝2ab＋2b×2＋2a×2＝8＋4（a＋b）≥8＋4×2＝8＋16＝24，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以当底面的长和宽均为2 m时，所用的材料表面积最小，其最小值为24 m2.故选D. 题型三　利用基本不等式求有附加条件的代数式的最值 （链接教科书第60页例5）（1）设a＞0，b＞0，且＋＝1，求ab的最小值； （2）〔一题多解〕设x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 解：（1）因为a＞0，b＞0， 由基本不等式，得＋≥2＝4. 因为＋＝1，所以1≥4，故ab≥16， 当且仅当＝，即a＝2，b＝8时，等号成立， 所以ab的最小值是16. （2）法一（“1”的代换）　因为x＞0，y＞0，＋＝1， 所以x＋y＝（x＋y）＝1＋＋＋9＝＋＋10≥6＋10＝16， 当且仅当＝，且＋＝1，即x＝4，y＝12时，等号成立. 故x＋y的最小值为16. 法二（消元法）　因为＋＝1，所以y＝＝9＋，因为x＞0，y＞0，所以x＞1，所以x＋y＝x＋9＋＝（x－1）＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当x－1＝，即x＝4，y＝12时，等号成立，此时x＋y的最小值为16. 母题探究 （变条件、变设问）设x＞0，y＞0，且2x＋y＝xy，求x＋2y的最小值. 解：由2x＋y＝xy得，＋＝1，因为x＞0，y＞0，所以x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝5＋＋≥5＋2＝9， 当且仅当x＝y＝3时，等号成立.故x＋2y的最小值为9. 通性通法 “1的代换”问题的解题步骤 （1）将附加条件构造成值为“1”的表达式； （2）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商； （3）变形产生和式或积式为定值的式子，利用基本不等式求解最值. 1.已知正数a，b满足3a＋b＝2ab，则a＋3b的最小值是（　　） A.8 B.6 C.2 D.16 解析：A　因为3a＋b＝2ab，所以＋＝1，则a＋3b＝（a＋3b）（＋）＝＋＋5≥2＋5＝8，当且仅当＝，即a＝b＝2时，等号成立.故选A. 2.设x＞0，y＞0，且xy＝1，则＋的最小值是　2　. 解析：因为x＞0，y＞0，且xy＝1，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2＝2，当且仅当＝，即x＝y＝1时取等号.所以＋的最小值是2. 1.〔一题多解〕在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x应为（　　） A.10 m B.15 m C.20 m D.25 m 解析：C　如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于N.由△ADE∽△ABC得，＝，设DE＝x，MN＝y，则＝， 法一　化简得x＋y＝40，由基本不等式知，x＋y＝40≥2，则矩形花园的面积S＝xy≤400，当且仅当x＝y＝20时取等号，所以当x＝20 m时面积最大，最大面积为400 m2.故选C. 法二　化简得y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）＝－x2＋40x＝－（x－20）2＋400，其中x∈（0，40），故当x＝20 m时，面积最大.故选C. 2.已知正数a，b满足＋b＝1，则a＋的最小值为　9　. 解析：由正数a，b满足＋b＝1，则a＋＝（a＋）（＋b）＝5＋ab＋≥5＋2＝9，当且仅当ab＝时，即a＝6，b＝时，等号成立，所以a＋的最小值为9. 3.若直角三角形两条直角边的和为10，则其斜边的最小值为　5　. 解析：设两条直角边为a，b，则a＋b＝10，因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2（a2＋b2）≥2ab＋a2＋b2＝（a＋b）2，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2≥，当且仅当a＝b时取等号，斜边≥（a＋b）＝5，当且仅当a＝b＝5时取等号，所以斜边的最小值为5. 4.某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米.若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应设计为多少米？ 解：设长方体蓄水池长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W，则由题意可得所以W＝2a（xh＋yh）＋2axy＝2ah（x＋y）＋2axy＝40ah＋，所以W≥2＝400a，当且仅当h＝5时，W取最小值. 所以为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应设计为5米. 　　 1.（2026·江阴月考）设x＞0，y＞0且x＋y＝2，则＋的最小值为（　　） A.9 B. C.4 D. 解析：D　因为x＞0，y＞0且x＋y＝2，所以＋＝（＋）（x＋y）＝（5＋＋）≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值为.故选D. 2.若a＞0，b＞0，a＋2b＝5，则ab的最大值为（　　） A.25 B. C. D. 解析：D　因为a＞0，b＞0，a＋2b＝5，所以ab＝a·2b≤×（）2＝，当且仅当a＝，b＝时取等号，故ab的最大值为. 3.一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比；若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少km处，才能使两项费用之和最小（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：C　设y1＝，则2＝，k1＝20，y1＝；设y2＝k2x，则8＝10k2，k2＝，y2＝x，所以总费用y1＋y2＝＋≥2＝8，当且仅当＝时，即x＝5时等号成立.故选C. 4.（2026·江阴月考）当0＜x＜1时，＋的最小值为（　　） A.8 B.9 C.10 D.12 解析：B　由0＜x＜1，得1－x＞0，所以＋＝（＋）[x＋（1－x）]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以＋的最小值为9.故选B. 5.已知当x＝3时，代数式4x＋（x＞0，a＞0）取得最小值，则a＝（　　） A.1 B.6 C.30 D.36 解析：D　因为x＞0，a＞0，所以4x＞0，＞0，所以4x＋≥2＝4（x＞0，a＞0），当且仅当4x＝，即x＝时，等号成立，所以＝3，a＝36. 6.〔多选〕（2026·扬州期中）已知a＞0，b＞0，4a＋b＝1，则（　　） A.ab的最大值为 B.＋的最小值为6 C.的最小值为 D.＋的最大值为 解析：AB　因为a＞0，b＞0，对于A，因为1＝4a＋b≥2＝4，当且仅当4a＝b＝时，等号成立，即4≤1，可得ab≤，所以ab的最大值为，故A正确；对于B，因为4a＋b＝1，则a＝（1－b），则＋＝＋＝＋－，又因为＋＝（4a＋b）（＋）＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立，故＋＝＋－≥6，所以＋的最小值为6，故B正确；对于C，因为＝＋＝（4a＋b）（＋）＝4＋1＋＋≥2＋5＝9，当且仅当＝时，即b＝2a＝时等号成立，所以有最小值为9，则的最大值为，故C错误；对于D，因为4a＋b＝a＋（3a＋b）≥，即≤1，可得＋≤但等号成立的条件为＝，可得b＝－2a＜0，不合题意，所以＋的最大值不为，故D错误.故选A、B. 7.从等腰直角三角形纸片ABC上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC＝2，∠A＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为　　. 解析：设两个正方形边长分别为a，b（a＞0，b＞0），则由∠B＝∠C＝45°，可得a＋b＝BC＝1，所以S＝a2＋b2≥2×（）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号. 8.（2026·常州期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件）与每件售价x（元）的函数关系近似为：y＝－1，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为　12　元.（注：净利润＝销售总额－总成本） 解析：净利润L（万元）的表达式为L＝（x－8）y＝（x－8）（－1），其中x＞8，且－1＞0即x＜18，故x∈（8，18）.L＝（x－8）（－1）＝26－x－＝26－（x＋）.由基本不等式，得x＋≥2＝24，当且仅当x＝，即x＝12时等号成立，且12∈（8，18）.此时L取得最大值，故每件售价应定为12元. 9.∃x＞0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是　[2，＋∞）　. 解析：∃x＞0，使得＋x－a≤0，等价于x＞0时a≥，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. 10.某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了400平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为2米，前方过道宽度为4米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为100元/平方米，过道的装修费为200元/平方米.记展位靠墙的一条边长为x米，整个展位的装修总费用为y元. （1）请写出装修总费用y关于边长x的表达式； （2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低？并求出最低费用. 解：（1）设展位靠墙的一边边长为x米，则展示区靠墙的一边的边长为（x－4）米， 展示区另一边边长为米，由 可得4＜x＜100， 所以，y＝100（x－4）＋200·＝80 000－100（x－4）·＝400＋38 400， 即y＝400＋38 400，其中4＜x＜100. （2）由基本不等式可得y＝400＋38 400≥800＋38 400＝54 400， 当且仅当x＝20时，等号成立，因此，当展位区域是边长为20米的正方形区域时，装修费用最小为54 400元. 11.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A.30件 B.60件 C.80件 D.100件 解析：B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，则y＝＝＋≥2＝30，当且仅当＝，即x＝60时等号成立，故每批应生产产品60件.故选B. 12.〔多选〕（2026·扬州月考）已知正数m，n满足m＋n2＝2，则下列说法正确的是（　　） A.m＋3n的最大值为 B.mn2的最大值为2 C.＋的最小值为2 D.m2＋n4的最小值为2 解析：CD　∵m＝2－n2＞0，∴0＜n＜，∴m＋3n＝2－n2＋3n＝－（n－）2＋，则m＋3n＜，故A错误；依题意，mn2≤＝1，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故B错误；∵＋＝（m＋n2）（＋）＝（2＋＋）≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故C正确；∵≥（）2＝1，∴m2＋n4≥2，当且仅当m＝n＝1时等号成立.故D正确.故选C、D. 13.设a＞0，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为　3　. 解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时，等号成立，此时a＝，b＝.故tmax＝＝3. 14.（2026·江阴期中）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形的面积共为200平方米.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米42百元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米2.1百元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米0.8百元. （1）设AD长为x米，AM长为y米，用x表示y并求出x的取值范围； （2）设总造价为S百元，问：AD为何值时S最小，并求出S的最小值. 解：（1）由题意得，AD＝x，AM＝DQ＝y， 因为四个小矩形和一个正方形的面积共为200 平方米， 所以x2＋4xy＝200，即y＝，因为y＞0，所以0＜x＜10. （2）由（1）知总造价S＝42x2＋2.1×4xy＋0.8×4×y2＝380＋40x2＋≥380＋2＝380＋800＝1 180， 当且仅当40x2＝时，即x＝时，等号成立， 所以S的最小值为1 180百元，此时AD的值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $