2.3.2 全称量词命题与存在量词命题的否定(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【课前预习】 知识点一 ∀x∈M,p(x)　¬p(x) 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“有些矩形不是平行四边形”. (2)“实数的平方是正数”的否定是“有些(或存在)实数的平方不是正数”. (3)量词改变,结论否定,但条件不能变. 知识点二 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)由词语“有些”知原命题为存在量词命题,故其否定为全称量词命题,而命题的否定只否定结论. (2)存在量词命题与其否定一真一假. (3)存在量词命题的否定是全称量词命题,只是对“p(x)”进行否定,而将“存在量词”调整为“全称量词”,不能将其理解为“同时否定”. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)该命题的否定是“有的自然数的平方不是正数”,为真命题. (2)该命题的否定是“∃x∈R,x2+2x+1=0”,为真命题. (3)该命题的否定是“有的等腰梯形的对角线不相等”,为假命题. 变式　(1)B　(2)C　[解析] (1)命题“某班所有的男生都爱踢足球”的否定是“某班至少有一名男生不爱踢足球”.故选B. (2)若命题p:∀x∈A,2x∈B,则p的否定:∃x∈A,2x∉B.因为命题p是真命题,所以p的否定是假命题.故选C. 探究点二 例2　解:(1)该命题的否定:∀x∈R,x2+2x+1>0.因为当x=-1时,x2+2x+1=(-1)2+2×(-1)+1=0,所以为假命题. (2)该命题的否定:∀x>0,x2-3x+2≤0.因为当x=3时,x2-3x+2=32-3×3+2=2>0,所以为假命题. (3)该命题的否定:一切分数都是有理数.为真命题. 变式　 (1)D　(2)B　[解析] (1)根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得,p的否定是“∀x∈M,x2-x-2≥0”.故选D. (2)命题“存在大于2的偶数,不能表示为两个质数之和”的否定为“任意大于2的偶数,都能表示为两个质数之和”.故选B. 探究点三 例3　解:(1)若¬p为假命题,则p为真命题,即a≤x2在[2,3]上恒成立,所以a≤(x2)min=4在[2,3]上恒成立, 即实数a的取值范围是(-∞,4]. (2)当q为真命题时,∃x∈R,x2+2ax+2a=0,所以Δ=4a2-8a≥0,解得a≤0或a≥2,因为¬q为真命题,所以0<a<2.由(1)可知,当p为真命题时,a≤4. 综上,实数a的取值范围是(0,2). 变式　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题意可得∀x∈[-4,5],|x|-a≤0为真命题,则0≤|x|≤5,且a≥|x|,所以a≥5,所以a的取值可以是5,故选A. (2)由x+a-1=0,得x=1-a,因为p为假命题,所以方程x+a-1=0不存在正实数根,于是有1-a≤0,得a≥1,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 　　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定. 　　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. ◆ 知识点一　全称量词命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量 词命题 对M中任意一个x, 有p(x)成立 　　　  　　　  ∃x∈M, 　　  常见全称量词的否定:“任意”的否定是“存在”,“所有”的否定是“不都”. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”. (　 ) (2)“实数的平方是正数”的否定是“有些实数的平方不是正数”. (　 ) (3)“∀x>0,x2-2x+1≥0”的否定是“∃x≤0,x2-2x+1<0”. (　 ) ◆ 知识点二　存在量词命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 存在量 词命题 存在M中的一个x, 使p(x)成立 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M, ¬p(x) 常见存在量词的否定:“存在”的否定是“任意”,“有”的否定是“所有”. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“有些实数的绝对值是正数”的否定是“∀x∈R,|x|≤0”. (　 ) (2)“∃x∈M,p(x)”与“∀x∈M,¬p(x)”的真假性相反. (　 ) (3)从存在量词命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定. (　 ) ◆ 知识点三　常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 ◆ 探究点一　全称量词命题的否定 例1 写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)所有自然数的平方都是正数; (2)∀x∈R,x2+2x+1≠0; (3)等腰梯形的对角线相等. 变式 (1)[2026·江苏苏州高一期末] 已知命题p:某班所有的男生都爱踢足球,则命题p的否定为 (　 ) A.某班至多有一名男生爱踢足球 B.某班至少有一名男生不爱踢足球 C.某班所有的男生都不爱踢足球 D.某班所有的女生都爱踢足球 (2)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则 (　 ) A.p的否定:∃x∈A,2x∈B,且p的否定是假命题 B.p的否定:∃x∉A,2x∈B,且p的否定是真命题 C.p的否定:∃x∈A,2x∉B,且p的否定是假命题 D.p的否定:∀x∉A,2x∉B,且p的否定是真命题 [素养小结] (1)对全称量词命题进行否定的两步操作:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词;②对原命题的结论进行否定. (2)判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判定一个全称量词命题是假命题,只要举出集合M中的一个特殊值x,使p(x)不成立即可.要判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则就是假命题. ◆ 探究点二　存在量词命题的否定 例2 写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假. (1)∃x∈R,x2+2x+1≤0; (2)∃x>0,x2-3x+2>0; (3)有些分数不是有理数. 变式 (1)已知集合M={x|-1<x<2},命题p:∃x∈M,x2-x-2<0,则p的否定是 (　 ) A.∃x∉M,x2-x-2<0 B.∃x∈M,x2-x-2≥0 C.∀x∈M,x2-x-2<0 D.∀x∈M,x2-x-2≥0 (2)命题“存在大于2的偶数,不能表示为两个质数之和”的否定为 (　 ) A.任意大于2的偶数,都不能表示为两个质数之和 B.任意大于2的偶数,都能表示为两个质数之和 C.存在大于2的奇数,不能表示为两个质数之和 D.存在大于2的偶数,可以表示为两个质数之和 [素养小结] 存在量词命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将存在量词改为全称量词. ◆ 探究点三　含量词命题与其否定的真假关系 例3 已知p:∀x∈[2,3],x2-a≥0,q:∃x∈R,x2+2ax+2a=0. (1)若¬p为假命题,求实数a的取值范围; (2)若p和¬q均为真命题,求实数a的取值范围.　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)若“∃x∈[-4,5],|x|-a>0”为假命题,则a的值可以是 (　 ) A.5 B.3 C.1 D.-1 (2)已知p:∃x>0,x+a-1=0,若p为假命题,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) [素养小结] (1)p与p的否定只能一真一假,解决问题时可以相互转化. (2)在求参数范围的问题中,往往分离参数,转化成求函数的最值问题. 学科网（北京）股份有限公司 $