专题3.2 基本不等式（高效培优讲义）高一数学苏教版必修第一册

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，从概念（重要不等式与基本不等式的区别及等号条件）出发，通过几何面积法与代数法证明，结合几何意义（圆中弦与半径关系），再到求最值技巧（配凑、消元、“1”的妙用等），最后应用于实际问题，构建完整学习支架。 资料特色在于融合几何直观与代数推理，借助赵爽弦图、圆模型培养数学眼光，题型分类（比较大小、证明、求最值）提升数学思维，实际应用（仓库建造、菜园设计）强化数学语言的模型意识。课中助力分层教学，课后通过即学即练与综合练习帮助学生查漏补缺。

专题3.2 基本不等式 教学目标 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.会用基本不等式解决实际问题 教学重难点 1.重点 基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 2.难点 等号成立的条件及解题中的转化技巧.基本不等式的实际应用 知识点01 基本不等式的概念 1.两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.对公式及的理解： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 3.由公式和可以引申出常用的常用结论： （1）（同号）； （2）（异号）； （3）或 【即学即练】 1．基本不等式： （1）基本不等式成立的条件：________________． （2）等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． （3）其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【答案】 ； ； ； ； 【分析】根据基本不等式填空. 【详解】基本不等式：，基本不等式成立的条件是：，当且仅当 时取等号． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 故答案为：； ；；； 2.（1）已知a，b是实数，求证：．并说明等号成立的条件． （2）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【答案】（1）证明见解析，取等条件；（2）答案见解析 【分析】运用基本不等式知识解析即可. 【详解】（1）因为，所以，即． 等号成立时，当且仅当，即． （2）不等式对任意实数a，b都成立；中要求a，b都是非负实数． 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练】 1.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 【答案】答案见解析 【分析】利用大正方形的面积不小于四个小矩形的面积构造不等式. 【详解】如图:    设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为， 则大正方形的面积为，四个矩形的面积和为， 显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，所以 所以（当且仅当时取等号）. 2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b表示这种关系. 【答案】，当且仅当时取等号； 【分析】依题意表示出大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和，即可得到不等关系，从而得到不等式； 【详解】解：大正方形的面积，四个小直角三角形面积之和， 因为，即，当且仅当时取等号； 知识点03 基本不等式的几何意义 如图，AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.而OD＝，且CD≤OD，所以≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立． 【即学即练】 1．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图象结合勾股定理计算即可. 【详解】易知， 显然，故D正确. 故选：D 2．（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，分别在和中由直角三角形的射影定理推理判断AC；在中推理判断D. 【详解】依题意，，由于，得， 在中，由射影定理得，即， 而，，因此，当且仅当时取等号，A是； 在中，，，则， 而，因此，当且仅当时取等号，C是； 由，连接，由点F是半圆的中点，得，， 在中， ，则，又， 因此，当且仅当时取等号，B是； 而与在给定图形中没有相应的线段与之对应，因此选项D对应不等式不能用无字证明完成，D不是. 故选：ABC 知识点04 基本不等式求最值 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 小 值 2 ；（简记为：积定和最小）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 大 值 S2 ．（简记为：和定积最大） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：：一“正”、二“定”、三“相等”。 【即学即练】 1．下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 3．已知，则的最小值为______________. 【答案】1 【分析】应用基本不等式计算求解. 【详解】已知，则， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为： 知识点05 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【即学即练】 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 【典例1】（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 【典例2】（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【分析】利用均值不等式的“一正、二定、三相等”的条件，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD 【变式1】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 【变式3】（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用作差法可判断A；由基本不等式可判断BCD. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，当，时，不成立，故B错误； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当，时等号成立，D项正确． 故选：ACD． 【变式4】（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，由，，有， 则，当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，若，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为4，故B正确； 对于C，若，， 则，当且仅当时等号成立， 则的最大值为2，故C错误； 对于D，若，， 则，即， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为，故D错误. 题型02 利用基本不等式比较大小 【典例1】已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 【典例2】已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】，当且仅当时，等号成立，故. 【变式2】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 【变式3】已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 【变式4】对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式以及绝对值的性质可得出结论. 【详解】因为 ，即， 当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故. 故选：B. 题型03 利用基本不等式证明不等式 【典例1】已知证明： (1) (2) 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用 【变式1】已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【变式2】已知为正实数．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，然后利用柯西不等式的性质证明即可. 【详解】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 【变式3】已知，，，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可证不等式成立； （2）利用基本不等式结合“1”的代换可证不等式成立. 【详解】（1）因为， 当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故成立. （2）, 由基本不等式有， ， ， 故， 当且仅当时等号成立. 【变式4】已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 题型04 利用基本不等式求最值 ①直接法或配凑法求最值 【典例1】已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3． 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 【变式1】若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 【变式3】若，则函数的最小值为_____. 【答案】10 【详解】若，则， 所以函数， 当且仅当，即时等号成立， 故函数的最小值为. 【变式4】已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. ②二次（一次）商式的最值 【典例2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 二次（一次）商式的最值两种结构性： 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 【变式1】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【变式2】已知，则函数的最小值是______． 【答案】 【分析】将函数化简，分离常数，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 【变式3】已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. ③等式含和积求最值 【典例3】已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，已知， 则，， 由基本不等式得：， 当且仅当“”，即“，”时取“”. 【变式1】已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 【变式2】已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【答案】 【详解】∵ 为正实数，且， 对等式变形得 ，即. 若，则，矛盾， 若，则，此时，， 故，矛盾，故，结合可得，. 将目标式变形为， ∵ ，，由基本不等式可得， 将代入得， ∴ ，当且仅当时等号成立. 联立，将代入第二个方程得， 解得（负根舍去），即，此时，满足为正实数的条件. ∴ 当时，的最小值为. 【变式3】已知实数，满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【分析】将条件化为，设得，结合基本不等式有，即可求范围，进而确定目标式的最大值. 【详解】由，而，则， 设，则，即， 对任意实数，有，即，可得，即， 当时，满足原等式，且成立， 因此的最大值为. ④消元法求最值 【典例4】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以 ， 所以， 令，则，且 ， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值是.故选：A. 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 【变式1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【详解】∵，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号，故选：B. 【变式2】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】变形后得使用基本不等式求解即可 【详解】由，，，得， 故，故； 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立． 即的最小值为2， 故选：A 【变式3】已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 【答案】C 【分析】变形后利用基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：C. ⑤利用“1”的妙用求最值 【典例5】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 【变式1】已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 【变式2】已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数a，b满足，故， 故 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C 【变式3】若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立． 故选：A． ⑥双换元法求最值 【典例6】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可. 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【变式1】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，则，可化为，利用基本不等式可求的最小值，从而可得所求的最小值. 【详解】令，则，且，， 又， 而， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式2】已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 【变式3】已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 【变式4】已知，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】令，则，将所求式转化为，利用 “1” 的代换和均值不等式求出括号内式子的最小值，从而得到原表达式的最大值。 【详解】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. ⑦多次使用基本不等式求最值 【典例7】已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值． 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 【变式1】已知，，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据基本不等式可得，，两次等号同时成立时，即可得出最小值. 【详解】因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 又，当且仅当，即时，等号成立. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【变式2】已知，，则最小值为___________． 【答案】16 【分析】令，，则可化为，从而用两次基本不等式即可. 【详解】由，可知，， 令，， 所以， ， 当且仅当“”时，两个等号同时成立． 则x=y=3时最小值为16. 故答案为：16． 【变式3】设正实数满足，且，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】化简，利用基本不等式得可得答案. 【详解】， 由于是正实数，且， 所以 ， 当且仅当，即，所以时等号成立， 则的最小值为2， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则最小值为. 故答案为：. 题型05 利用基本不等式求解恒成立与有解问题 【典例1】已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 【典例2】若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本不等式求出的最小值，转化为，解不等式即可， 【详解】因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为4． 因为不等式有解，则，即， 即，解得或． 故选：D 恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法 【变式1】已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，求得，得到，进而求得实数的范围，得到答案. 【详解】由正实数满足，可得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以的最小值为， 因为恒成立，可得，解得. 故选：C.． 【变式2】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据基本不等式求出的最小值，问题等价于，求出不等式的解集即可． 【详解】因为两个正实数满足， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 不等式恒成立等价于， 即，解得. 故选：D 【变式3】设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】原问题转化为恒成立，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】不等式恒成立，等价于恒成立， 由，，得， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，即. 故选：D. 【变式4】若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围_____. 【答案】． 【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得． 【详解】因为，则， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以不等式有解，即，解得或， 故答案为：． 题型06 基本不等式在实际问题中的应用 【典例1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【变式1】某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 【答案】(1) (2)安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 【分析】（1）根据题意列出关于“每批购入400台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，从而求得k的值； （2）根据题意列出关于“每批购入台时的全年所需运输和保管总费用”的关系式，再根据基本不等式求出最小值，与24000元比较后进行判断. 【详解】（1）由题可知：，解得：. （2）安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 由题可知：若每批都购入台，则全年所需运输和保管总费用为：. 因为， 当且仅当时，等号成立. 所以安排每批进货120台时，24000元资金恰好够用. 【变式2】第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）利用时，，计算出，再根据已知模型计算即可； （2）利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时， 当时， 因为时，，解得 （2）当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时， 又， 所以当代加工量为30万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大，最大利润为95万元 【变式3】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米，元 (2) 【分析】（1）先求得总报价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价. （2）根据整体报价列不等式，然后分离参数，利用基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为y元， 则， 又， 当且仅当，即时等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元. （2）由题意可得，对任意的恒成立， 即， 所以， 又， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以的取值范围为. 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式即可判断选项. 【详解】若，根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，所以由可得成立， 若，取，满足，但不满足，所以由推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 【答案】B 【分析】由题干条件利用基本不等式求得及，再结合即可判断. 【详解】， 又，． ，， 且，， 又，所以， 最大． 故选：B 3.如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 4．（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 【答案】AD 【分析】根据“一正，二定，三相等”即可作出判断. 【详解】对于A，由于，所以，当时等号成立正确； 对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确. 故选：AD 5.已知，则的最小值为_______. 【答案】/ 【分析】先由判断，再将配凑，利用乘法结合基本不等式求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 所以的最小值为. 6.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可. 【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 7．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为. （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 8.（1），，求证：（用作差法证明） （2）除了用作差法证明，还可以有如下证法： ， ， ， 当且仅当时等号成立， ，学习以上解题过程，尝试解决下列问题： 证明：若，，，则并指出等号成立的条件． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【分析】（1）由，，即可证得结论； （2）根据题设例题证明过程，类比可得证明； 【详解】（1）证明：， ， 所以成立； （2）证明： ∵ ∴， 当且仅当时等号成立. 1．若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果. 【详解】因为 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 3.已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 4.（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 5.已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【分析】利用均值不等式求解即可. 【详解】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由基本不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 6.是不同时为0的实数，则的最大值为________． 【答案】 【分析】先变形得,再利用重要不等式得到，,代入即可求解． 【详解】, ， 当且仅当时取等号，所以 的最大值为． 故答案为：． 7．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由对称性知，当时两式相等，借助基本不等式的变形可得. （2）由对称性知，当时等号成立，借助基本不等式的变形可证. 【详解】（1）因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 同理，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当时等号成立. （2）因为，，均为正实数，所以有： （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 将三式相加得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）. 8.已知正数满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：因为正数满足， 由，当且仅当时，等号成立， 可得， 即，所以，当且仅当时，等号成立. (2) 证明：由 ， 当且仅当，即，等号成立. 所以. 【分析】（1）根据，结合基本不等式，即可得证； （2）由，结合基本不等式，即可得证. 【详解】（1）略 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 基本不等式 教学目标 1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法； 2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件； 3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。 4.会用基本不等式解决实际问题 教学重难点 1.重点 基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值； 2.难点 等号成立的条件及解题中的转化技巧.基本不等式的实际应用 知识点01 基本不等式的概念 1.两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的 平均数，叫做正数的 平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.对公式及的理解： （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 3.由公式和可以引申出常用的常用结论： （1）（同号）； （2）（异号）； （3）或 【即学即练】 1．基本不等式： （1）基本不等式成立的条件：________________． （2）等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． （3）其中，________叫做正数a，b的算术平均数，________叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2.（1）已知a，b是实数，求证：．并说明等号成立的条件． （2）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么 （当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，， ，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 【即学即练】 1.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用a，b表示这种关系. 知识点03 基本不等式的几何意义 如图，AB是⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O的半圆于点D，连接AD，BD，易知△ACD∽△DCB，故＝，得CD＝.而OD＝，且CD≤OD，所以≤，当且仅当点C与点O重合，即a＝b时，等号成立． 【即学即练】 1．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图，点C是圆O的直径AB上一点，且（），过点C作AB的垂线交圆O于D，E两点，点F是半圆的中点，连接AD，BD，OE，CF，过点C作于点M，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 知识点04 基本不等式求最值 已知都是正数， ①如果积是定值，由基本不等式，那么当且仅当时，和有最 值 ；（简记为： ）. ②如果和是定值，由基本不等式可得，那么当且仅当时，积有最 值 ．（简记为： ） 注：利用基本不等式求最值的方法，但应注意三个条件：： 。 【即学即练】 1．下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 2．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 3．已知，则的最小值为______________. 知识点05 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【即学即练】 1．如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 【典例1】（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【变式1】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【变式3】（多选）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【变式4】（多选）已知，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则的最小值为4 C．若，则的最大值为4 D．若，则的最大值为 题型02 利用基本不等式比较大小 【典例1】已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【典例2】已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（   ） A． B． C． D． 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【变式1】已知，设，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【变式2】已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【变式4】对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不确定 题型03 利用基本不等式证明不等式 【典例1】已知证明： (1) (2) (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用 【变式1】已知，都是正实数，证明：. 【变式2】已知为正实数．证明：． 【变式3】已知，，，且，证明： (1)； (2). 【变式4】已知，且.求证： (1)； (2). 题型04 利用基本不等式求最值 ①直接法或配凑法求最值 【典例1】已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： （1）配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形； （2）代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； （3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提 【变式1】若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【变式3】若，则函数的最小值为_____. 【变式4】已知，则的最小值为_____． 已知，则的最小值为_____． ②二次（一次）商式的最值 【典例2】已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二次（一次）商式的最值两种结构性： 1、形如，当且仅当时等号成立； 2、形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型 【变式1】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【变式2】已知，则函数的最小值是______． 【变式3】已知，则的最小值为______. ③等式含和积求最值 【典例3】已知，且，则的最小值是（     ） A．12 B．6 C． D． 【变式1】已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【变式2】已知正实数满足，则当_________时，的最小值为_________． 【变式3】已知实数，满足，则的最大值为_____． ④消元法求最值 【典例4】已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围． 【变式1】已知正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．1 B．3 C．6 D．12 【变式2】已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式3】已知，，且，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．19 D．22 ⑤利用“1”的妙用求最值 【典例5】已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数满足，求的最小值。 模型2：已知正数满足求的最小值。 【变式1】已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式2】已知正实数a，b满足，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【变式3】若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． ⑥双换元法求最值 【典例6】已知，，，则的最大值为 ． 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1、代换变量，统一变量再处理． 2、注意验证取得条件． 【变式1】设m，n为正数，且，则的最小值为 . 【变式2】已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】已知，则的最大值为___________． 【变式4】已知，则的最大值为___________． ⑦多次使用基本不等式求最值 【典例7】已知正实数满足，则的最小值为__________. 【变式1】已知，，则的最小值为___________． 【变式2】已知，，则最小值为___________． 【变式3】设正实数满足，且，则的最小值为__________. 题型05 利用基本不等式求解恒成立与有解问题 【典例1】已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【典例2】若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围，在满足条件的情况下可以把参数分离出来．常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为最值问题，即恒成立；恒成立．但要注意函数中自变量的取值范围，性质很难研究，就不要使用分离参数法 【变式1】已知正实数满足，若恒成立，则实数的最大值为（   ） A．8 B．16 C．24 D．36 【变式2】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式3】设正实数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值是（   ） A．8 B．6 C． D． 【变式4】若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围_____. 题型06 基本不等式在实际问题中的应用 【典例1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【变式1】某商场预计全年分批购入每台价值为4000元的电视机共3600台.每批都购入x台，且每批均需付运费400元.贮存购入的所有的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，比例系数为，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43600元. (1)求k的值； (2)现在全年只有24000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由. 【变式2】第15届全国运动会于2025年11月9日至11月21日在粤港澳大湾区举行.本届全运会的吉祥物以中华白海豚为原型､分别名为“喜洋洋”和“乐融融”的可爱形象.因其配色被网友亲切地戏称为“大湾鸡”，并随着赛事的举办迅速走红，相关商品需求持续增长.已知某工厂代为加工该吉祥物玩偶需投入固定成本5万元，每代加工1万件玩偶，需另投入万元.现根据市场行情，该工厂代加工万件玩偶，可获得万元的代加工费，且已知该代工厂代加工20万件时，获得的利润为90万元. (1)求该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数解析式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该吉祥物玩偶的利润最大？并求出利润的最大值. 【变式3】某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米（）. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 1．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若且，则下列四个数中最大的是（    ） A． B． C． D．a 3.如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 4．（多选）下列关于使用基本不等式说法正确的是（      ） A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4 B．由于， 所以 C．由于，故最小值为2 D．由于，所以，故最大值为 5.已知，则的最小值为_______. 6.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 7．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 8.（1），，求证：（用作差法证明） （2）除了用作差法证明，还可以有如下证法： ， ， ， 当且仅当时等号成立， ，学习以上解题过程，尝试解决下列问题： 证明：若，，，则并指出等号成立的条件． 1．若是正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 3.已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 5.已知，均为正数，若，则最小值为________. 6.是不同时为0的实数，则的最大值为________． 7．（1）已知都是非负实数，比较与的大小. （2）已知，，均为正实数，求证：. 8.已知正数满足．求证： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $